廣東省佛山市第四中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)

佛山市第四中學(xué)2023~2024學(xué)年第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共60分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1.若，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.－22.圓錐的表面積為，母線長為，則該圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.3.已知，向量為單位向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A.3 B. C. D.4.某中學(xué)共有學(xué)生2500人，其中男生1500人，為了解該校學(xué)生參加體育鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從該校全體學(xué)生中抽取一個容量為50的樣本，則樣本中女生的人數(shù)為（）A.10 B.15 C.20 D.305.已知m，n為兩條不同的直線，和是兩個不同的平面，下列為真命題的是（）A. B.C. D.6.如圖，在下列四個正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，A，B，C，D四點共面的是（）．A. B.C. D.7.直線與平行四邊形ABCD中的兩邊AB、AD分別交于E、F，且交其對角線AC于K，若，，（），則（）A.2 B. C.3 D.58.如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是邊長為7的等邊三角形，，則△ABC的面積為（）A.5 B.7 C.10 D.20二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若向量，，，則（）A. B. C. D.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（）A.最小正周期為B.直線是圖象一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點對稱11.小趙于2021年10月1日投資了一款理財產(chǎn)品，2021年10月1日至14日每日收益（單位：元）如折線圖所示，則下列說法正確的是（）A.10月6日與10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益遞增C.10月1日至10月14日每日收益的中位數(shù)為103.5元D.與前一日相比，10月5日的收益增加最多12.如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（點A1不落在底面BCDE內(nèi)），連接A1B、A1C．若M為線段A1C的中點，則在△ADE的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）A.BM∥平面A1DE恒成立B.：1：3C.存在某個位置，使DE⊥A1CD.線段BM的長為定值第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量與的夾角為120°，且，那么的值為______.14.正三棱臺上下底面棱長分別為3和6，側(cè)棱長為2，則正三棱臺體積為______.15.一半徑為4m的水車，水車圓心距離水面2m，已知水車每分鐘轉(zhuǎn)動（按逆時針方向）3圈，當(dāng)水車上點從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點開始計算時間，當(dāng)秒時，點離水面的高度是______m.16.在中，，的角平分線交BC于D，則_________．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知C平面上一點，，．（1）若，求的值；（2）若，求的最大值．18.已知內(nèi)角的對邊分別為，且滿足（1）求角C；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.19.設(shè)向量，，．（1）若，求x值；（2）設(shè)函數(shù)，求的最大值．20.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O為AB的中點，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中點，CN與SO所成的角為α，且tanα＝2.(1)證明：OC⊥ON；(2)求三棱錐S—ABC的體積．21.2021年3月24日，某些國際服裝企業(yè)因抵制新疆棉花聲明在中國互聯(lián)網(wǎng)上引發(fā)熱議.對此，中國外交部發(fā)言人25日表示，中國光明磊落，中國人民友善開放，但中國民意不可欺?不可違.某記者隨機(jī)采訪了100名群眾，調(diào)查群眾對此事件的看法，根據(jù)統(tǒng)計，抽取的100名群眾的年齡統(tǒng)計如下表：年齡人數(shù)5103515頻率（1）求的值，并作出調(diào)查群眾年齡的頻率分布直方圖；（2）求這100名受訪群眾年齡的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替)；（3）該記者為了感謝參與調(diào)查的群眾，根據(jù)不同年齡階段的人群發(fā)放不同的禮品，其中對年齡大于歲的人獎勵紫砂杯，為了使的群眾得到該獎勵，試求的值.22.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)為線段，的中點．（1）證明：EF⊥平面；（2）若直線EA與平面ABC所成的角大小為，求點C到平面的距離．

