2022-2023學年浙江省寧波市高二（下）期末數學試卷含答案

2022-2023學年浙江省寧波市高二（下）期末數學試卷一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，則A∪B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}2．（3分）復數﹣1﹣2i（i為虛數單位）的虛部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（3分）函數f(x)=(x-A．(-∞，12) B．[12，+∞)4．（3分）已知tanα＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（）A．π6 B．π4 C．π35．（3分）某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結果如表：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數241571188如果另有一人服用此藥，根據上表數據估計此人體重減輕的概率是（）A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.196．（3分）已知向量a→=（x，2），b→=（3，6），a→A．1 B．﹣4 C．4 D．﹣17．（3分）球的半徑是R＝3，則該球的體積是（）A．36π B．20π C．25π D．30π8．（3分）對數lga與lgb互為相反數，則有（）A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．ab＝1 D．a9．（3分）取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集．若在第n次操作中去掉的線段長度之和不小于160，則n的最大值為（）（參考數據：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510A．7 B．8 C．9 D．1010．（3分）已知a，b為非零實數，則“a＞b”是“1aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（3分）在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AD→=12ABA．垂心 B．外心 C．重心 D．內心12．（3分）已知函數f（x）的定義域為R，f(x+12)為奇函數，且對于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝fA．f（1﹣x）＝f（x） B．f（3x+1）＝f（3x） C．f（x﹣1）為偶函數 D．f（3x）為奇函數二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分.）（多選）13．（4分）下列函數是增函數的是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y=x12 D．y（多選）14．（4分）已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，則下列命題不正確的是（）A．平面α內的直線必垂直于平面β內的任意一條直線 B．平面α內的已知直線必垂直于平面β內的無數條直線 C．平面α內的任意一條直線必垂直于平面β D．過平面α內的任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β（多選）15．（4分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．以下列選項為條件，一定可以推出A=πA．a＝7，b＝8，c＝5 B．a=3C．sinBsinC=34 （多選）16．（4分）如圖，在棱長為2的正方體AC′中，點E為CC′的中點，點P在線段A′C′（不包含端點）上運動，記二面角P﹣AB﹣D的大小為α，二面角P﹣BC﹣D的大小為β，則（）A．異面直線BP與AC所成角的范圍是(πB．tan（α+β）的最小值為-4C．當△APE的周長最小時，三棱錐B﹣AEP的體積為109D．用平面BEP截正方體AC′，截面的形狀為梯形三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函數f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，則f（﹣1）＝，f（log18．（3分）在生活中，我們經常可以看到這樣的路障，它可以近似地看成由一個直八棱柱、一個圓柱與一個圓臺組合而成，其中圓臺的上底面直徑為4cm，下底面直徑為40cm，高為80cm．為了起到夜間行車的警示作用，現(xiàn)要在圓臺側面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為cm2．19．（3分）已知正實數x，y滿足xy﹣x﹣2y＝0，則x+y的最小值是．20．（3分）在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2A＝sin2B+sinBsinC，則cb的取值范圍為四、解答題（本大題共3小題，共33分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）21．（11分）隨著移動互聯(lián)網的發(fā)展，與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮．現(xiàn)從某市使用A款訂餐軟件的商家中隨機抽取100個商家，對它們的“平均配送時間”進行統(tǒng)計，所有數據均在[10，70]范圍內，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值；（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均配送時間”的第20百分位數．22．（11分）已知函數f（x）＝sin（ωx+φ）．其中ω＞0．