2024屆浙江省嘉興市高三年級下冊二模數學試題及答案

2024年高三教學測試

數學試題卷

（2024.4）

本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答

題紙規(guī)定的位置.

2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應位置規(guī)范作答，在本試題

卷上的作答一律無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A/={x|x<0},N={x|-2<x<4},則（QM）cN=（）

A.{x\x>-2}B.{x|-2<x<0}C.{xlx<4}D.{x|0?x<4}

2.己知函數/（x）=cos（5+*）3>0）是奇函數，則。的值可以是（）

nJt

A.OB.-C.-D.n

42

3.設zwC,則“z+5=0”是“z是純虛數”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若正數xj滿足/-2k+2=0,則x+V的最小值是（）

A.JC.2應D.2

2

5.如醫(yī)，這是一個水上漂浮式警示浮標，它的主體由上面一個圓錐和下面一個半球體組成.已知該浮標上面

圓錐的側面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（）

A.巫B走C#D.巫

422

6.已知圓。：(x—5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),5(0,8),若圓C上存在點尸使得尸/_L%，則"的

取值范圍為()

A.(0,5]B,[5,15]C.[10,15]D.[15,+e)

7.6位學生在游樂場游玩4三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若N項目必

須有倡數人游玩，則不同的游玩方式有（）

A.180種B.210種C.240種D.360種

8.已知定義在（0,十句上的函數“X）滿足礦（x）=（l-x）/（x）,且/⑴>0,則（）

A?嗎卜/⑴“（2）

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知一組數據1,3,5,7,9,其中位數為。，平均數為元，極差為6,方差為/.現(xiàn)從中刪去某一個數，得

到一組新數據，其中位數為/,平均數為7,極差為Z/,方差為s'?,則下列說法中正確的是（）

A.若刪去3,則。

B.若刪去9,則亍<?

C.無論刪去哪個數，均有

口.若亍=，，則s2<s'2

10.已知角。的頂點與原點重合，它的始邊與X軸的非負半軸重合，終邊過點力定

義：77（。）=邛.對于函數/（x）=77（x）,則（）

a-b

A.函數/（不）的圖象關于點對稱

147

/\

B.函數/（x）在區(qū)間日,上單調遞增

C將函數/（X）的圖象向左平移:個單位長度后得到一個偶函數的圖象

D.方程/（x）=-在區(qū)間［0,兀］上有兩個不同的實數解

II.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反

之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.如圖，已知拋物線

Q:/=2px（p>0）的準線為/,O為坐標原點，在％軸上方有兩束平行于x軸的入射光線4和4,分別經

￡1上的點力（玉,凹）和點5（々,外）反射后，再經。上相應的點C和點Z）反射，最后沿直線4和乙射出，

且4與4之間的距離等于4與乙之間的距離?則下列說法中正確的是（）

A.若直線。與準線/相交于點P，則4。尸三點共線

B.若直線。與準線/相交于點尸，則尸產平分/APC

CJM=p2

7

D.若直線4的方程為y=2p,則cos/N初二不

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量25d=（-1,0）&二（0,一1）忑是非零向量，且/與aE的夾角相等，則己的坐標

可以為.（只需寫出一個符合要求的答案）

13.設數列｛凡｝的前〃項和為S”，等比數列也｝的前〃項和為北，若4=-1也=他，

=n（w+l）7；,則氏=.

14.在四面體力5CO中，BC=2,ZABC=ZBCD=90°,且44與CO所成的角為60,.若四面體

力3CD的體積為4百，則它的外接球半徑的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在"BC中,內角4CC所對的邊分別是。也已知2cos-3cos24=3.

(1)求cos4的值;

(2)若△XBC為銳角三角形，2b=3。，求sinC的值.

16.(15分)

在如圖所示的幾何體中，四邊形48co為平行四邊形，PA上平面4BCD,PA〃QD,

BC=2AB=2PA=2,ZABC=60°.

(1)證明：平面尸COJ_平面尸4C；

(2)若PQ=20,求平面「。。與平面。。。夾角的余弦值.

17.(15分)

春季流感對廣大民眾的健康生活帶來一定的影響，為了有效預防流感，很多民眾注射了流感疫苗.某市防疫

部門從轄區(qū)居民中隨機抽取了1000人進行調查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外

沒注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學研究表明，流感的檢測結果是有錯檢的可能，已知患有流感

的人其檢測結果有95%呈陽性(感染)，而沒有患流感的人其檢測結果有99%呈陰性(未感染).

(1)估計該市流感感染率是多少？

(2)根據所給數據，判斷是否有99.9%的把握認為注射流感疫苗與預防流感有關；

(3)已知某人的流感檢測結果呈陽性，求此人真的患有流感的概率.(精確到0.001)

2_u(ad-be)?