佛山市第四中學(xué)2023~2024學(xué)年第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共60分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1.若，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.－2【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再求出其共軛復(fù)數(shù)作答.【詳解】依題意，，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為2.故選：C2.圓錐的表面積為，母線長為，則該圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐的表面積為，母線長為，由求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，因為圓錐的表面積為，母線長為，所以，即，解得或（舍去）故選：A3.已知，向量為單位向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，向量為單位向量，，則，則向量在向量方向上的投影向量為.故選：B4.某中學(xué)共有學(xué)生2500人，其中男生1500人，為了解該校學(xué)生參加體育鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從該校全體學(xué)生中抽取一個容量為50的樣本，則樣本中女生的人數(shù)為（）A.10 B.15 C.20 D.30【答案】C【解析】【分析】先求得中學(xué)中的女生人數(shù)，然后根據(jù)樣本容量，按照比例求解.【詳解】因為共有學(xué)生2500人，其中男生1500人，所以女生有1000人，所以樣本中女生的人數(shù)為人故選：C【點睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知m，n為兩條不同的直線，和是兩個不同的平面，下列為真命題的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】ABD項均可舉出反例，C項可用線面垂直的判定定理說明【詳解】A.，則也可在平面內(nèi)，故選項A不正確.B.，則也可在平面內(nèi),故選項B不正確.C.成立兩平行線，平面，必垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則必定垂直于內(nèi)那兩條相交直線，故,故C正確.D.，則也可是異面直線的關(guān)系.故選項D不正確.故選：C6.如圖，在下列四個正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，A，B，C，D四點共面的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點是否共面，并應(yīng)用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.【詳解】由正方體性質(zhì)，選項A，B，C中，A，B，C，D四點顯然不共面．對于D選項，如下圖取E，F(xiàn)為正方體所在棱的中點，依次連接ADCEBF，易知ADCEBF為平面正六邊形，所以A，B，C，D四點共面．故選：D7.直線與平行四邊形ABCD中的兩邊AB、AD分別交于E、F，且交其對角線AC于K，若，，（），則（）A.2 B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意將用表示出來，然后結(jié)合三點共線定理，即可求得結(jié)果.【詳解】∵，，∴，由E，F(xiàn)，K三點共線可得,∴.故選:D8.如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是邊長為7的等邊三角形，，則△ABC的面積為（）A.5 B.7 C.10 D.20【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的長度，再去求的值，進(jìn)而可求得△ABC的面積.【詳解】由，可得，解之得或（舍）則，又，則則則△ABC的面積為故選：C二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題向量，可得，可得，所以，所以AC錯誤，B正確；又由，，所以，所以D正確.故選：BD.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點對稱【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；計算的值可判斷B選項；由，在的單調(diào)性可判斷C選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象.對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A選項正確；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，則，，在上單調(diào)遞增，C選項正確；對于D選項，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，D選項正確.故選：ACD.11.小趙于2021年10月1日投資了一款理財產(chǎn)品，2021年10月1日至14日每日收益（單位：元）如折線圖所示，則下列說法正確的是（）A.10月6日與10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益遞增C.10月1日至10月14日每日收益的中位數(shù)為103.5元D.與前一日相比，10月5日的收益增加最多【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)折線圖上的數(shù)據(jù)可直接得到AB是正確的，10月1日至10月14日每日收益的中位數(shù)為故C也正確，10月8日和前一日比較收益增加最多，故D錯誤.【詳解】由題中折線圖可知，10月6日與10月9日的收益均為160元，故A正確；由題中折線圖可以看出，10月2日至10月5日的每日收益遞增，故B正確；10月1日至10月14日每日收益的中位數(shù)為（元），故C正確；10月8日比前一日收益增加（元），而10月5日比前一日收益增加（元），10月8日和前一日比較收益增加177元，故D錯誤．故選：ABC．12.如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（點A1不落在底面BCDE內(nèi)），連接A1B、A1C．若M為線段A1C的中點，則在△ADE的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（）A.BM∥平面A1DE恒成立B.：1：3C.存在某個位置，使DE⊥A1CD.