若f（x）的最小正周期為π，且f(π（1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f（x）在區(qū)間23．（11分）已知函數f(x)=logax+ax+（1）若a＝2，求f(1（2）判斷函數f（x）的零點個數，并說明理由；（3）設f（x0）＝0，求證：12五、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分）（多選）24．（5分）拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，設事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次正面朝上”，則（）A．P(AB．P(A+B)=3C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件B相互獨立（多選）25．（5分）已知平面向量a→，bA．|a→+b→|C．|a→+b→（多選）26．（5分）已知函數f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，若θ滿足，對?x1∈[0，π2]，都?x2∈[-π2，0]使得2f（A．π B．5π6 C．2π3 （多選）27．（5分）已知正實數a、b、c滿足log3a＝log5b，log3b＝log5c，其中a＞1，則（）A．logab＝log35 B．a＞b＞c C．ac＞b2 D．2a+2c＞2b+1六、解答題（本大題共2小題，共30分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，）28．（15分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的高為22，體積為8（1）求正四棱錐P﹣ABCD的表面積；（2）若點E為線段PB的中點，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．29．（15分）已知定義在R上的函數f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|，其中a為實數．（1）當a＝3時，解不等式f（x）≥﹣2；（2）若函數f（x）在[﹣1，1]上有且僅有兩個零點，求a的取值范圍；（3）對于a∈[4，+∞），若存在實數x1，x2（x1＜x2），滿足f（x1）＝f（x2）＝m，求x12+m

2022-2023學年浙江省寧波市高二（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，則A∪B＝（）A．{﹣1，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：因為A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．（3分）復數﹣1﹣2i（i為虛數單位）的虛部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：因為復數﹣1﹣2i，所以復數﹣1﹣2i（i為虛數單位）的虛部是﹣2．故選：A．3．（3分）函數f(x)=(x-A．(-∞，12) B．[12，+∞)【解答】解：因為f(x)=(x-所以x-12≥0所以f（x）的定義域為[1故選：B．4．（3分）已知tanα＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（）A．π6 B．π4 C．π3【解答】解：∵已知tanα＝﹣1，且α∈[0，π），故α的終邊在射線y＝﹣x（x≤0）上，∴α=3π故選：D．5．（3分）某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結果如表：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數241571188如果另有一人服用此藥，根據上表數據估計此人體重減輕的概率是（）A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.19【解答】解：由已知統(tǒng)計表可知在1000名志愿者中，服藥后出現(xiàn)體重減輕的人數為241人，因此服藥后出現(xiàn)體重減輕的頻率為2411000故選：C．6．（3分）已知向量a→=（x，2），b→=（3，6），a→A．1 B．﹣4 C．4 D．﹣1【解答】解：∵a→=（x，2），b→=（3，6），∴3x+2×6＝0，即x＝﹣4．∴實數x的值為﹣4．故選：B．7．（3分）球的半徑是R＝3，則該球的體積是（）A．36π B．20π C．25π D．30π【解答】解：∵R＝3，∴該球的體積V=43πR3＝36故選：A．8．（3分）對數lga與lgb互為相反數，則有（）A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．ab＝1 D．a【解答】解：∵lga＝﹣lgb∴l(xiāng)ga+lgb＝0∴l(xiāng)g（ab）＝0∴ab＝1故選：C．9．（3分）取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集．若在第n次操作中去掉的線段長度之和不小于160，則n的最大值為（）（參考數據：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：第一次操作去掉的線段長度為13第二次操作去掉的線段長度之和為23第三次操作去掉的線段長度之和為23…，第n次操作去掉的線段長度之和為(2由題意知，(23)則(3因為32所以指數函數y=(又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n∈N*，所以n＝8，故選：B．10．（3分）已知a，b為非零實數，則“a＞b”是“1aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：當a＞0＞b時，1a＞0＞1b，所以由a＞若1a＜1b，則1a-1b=b-aab所以由1a＜1b得不出所以“a＞b”是“1a故選：D．11．