2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)大題規(guī)范3　解三角形含答案

2025高考幫備考教案數(shù)學(xué)解題幫快速破題規(guī)范解答大題規(guī)范3解三角形考情綜述解三角形解答題，常出現(xiàn)在大題的前兩題位置，難度中等偏易，是高考得分的基本組成部分.主要考查正、余弦定理的應(yīng)用，常需要結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行求解，注重考查基礎(chǔ)知識、基本方法在解題中的靈活運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).從近幾年的命題情況來看，高頻命題角度有求三角形的邊、角、面積、周長問題，解三角形中的最值與范圍問題，三角形中的高線、中線模型等.在解題過程中，要注意靈活使用三角恒等變換公式，注意挖掘題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，靈活地實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.在書寫表達(dá)方面，應(yīng)注意推理的充分性，確?！皶皇Х帧?！示例[2023新高考卷Ⅰ/10分]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sinB.（1）求sinA；（2）設(shè)AB＝5，求AB邊上的高.思維導(dǎo)引（1）A＋B＝3CA+B+C=π求出角（2）AB＝5由1得C與sinA的值用正弦定理得規(guī)范答題（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π，因?yàn)锳＋B＝3C，所以3C＋C＝π，所以C＝π4. （1分）→注意三角形的內(nèi)角和為π在解題中的應(yīng)用因?yàn)?sin（A－C）＝sinB，所以2sin（A－π4）＝sin（3π4－A）， （2分）→將含有三個角的三角等式，往要求的角展開并整理得2（sinA－cosA）＝22（cosA＋sinA）， （3分）→兩角差的正弦公式與兩角差的余弦公式不要搞混得sinA＝3cosA， （4分）又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sinA＝31010. （5分）→注意條件“sin2A＋cos2A＝1”（2）由正弦定理，得BCsinA＝得BC＝ABsinC×sinA＝522×31010＝3由（1）知，sinA＝31010，cosA＝1010，則sinB＝sin（A＋C）＝sin（A＋π4）＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝31010×22＋1010×22＝25設(shè)AB邊上的高為h，則h＝BC×sinB＝35×255＝所以AB邊上的高為6. （10分）感悟升華解三角形問題的答題策略1.轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.即會把已知三角等式，利用正弦、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；若式子中含有邊的齊次式，優(yōu)先考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”；若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.另外，還需注意三角形內(nèi)角和、大邊對大角等在解題中的應(yīng)用.2.會作圖.根據(jù)題意作出草圖，借助圖形的直觀性，可快速找到思維突破口.3.活用方法.求高問題可利用等面積法，求范圍、最值問題可利用基本不等式、單調(diào)性法等進(jìn)行求解.4.正確運(yùn)用三角公式.牢記三角的有關(guān)公式，如同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角和（差）的正弦、余弦、正切公式，輔助角公式等，并能靈活運(yùn)用這些公式求解.訓(xùn)練[2024廣東七校聯(lián)考/10分]已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3cbcosA＝tan（1）求B；（2）若c＝4，求△ABC面積的取值范圍.解析（1）由正弦定理可得3cbcosA＝3sinCsinB又tanA＋tanB＝sinAcosA＋sinBcosB＝3cbcosA＝tanA＋tanB， 所以3sinCsin由C∈（0，π），可得sinC＞0，所以tanB＝3，又B∈（0，π），所以B＝π3.（求角時一定要先確定角的范圍） （5（2）解法一由（1）知B＝π3，又c＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝3a， （由B＝π3，A＋B＋C＝π，可得A＋C＝23π，則A＝2π因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0＜C＜π2，0＜A＝2π3－C＜π2，所以π6＜C＜π2，（注意銳角三角形的限制） 由正弦定理asinA＝csinC且c＝4，得a＝csinAsinC＝4sinAsinC因?yàn)棣?＜C＜π2，所以tanC＞33，所以0＜1tanC＜3，所以2＜23ta所以23＜S△ABC＜83，即△ABC面積的取值范圍為（23，83）. （10分）解法二由（1）知B＝π3，又c＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝3a. （由B＝π3，c＝4，結(jié)合余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ3＝a2－4a＋16， （△ABC為銳角三角形應(yīng)滿足cosA>0，cosB>0，cosC>0，即b2＋c2＞a2，a2＋c2＞所以23＜S△ABC＜83，即△ABC面積的取值范圍為（23，83）. （10分）解題幫快速破題規(guī)范解答大題規(guī)范4立體幾何考情綜述立體幾何解答題每年必考，從其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置來看，難度有所下降，說明試題的難度在靈活調(diào)整.