線段BM的長為定值【答案】ABD【解析】【分析】對A，取CD中點F，連接MF，BF，即可證明；對B，分別計算，證明即可；對C，由A1C在平面ABCD中的射影在AC上，再判斷即可；對D，在中利用余弦定理證明即可【詳解】解：取CD中點F，連接MF，BF，如圖所示，則MF∥A1D，F(xiàn)B∥DE，則可得平面MBF∥平面A1DE，∵BM?平面MBF，BM?平面A1DE，∴BM∥A1DE，故A選項正確，設(shè)A1到平面EBCD的距離為h，D到AB的距離為h'，則，故B選項正確，A1C在平面ABCD中的射影在AC上，∵AC與DE不垂直，∴DE與A1C不垂直，故C選項錯誤，∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF?FB?cos∠MFB，且MF，F(xiàn)B為定值，∴MB定值．故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量與的夾角為120°，且，那么的值為______.【答案】－8【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)量積的分配律將所求式子展開，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】解：.故答案為：8.【點睛】本題考查數(shù)量積的計算，此類問題一般利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義來處理，本題屬于基礎(chǔ)題.14.正三棱臺上下底面棱長分別為3和6，側(cè)棱長為2，則正三棱臺的體積為______.【答案】【解析】【分析】將正三棱臺補(bǔ)全為三棱錐，有正三棱臺的體積，即可求體積.【詳解】如下圖，正三棱臺，將其補(bǔ)全為三棱錐，為其高，∴正三棱臺的體積，由題設(shè)易知，∴設(shè)，則，即三棱錐高，故的高為1，∴故答案為：15.一半徑為4m的水車，水車圓心距離水面2m，已知水車每分鐘轉(zhuǎn)動（按逆時針方向）3圈，當(dāng)水車上點從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點開始計算時間，當(dāng)秒時，點離水面的高度是______m.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.【詳解】因為=4，圓心到水面的距離為2，所以到x軸的距離為2，所以x軸與所成角為，由題知水車轉(zhuǎn)動的角速度為因為水車的半徑為4，設(shè)P點到水面的距離為y，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型有：當(dāng)t=10秒時，y=4，所以點離水面的高度是4m.故答案為：4.16.在中，，的角平分線交BC于D，則_________．【答案】【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知C是平面上一點，，．（1）若，求的值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的幾何意義做出圖形，然后根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（2）令為的中點，則結(jié)合當(dāng)三點共線時，最大，即可求解.【小問1詳解】如圖①，因為，所以，且，則，又，則，又因為【小問2詳解】如圖②，令為中點，則所以三點共線，若形成三角形，則有,故所以當(dāng)三點共線時，最大，為，此時,故的最大值為18.已知內(nèi)角的對邊分別為，且滿足（1）求角C；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡得，利用余弦定理，求得，即可求解；（2）由（1）得，根據(jù)為銳角三角形，求得，利用正弦定理和面積公式，以及三角恒等變換的公式化簡得到，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）因為，由正弦定理，可得，整理得，所以，又因為，所以.（2）由（1）知：，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，又由正弦定理知，可得，所以的面積為，因為，所以，可得，所以，即，所以的面積的取值范圍是.【點睛】對于解三角形問題的常見解題策略：對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，同時注意三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.19.設(shè)向量，，．（1）若，求x的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量模長的坐標(biāo)表示，結(jié)合同角平方關(guān)系即可求解.（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及三角恒等變換即可求解.【小問1詳解】∵，，，∴，即，得，又∵，則，∴，解得.【小問2詳解】∵，則，∴20.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O為AB的中點，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中點，CN與SO所成的角為α，且tanα＝2.(1)證明：OC⊥ON；(2)求三棱錐S—ABC的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得OC⊥AB，再根據(jù)線面垂直性質(zhì)得OC⊥SO，最后根據(jù)線面垂直判定定理得OC⊥平面SAB，即得結(jié)果，（2）先確定線面角，解得高SO，再根據(jù)錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】(1)證明∵AC＝BC，O為AB的中點，∴OC⊥AB，又SO⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥SO，又AB∩SO＝O，AB，SO?平面SAB，∴OC⊥平面SAB，又∵ON?平面SAB，∴OC⊥ON.(2)解設(shè)OA的中點為M，連接MN，MC，則MN∥SO，故∠CNM即為CN與SO所成的角α，又MC⊥MN且tanα＝2，∴MC＝2MN＝SO，又MC＝＝＝，即SO＝，∴三棱錐S—ABC的體積V＝Sh＝24＝.【點睛】本題考查線面垂直判定與性質(zhì)以及錐體體積公式，考查基本分析論證求解能力，屬中檔題.21