附，(〃+b)(c+d)(a+c)0+d)

P（K?>k）0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

18.（17分）

已知雙曲線C:￡一＜=1(。＞0,6＞0)的虛軸長為4,浙近線方程為y=±2x.

礦b-

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)過右焦點尸的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于點48,點〃是線段的中點，過點尸且

與/垂直的直線/'交直線于點尸，點。滿足用=方+而，求四邊形口。3面積的最小值.

19.（17分）

已知集合4=q<a2<一<4,4￡N｝,定義：當加=E時，把集合4中所有的數從小到大排

、，=i,

列成數列也(，)〃｝,數列也(，)“｝的前〃項和為S。)”.例如：￡=2時,

,223

/)(2)1=2°+2=3)(2)2=20+2=5,/>(2)3=2'+2=6,&(2)4=20+2=9,-,

S(2%=6(2%+僅2%+伙2卜+b(2)4=23.

(1)寫出b(2)s，b(2)6,并求5(2)小

(2)判斷88是否為數列抄(3).｝中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；

(3)若2024是數列抄⑺“｝中的某一項6(%)%，求及S%)為的值.

2024年高三教學測試

數學參考答案

（2024.4）

一、單選題（40分）

1-8DCBADBCD

/（X）-礦（x）/（X）-礦（X）X

第8題：由礦（x）=（l-x）/（x）變形得:=X,從而有

/（力西'

所以市6H所以/（x）=言，則/，（3竺*1=學衛(wèi)

又/（1）＞0,所以/（X）在（0,1）上單調遞增，在（1,+。）單調遞減，所以/（g）＜/（l），

3

e24

/（2）＜/⑴，又/1-/（2）=一!_____L=_>又e3>2.73a19.7>16,所以e=>4,所以

2km公22ke2

/⑵</出</3,故選D.

二、多選題（18分）

9.ACD10.AB11.ACD

第11題：對于選項A,因為直線4c經過焦點，設直線4C:x=W+],與拋物線/=2px聯(lián)立得

y2-^pty-p2=0,必+%=2P八必為=-p2,

由題意得尸一，必），%（/，％），％”二一^^，

k=2j2P=2%

A0必—七P,所以曬二"0，

即4。、戶三點共線，A正確:

yi

對于選項B，因為NAPF=NCPF/CFP=NCPF,

所以N4PF=/CFP,所以力夕〃CF,與力尸和CF相交于彳點矛盾，B錯誤；

22

對于選項C4與12距離等于4與。距離，則必一%二%一乂=+2=p2.二及

必y2必為

所以M%=P'C正確;

/（2p,2p）,喉，9,尸你0）球=俘2P｝麗=（一學與

對于選項D,

~FA~FB7

2如同憫"三'。正確.故選ACD

三、填空題（15分）

12l=(x,x),xw0均可13.2〃14.3

第14題：依題意，可將四面體力8C。補形為如圖所示的直三棱柱—/CO,因為48與。。所成的

角為60°，所以NOCF=6（T或120°，,^CD=x,CF=yf外接球半徑記為R,

外接球的球心如圖點O.

VABCD=1*\CDF=1x2xflAysinbO3]=^-xy=4>/3,得xy=24,

3J12)o

DF="。尸,

在用AOCOZ中,R2=OC2=OO^+CO^

2sinZDCF)3

所以當/OCR=60'時，外接球的半徑會更小.

在/中，由余弦定理得。尸2=/+/一孫，

所以&2=1+（/+歹2-盯）21+=9,所以=3

四、解答題（77分）

15.（13分）

解析：（1）2cos^-3（2cos2/l-l）=3,即3cos%-cos4=0，解得cos/二1或cos/=0；

（2）解法一：由正弦定理得26=3，,25畝8=35畝。,25畝（4+。）=35出。，

[2

2sirvlcosC+2sinCcos^=3sinC,因為cos/l=一,所以sinJ=----;

33

?.COSC+—sinC=3sinC?解得tanC=生叵，所以sinC=^2.

3379

,222i

解法二：由余弦定理得cos/="+c--6r=■!■,因為2b=3c,所以

2bc3

9c2,?>Lr—

4a1222,又cos/=1,所以siM=22,所以sinC=2sinJ=>2.

-....；-----3Q?g

3c2=—3c=—9a,c=-3aJJ”

16.（15分）

解析：（1）解法一：vBC=2AB,ABC=60\

ABLAC,:.CD!AC,

'：P4_L底面ABCD,PALCD,

:.CD1平面PAC;;CDu平面PCD,

..?平面尸CO_L平面尸ZC.

解法二：?/BC=2AB/ABC=60°,/.AB1AC.