從近幾年的命題情況來看，設(shè)問主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，考查考生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，轉(zhuǎn)化與化歸（空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題）和數(shù)形結(jié)合（根據(jù)空間位置關(guān)系，利用向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算）的思想方法.高頻命題角度有：（1）空間幾何體中的線、面平行和垂直問題，注意空間線、面平行（垂直）的判定定理和性質(zhì)定理在解題中的應(yīng)用；（2）空間角、空間距離的求解，掌握空間異面直線所成角、線面角、二面角、點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離、線面距離的求法；（3）不同知識點(diǎn)間的交匯，如空間幾何體的體積與空間角、距離相融合等.在利用有關(guān)判定定理和性質(zhì)定理時，應(yīng)注意定理?xiàng)l件敘述的完整性，否則，極易被扣分！示例[2023全國卷甲/12分]如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1.（1）證明：A1C＝AC；（2）已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.思維導(dǎo)引（1）（2）規(guī)范答題（1）如圖，過A1作A1D⊥CC1，垂足為D. （1分）→觀察圖形特征與待證的結(jié)論，適當(dāng)添加輔助線.∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C⊥BC， （2分）→由線面垂直證得線線垂直，注意線在面內(nèi)的說明.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵A1C，AC?平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， （3分）→證明線面垂直，注意“線不在多，重在相交”，不要漏寫兩線相交的說明，否則，易被扣分.又CC1，BC?平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1. （4分）由已知條件易證△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D為CC1的中點(diǎn)，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC. （5分）（2）如圖，連接A1B，由（1）易證Rt△A1CB≌Rt△A1C1B1，∴A1B＝A1B1，故取BB1的中點(diǎn)F，連接A1F，∵AA1與BB1的距離為2，∴A1F＝2，又△CA1C1是等腰直角三角形，A1D⊥CC1，A1D＝1，CC1＝2，∴A1C＝A1C1＝AC＝2，AB＝A1B1＝5，BC＝3.建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz如圖所示， （6分）→必須判斷經(jīng)過點(diǎn)C的三條直線兩兩垂直，才能建立空間直角坐標(biāo)系.則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，3，0），B1（－2，3，2），C1（-2，0，2），∴CB＝（0，3，0），CC1＝（－2，0，2），AB1＝（－22，3，2）. （7分）→空間中點(diǎn)的坐標(biāo)一定要求準(zhǔn)確，向量的坐標(biāo)利用“設(shè)平面BCC1B1的法向量為n＝（x，y，z），則n·CB取x＝1，則y＝0，z＝1，∴平面BCC1B1的一個法向量為n＝（1，0，1）. （9分）設(shè)AB1與平面BCC1B1所成的角為θ，則sinθ＝｜c(diǎn)os＜n，AB1＞｜＝｜n·AB1｜｜n∴AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為1313. （12分）→注意及時下結(jié)論，避免丟分感悟升華1.解答立體幾何問題重在“建”——建模，建系2.求解空間中的平行與垂直問題的關(guān)鍵熟練把握空間中平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.在運(yùn)用定理證明問題時，要注意定理的條件要書寫齊全.3.利用向量法求線面角和二面角的關(guān)注點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出相應(yīng)平面的法向量是解題的關(guān)鍵.求解時，要注意：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)的準(zhǔn)確性；（2）線面角與二面角公式的區(qū)分；（3）二面角的平面角是銳角還是鈍角；（4）所求為空間角的正弦值還是余弦值.訓(xùn)練[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考/12分]如圖，在三棱臺ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，BE＝EF＝FC＝1.（1）求證：BF⊥平面ACFD；（2）求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.解析（1）延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，又BF?平面BCK，因此BF⊥AC. （2分）又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)， （3分）則BF⊥CK，又CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD. （4分）（2）如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接KO，則KO⊥BC.又平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，KO?平面BCFE，所以KO⊥平面ABC.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線OB，OK的方向?yàn)閤軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. （5分）由題意得B（1，0，0），C（－1，0，0），K（0，0，3），A（－1，－3，0），