經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 第4版 課件 4-3 偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法二、高階偏導(dǎo)數(shù)4.3偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用四、小結(jié)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分一、偏導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量△x時，函數(shù)有相應(yīng)的增量（稱為對x的偏增量），記為△xz，如果定義存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為同理，可以定義函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)是x,y的函數(shù)，稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱為偏導(dǎo)數(shù)，記作同理，可以定義函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處求解注意：在求z=f(x,y)對某個變量的偏導(dǎo)數(shù)時，另一個自變量可看作常量，利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算即可.解例2求

z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).解例1求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)．證原結(jié)論成立．解根據(jù)x、y、z的對稱性，得例4設(shè)求

注意：１.２.求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求.解例5設(shè)求偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的幾何示意圖僅表示在

xoy平面上沿y=y0趨近P0時的f(P)趨于f(P0).混合偏導(dǎo)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)解例5設(shè)，求解例6設(shè)u=eaxcosby,求二階偏導(dǎo)數(shù).混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等,即問題定理例7驗(yàn)證滿足解1、需求函數(shù)的偏邊際分析表示PB、y固定時,PA變化一個單位時,QA的近似變化量，稱為A商品的需求函數(shù)關(guān)于一般來說，PA上漲，QA減少，PA的偏邊際需求.假設(shè)A、B兩種商品彼此相關(guān),需求函數(shù)分別為三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用如果說明兩種商品中任一價格上漲，都將使其中一個需求量增加，一個需求量減少，A、B兩種商品稱為替代品.如果說明兩種商品中任一價格上漲，都將使兩個需求量同時減少，A、B兩種商品稱為互補(bǔ)品.2、需求函數(shù)的偏彈性類似可以定義EBB(又稱自價格彈性）類似可以定義EBA(又稱交叉價格偏彈性或互價格彈性）稱為QA由點(diǎn)PB到PB+△PB的關(guān)于PB的區(qū)間（弧）交叉價格彈性.

3、偏彈性的經(jīng)濟(jì)意義EAB表示B商品的價格變動1%，A商品的需求量改變的百分?jǐn)?shù).奢侈品必需品A商品可以作為B商品的替代品A商品為B商品的互補(bǔ)品解例8某商品的需求函數(shù)為QY=120-2PY+15PX,

求當(dāng)PX=10,PY=15時商品的交叉彈性.解由已知可知△PY/PY=-0.05（將下降4.25%）例9隨著我國養(yǎng)雞工廠化的迅速發(fā)展，肉雞價格會不斷下降?，F(xiàn)估計(jì)明年肉雞價格將下降5%，已知豬肉(X)需求量對肉雞(Y)價格的交叉彈性為0.85。問明年