如圖建立空間直角坐標系，P(0,0,1),4(0,0,0),

C（0,5/3,0）,￡>（-1,73,0）,則蘇=（0,0,—1）,

PC=（0,V3,-l）,CD=（-l,0,0）

設％=(x,y,z)是平面的法向量，則

?1-=0

雇正=0==>y=z=0,取4=（1,0,0）,

z=0

設第=(a,6,c)是平面PCQ的法向量，則

小CD=6

0,取%=（0,l,V3）,

________=>

名■PC=0

所以雇以=0,所以平面PCD_L平面尸/C.

(2)解法一：在直角梯形力。。尸中，解得。。=3,

過C,P作分別平行于4P,4C,連結0E,作

PF1QC交QC于F點,連結￡F,

-AC1CD,AC1QD,;.4。J_平面CDQE,

???PE//AC,:.PE1平面COQE,

?;PFLQC,；.EFLQC,

/.NPFE為平面PCQ與平面DCQ的夾角,

PE=0在aPC。中解得P/=一7一.

Vio

sin/PFE=—=膽ss/PFE=~^==—.

PF而VJT31

（2）解法二：在直角梯形力。。尸中，解得。。二3,

如圖是立空間直角坐標系，尸（0,0』）,。倒,、瓦0）,

2（-l,V3,3）,Z）（-l,V3,0）,

平面DCQ的法向量為*=就=（0,、石,0）,

C0=（-1,O,3）,CP=（O,-V3,1）,

設平面P。。的法向量為〃2=（“2，》2/2），

，--—

2=°n心（3島,電

C尸〃,=0'7

/—\_|瓦,"21_0_VJT

cos。=cos（n,,n/=????=~j=—T=-..........>

\2/■同V3-V3131

即平面PCQ與平面DCQ夾角的余弦值為叵.

31

17.（15分）

220+X0

解析：（1）估計流感的感染率P=--------=0.3.

1000

（2）列聯(lián)表：

流感情況

疫苗情況合計

患有流感不患有流感

打疫苗220580800

不打疫苗80120200

合計3007001000

n（ad-bc）21000（220x120-580x80）2-

根據列聯(lián)表，計算K?-------------------------------------=------------------------------------a11.9A

（4+b）（c+d）（〃+c）e+d）800x200x300x700

因為11.9>10.828,所以有99.9%的把握認為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數有關.

（3）設事件力為“一次檢測結果呈陽性”，事件8為“被檢測者確實患有流感”，

由題意得尸（3）=0.3,/（3）=。7,/例5）=0.95,P（J|5）=0.01,

P（AB）=B）=0.3x0.95=0.285,

由全概率公式得P（力）=尸（8）?尸（N|8）+P（孫P（4|B）=0.3x0.95+0.7x0.01=0.292,

,.、P（AB}0,285

P（6|4）==——x97.6%，所以此人真的患有流感的概率是97.6%.

1IAI

18.（17分）

解析：（1）易知雙曲線的標準方程為工2一二=1.

4

;不得

（2）設力（4，%）,8（%2，，2），〃（玉），%），48:工=叼+班，聯(lián)立方程

（4/n2-l）/+8非my+16=0,A=320〃?-64（4W2-1）=64（/W2+1）,

V?

且為=丁-=一不1，％=叼。+后

4〃?2一1

由。,三點共線得￡=￡二4加①,

由PFJ,4B得女肝,Ks=T，即2~~=T②，

%75

由①②解得07m’的"

由互=方+而可知，四邊形尸4。8是平行四邊形，所以

_L_宜飛

dp-i

V1+/W2

\pQ\=胴+〃/??「％1二ji+9?副+：=；!：+心，

8(/+1)_32(W2+1)2_32(蘇+1)3

-^=y/\+m2

所以SpAQB

|4z;i2-1|y/5^4nr-1|V5y

令f=4/_i,加2=?,則，/

令八)二展則/，(,)=3(f29+5j”5)*0),

115

所以丁(，)在(0,10)上單調遞減，(10,+8)上單調遞增，所以/(f)mm=/(10)=寧,

所以6尸/%)*=親乂￥5=6石，當且僅當『二10,即加=±*時取等號?

19.(17分)

解析：(1)因為〃？=2,此時/={2"i+2“"0W%<a2，aiM2￡N},

332

Z>(2)5=2+2'=10,bQk=2+2=12,

,234

S(2)10=4(2°+2+24-2+2)=124.

fli

(2)當陽=3時，力={2“|+2/+2|0<a]<a2<a3,apa2,a3GN|,

???88=26+24+23,88是數列抄(3)“}中的項，

比它小的項分別有2例+2的+2%0Wq＜町＜的工5嗎,。2，。3sMe:個,

有2勺+2g+26,0<為<。2?3,4，生￡N,C：個，

有2，+24+2:0Vq?2閂EN,C；個，

所以比88小的項共有C；+C；+C；=29個，故88是數列抄⑶〃｝的第30項.

(3)v2024=210+29+28+27+