2025優(yōu)化設計一輪課時規(guī)范練40　三角形中的特殊線段

課時規(guī)范練40三角形中的特殊線段1.(2024·山東濟寧模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若AB邊上的高為2c,A=π4,則cosC=(A.1010 B.31010 C.352.(2024·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)模擬)在△ABC中,∠BAC=2π3,∠BAC的角平分線AD交BC于點D,△ABD的面積是△ADC面積的3倍,則tanB=(A.37 B.35 C.3353.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,BC=4,則BC邊上的中線AM的長度為.

4.(2024·河南鄭州模擬)△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6,∠ABC的平分線與AC交于點D,則BD=.

5.(2024·浙江杭州模擬)已知△ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2csinAcosB+2bsinAcosC=3a,c>a.(1)求角A;(2)若b=2,BC邊上中線AD=7,求△ABC的面積.6.(2021·北京,16)在△ABC中,c=2bcosB,C=2π(1)求∠B;(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使△ABC存在且唯一確定,求BC邊上中線的長.條件①:c=2b;條件②:△ABC的周長為4+23;條件③:△ABC的面積為337.(2024·浙江湖州、衢州、麗水模擬)在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足sinAsinC-1=sin2(1)求證:B=2C;(2)已知BD是∠ABC的平分線,若a=4,求線段BD長度的取值范圍.8.(2024·河北邯鄲模擬)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為S=34(a2+b2-c2),c=23(1)若B=π4,求a(2)D為AB上一點,從下列條件①、條件②中任選一個作為已知,求線段CD的最大值.條件①:CD為∠C的角平分線;條件②:CD為邊AB上的中線.

課時規(guī)范練40三角形中的特殊線段1.B解析如圖,AB邊上的高為CD.因為A=π4,所以AD=2c,2c=bsinπ4,所以BD=c,b=22由勾股定理,得BC=c2+4由余弦定理,得cos∠ACB=52.A解析因為S△ABDS△即AB=3AC.在△ABC中,作AB邊上的高,垂足為H,由題可得,∠CAH=π則tanB=CH3.102解析因為BC=4,M為BC的中點所以BM=MC=2.在△ABM中,由余弦定理,得cos∠AMB=A在△ACM中,由余弦定理,得cos∠AMC=A因為∠AMC+∠AMB=π,所以cos∠AMC+cos∠AMB=0,所以AM4+AM2-54AM=解得AM=102或AM=-102(舍去4.103解析由余弦定理得cosC=cos∠ABC=BC2所以cos2C=2cos2C-1=18,所以∠ABC=2C因為BD為∠ABC的平分線,所以∠DBC=C,所以sin∠BDC=sin(π-2C)=sin2C.在△BCD中,由正弦定理,得BCsin即5sin2C=BD5.解(1)∵2csinAcosB+2bsinAcosC=3a,∴由正弦定理,得2sinCsinA·cosB+2sinBsinAcosC=3sinA.∵A∈(0,π),sinA>0,∴sinCcosB+sinBcosC=32,則sin(B+C)=∵A+B+C=π,∴sinA=3∵c>a,∴A=π(2)∵AD則AD2=14(AB+AC)2而b=2,BC邊上中線AD=7,故|AB|2+2|AB|-24=0,解得|AB|=4,∴S△ABC=12bcsinA=12×2×4×6.解(1)由正弦定理bsinB=csinC及c=2bcosB,得sinC=2sin因為C=2π3,所以sin2又因為0<B<π3,所以B=(2)由(1)知c=3b與c=2b矛盾,所以不能選擇條件①.選條件②:△ABC的周長為4+23由(1)知,A=π-2所以△ABC是頂角為2π3,底角為π6的等腰三角形.所以a=b,c=由題設,(2+3)a=4+23,所以a=2.設BC邊上中線的長為d.由余弦定理得d2=(a2)2+a2-2×a2×acosC,所以d2=1+4-2×1×2×(-1選條件③:△ABC的面積為3由(1)知,A=π-2π所以△ABC是頂角為2π3,底角為π6的等腰三角形,由題設,12a2sin2π3=設BC邊上中線的長為d.由余弦定理得d2=(a2)2+a2-2×a2×acosC,所以d2=34+3-2×32×7.(1)證明由題意得,sinA-sinCsinC=sin2A-sin2Csin2B,即1sinC=sinA+sinCsin2B,由正弦定理,得b2=c2+ac.由余弦定理,得b2=a2故sinC=sin(B+C)-2sinCcosB,整理得sinC=sin(B-C).又△ABC為銳角三角形,則C∈(0,π2),B∈(0,π2),B-C∈(-π2,π2),所以C=B-C(2)解在△BCD中,由正弦定理得asin∠BDC所以BD=4sin因為△ABC為銳角三角形,且B=2C,所以0<C<π2故22<cosC<32,所以433<BD<22.因此線段BD的長度的取值范圍為(8.解(1)由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC.又S=34(a2+b2-c2),所以S=34·2abcos因為S=12absinC,所以34·2abcosC=12ab所以tanC=3.又C∈(0,π),故C=由正弦定理得,asin且sinA=sin(B+C)=sin(π4+π3)=sinπ4cosπ3所以a2+64(2)若選條件①:在△ABC中,由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,得a2+b2-12=ab,即(a+b)2=12+3ab≤12+3(a+b2)2,故a+b≤當且僅當a=b=23時,等號成立.又因為S△CDA+S△CDB=S△ABC,即12b·sinπ6·CD+12asinπ6·所以CD=3aba+b=3[(a+b)2-12]3(若選條件②:由題知,2CD=CA+CB,兩邊同時平方,得4|CD|2=CA2+CB2+2CA·CB=b2+a2在△AB