（3分）在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AD→=12ABA．垂心 B．外心 C．重心 D．內心【解答】解：∵|AB|＝3，|AC|＝2∴|12AB→|＝|3設AE→=1則|AE→|＝|AF∴AD→由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形AEDF為菱形．∴AD為菱形的對角線，∴AD平分∠EAF．∴直線AD通過△ABC的內心．故選：D．12．（3分）已知函數f（x）的定義域為R，f(x+12)為奇函數，且對于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝fA．f（1﹣x）＝f（x） B．f（3x+1）＝f（3x） C．f（x﹣1）為偶函數 D．f（3x）為奇函數【解答】解：由f(x+12)是奇函數，得f(x+12)=-f(-x+12)，即f由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），則f（3x+1）＝﹣f（3x），B錯；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函數f（x）的周期為T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）與f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函數f（x）的圖象關于x＝1對稱，根據周期為2可得函數f（x）的圖象關于x＝﹣1對稱，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）為偶函數，C正確；因為f（2﹣3x）＝f（3x）且函數f（x）的周期為T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）為偶函數，故選項D錯誤．故選：C．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分.）（多選）13．（4分）下列函數是增函數的是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y=x12 D．y【解答】解：對于A，函數y＝x3的定義域為R，函數y＝x3在R上單調遞增，A正確；對于B，函數y＝x2的定義域為R，函數y＝x2在（﹣∞，0]上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，B錯誤；對于C，函數y=x函數y=x12對于D，函數y＝﹣x﹣1的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），函數y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D錯誤；故選：AC．（多選）14．（4分）已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，則下列命題不正確的是（）A．平面α內的直線必垂直于平面β內的任意一條直線 B．平面α內的已知直線必垂直于平面β內的無數條直線 C．平面α內的任意一條直線必垂直于平面β D．過平面α內的任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β【解答】解：對于A，平面α內取平行于交線的直線時，該直線與平面β平行，不垂直于平面β內的任意一條直線，故A錯誤；對于B，取平面β內無數條與交線垂直的直線，平面α內的已知直線與這無數條直線垂直，故B正確；對于C，平面α內取與l平行的直線，不垂直于平面β，故C錯誤；對于D，若α內的任意一點取在交線l上，所作垂線可能不在平面α內，所以不一定垂直于平面β，故D錯誤．故選：ACD．（多選）15．（4分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．以下列選項為條件，一定可以推出A=πA．a＝7，b＝8，c＝5 B．a=3C．sinBsinC=34 【解答】解：對于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2-所以A=π3，對于B，由正弦定理可得asinA=b所以sinA=3×222=所以A=π3或A=2π對于C，取B=π2，C為銳角，且可得A為銳角，且cosA=34，此時A≠π對于D，由2sin2B+C所以cos2A=1-2sin所以2cos2A+cosA﹣1＝0，解得cosA=12或cos又A∈（0，π），所以A=π3，故選：AD．（多選）16．（4分）如圖，在棱長為2的正方體AC′中，點E為CC′的中點，點P在線段A′C′（不包含端點）上運動，記二面角P﹣AB﹣D的大小為α，二面角P﹣BC﹣D的大小為β，則（）A．異面直線BP與AC所成角的范圍是(πB．tan（α+β）的最小值為-4C．當△APE的周長最小時，三棱錐B﹣AEP的體積為109D．用平面BEP截正方體AC′，截面的形狀為梯形【解答】解：對于A，因為AC∥A′C′，所以異面直線BP與AC所成角為∠BPA′或∠BPC′中的銳角或直角，又BA′＝A′C′＝BC′，所以△BA′C′為等邊三角形，因為點P在線段A′C′（不包含端點）上運動，所以當P為線段A′C′的中點時，∠BPA'=∠BPC'=π此時異面直線BP與AC所成角為π2當點P趨近A′或C′時，異面直線BP與AC所成角趨近π3所以異面直線BP與AC所成角的范圍是(π3，對于B，過點P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因為A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，過點F作FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，垂足為G，H，所以∠PGF為二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF為二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，設A'P=2x，則FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜所以tanα=PFGF=所以tan(α+β)=tanα+tanβ因為0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=4所以當x＝1時，tan（α+β）取最小值，最小值為-43，選項對于C，延長EC′到點M，使得EC′＝MC′，則PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，當且僅當A，P，M三點共線時等號成立，所以當點P為線段AM與A′C′的交點時，△APE的周長最小，因為PC′∥AC，所以△PC′M∽△ACM，所以PC'AC又AC=22所以PC'=2所以△APE的面積S=S又BO⊥AC，BO⊥AA′，AC∩AA′＝A，AC，AA′?平面ACC′A′，所以BO⊥平面ACC′A′，所以點B到平面APE的距離為BO，所以當△APE的周長最小時，三棱錐B﹣AEP的體積為V=13×對于D，延長BE，B′C′，兩直線交于點Q，連接PQ，設PQ∩C′D′＝S，PQ∩A′B′＝T，連接BT，SE，因為平面ABB′A′∥平面DCC′D′，平面BEP∩平面ABB′A′＝BT，平面BEP∩平面DCC′D′＝ES，所以BT∥ES，又BT≠ES，所以四邊形BEST為梯形，所以用平面BEP截正方體AC′，截面的形狀為梯形，D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函數f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，則f（﹣1）＝12，f（log2【解答】解：因為f(x)=2x，x≤0因為1＝log22＜log23＜log24＝2，所以，﹣1＜log23﹣2＜0，所以，f(log故答案為：12；318．（3分）在生活中，我們經?？梢钥吹竭@樣的路障，它可以近似地看成由一個直八棱柱、一個圓柱與一個圓臺組合而成，其中圓臺的上底面直徑為4cm，下底面直徑為40cm，高為80cm．為了起到夜間行車的警示作用，現(xiàn)要在圓臺側面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為1804πcm2．【解答】解：作圓臺的軸截面如下：過點A作AE⊥BC，垂足為E，由已知，AE＝80，BE=1所以AB=A所以圓臺的母線長為82cm，由已知圓臺的上底半徑為2cm，下底半徑為20cm，所以圓臺的側面積S＝π×（2+20）×82＝1804π（cm2）．故答案為：1804π．19．（3分）已知正實數x，y滿足xy﹣x﹣2y＝0，則x+y的最小值是3+22【解答】解：因為xy﹣x﹣2y＝0，所以x+2y＝xy，所以2x所以x+y=(x+y)(2當且僅當xy=2yx，所以x+y的最小值是3+22故答案為：3+2220．（3分）在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2A＝sin2B+sinBsinC，則cb的取值范圍為（1，2）【解答】解：因為sin2A＝sin2B+sinBsinC，由正弦定理可得a2＝b2+bc，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝c2﹣2bccosA，即b＝c﹣2bcosA，由正弦定理可得sinB＝sinC﹣2sinBcosA，所以sinB＝sin（A+B）﹣2sinBcosA，即sinB＝sinAcosB+cosAsinB﹣2sinBcosA，所以sinB＝sin（A﹣B），因為0＜A＜π2，0＜B＜π所以B＝A﹣B，即A＝2B，所以C＝π﹣3B，由△ABC為銳角三角形，所以0＜A=2B＜π2，0＜C=π-3B＜π所以22＜cosB＜3由正弦定理得c＝2cos2B+cos2B＝4cos2B﹣1∈（1，2），即cb故答案為：（1，2）．四、解答題（本大題共3小題，共33分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）21．（11分）隨著移動互聯(lián)網的發(fā)展，與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮．現(xiàn)從某市使用A款訂餐軟件的商家中隨機抽取100個商家，對它們的“平均配送時間”進行統(tǒng)計，所有數據均在[10，70]范圍內，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值；（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均配送時間”的第20百分位數．【解答】解：（1）依題意可得（0.004+0.02+0.056+a+0.004+0.002）×10＝1，解得a＝0.014．（2）因為0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位數位于[20，30）之間，設為x，則0.04+（x﹣20）×0.02＝0.2，解得x＝28，故第20百分位數為28．22．（11分）已知函數f（x）＝sin（ωx+φ）．其中ω＞0．若f（x）的最小正周期為π，且f(π（1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f（x）在區(qū)間【解答】解：（1）因為f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期為π，ω＞0，所以2πω=π，所以所以f（x）＝sin（2x+φ），因為f(π所以sin(π+φ)=sin(4π所以-sinφ=-3所以tanφ=3所以φ=kπ+π（2）由（1）φ=kπ+π3，k∈Z所以φ=π所以f(x)=sin(2x+π由已知-π3≤x≤所以-3所以f（x）在區(qū)間[-π3，23．（11分）已知函數f(x)=logax+ax+（1）若a＝2，求f(1（2）判斷函數f（x）的零點個數，并說明理由；（3）設f（x0）＝0，求證：12【解答】解：（1）當a＝2時，f（x）=log2x+2x+∴f(1（2）f'(x)=1∵a＞1，x+1＞1，∴l(xiāng)na＞0，1(x+1)2∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∵a＞1，∴1a則f(1又f(1)=a+1由函數零點存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）內有唯一零點；（3）證明：由（2）可知，x0∵f(x∴l(xiāng)og∴f(x令x0則f(t)=-1令g(t)=-a∵2t∴f（t）＞g（t），易知g（t）在(1又a＞1，12a∴f(t)＞g(t)＞g(1∵g(t)=-a∴要證f(t)＜a+12，只需證即證2t2﹣t+1＜（t2+1）（t+1），令h（t）＝（t2+1）（t+1）﹣（2t2﹣t+1）＝t3﹣t2+2t，∵h'(t)=3t∴h（t）在（0，1）單調遞增，∴h（t）＞h（0）＝0，即（t2+1）（t+1）＞2t2﹣t+1，即f(t)＜a+1綜上，12＜f(t)＜a+1五、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分）（多選）24．（5分）拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，設事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次正面朝上”，則（）A．P(AB．P(A+B)=3C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件B相互獨立【解答】解：對于A，試驗的樣本空間為：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4個樣本點，所以P(A)=12，故P(A對于B，試驗的樣本空間為：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4個樣本點，事件A+B含有（正，正），（正，反），（反，正），這三種結果，故P(A+B)=34，故對于C，A＝{（正，正），（正，反）}，B＝{（正，正），（反，正）}，顯然事件A，事件B都含有“（正，正）這一結果，事件A，事件B能同時發(fā)生，因此事件A與事件B不互斥，故C不正確；對于D，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P（AB）＝P（所以事件A與事件B為相互獨立事件，故D正確．故選：ABD．（多選）25．（5分）已知平面向量a→，bA．|a→+b→|C．|a→+b→【解答】解：設a→，b→的夾角為θ，θ∈[0，π]，∵|a∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[﹣1，1]，∴當cosθ＝1時，|a→+∵|a∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[﹣1，1]，∴當cosθ＝﹣1時，|a→-∵|a要使|a→+此時(|a∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，∴當cos2θ＝1時，(|a所以|a→+∵|a∴(|a∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，∴當cos2θ＝0時，(|a所以|a→+b→故選：ABD．（多選）26．（5分）已知函數f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，若θ滿足，對?x1∈[0，π2]，都?x2∈[-π2，0]使得2f（A．π B．5π6 C．2π3 【解答】解：因為對?x1∈[0，π2]，都?x2∈[-π2，0]使得2所以f（x）＝2sinx，x∈[0，π2]的值域包含于函數y＝2cos（t+θ函數f（x）＝2sinx，x∈[0，π所以S＝4πR2＝12π，t∈[-π由-π2≤t≤0當θ＝π時，π2≤t+π≤π，﹣1≤cos（t+所以S＝4πR2＝12π，t∈[-π2，0]當θ=5π6時，π3所以y=2cos(t+5π6)+1，t∈[-π2當θ=2π3時，π6所以y=2cos(t+2π3)+1，t∈[-π2當θ=π2時，0≤t+π所以y=2cos(t+π2)+1，t∈[-故選：BC．（多選）27．（5分）已知正實數a、b、c滿足log3a＝log5b，log3b＝log5c，其中a＞1，則（）A．logab＝log35 B．a＞b＞c C．ac＞b2 D．2a+2c＞2b+1【解答】解：對于A選項，因為a＞1，所以log3a＞0，由log3a＝log5b，可得lnaln3=lnbln5，則lnblna=ln5ln3對于B選項，設log3a＝log5b＝m＞0，則a＝3m，b＝5m，因為冪函數y＝xm在（0，+∞）上為增函數，所以3m＜5m，即a＜b，設log5c＝log3b＝n＞0，則b＝3n，c＝5n，因為冪函數y＝xn在（0，+∞）上為增函數，所以3n＜5n，即b＜c，則a＜b＜c，故B錯；對于C選項，因為b＝5m＝3n，且m＞0，n＞0，所以mln5＝nln3，所以nm=ln5ln3＞1，則m＜n所以acb2=3m?5n對于D選項，由基本不等式，可得a+c＞2ac所以，2a+2故選：ACD．六、解答題（本大題共2小題，共30分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，）28．（15分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的高為22，體積為8（1）求正四棱錐P﹣ABCD的表面積；（2）若點E為線段PB的中點，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）連接AC∩BD＝O，連接PO，如圖，因為在正四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，且O是AC與BD的中點，PO⊥底面ABCD，因為正四棱錐P﹣ABCD的高為22，體積為8則PO=22設底面ABCD邊長為t，則SABCD所以由VP-ABCD=1解得t＝2，因為PO⊥底面ABCD，OC?底面ABCD，故PO⊥OC，在Rt△POC中，OC=1則PC=