北京市昌平區(qū)臨川育人學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

北京市昌平區(qū)臨川育人學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．在△ABC中，若a=2bsinA,則B為A． B． C．或 D．或3．若，則下列正確的是（）A． B．C． D．4．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為()A． B． C． D．5．用輾轉(zhuǎn)相除法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)是()．A．7 B．8 C．9 D．66．已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則等于()A． B． C． D．7．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形8．在數(shù)列中，，，則的值為：A．52 B．51 C．50 D．499．高一某班男生36人，女生24人，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，若抽出的女生為12人，則的值為（）A．18 B．20 C．30 D．3610．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為_________________；12．在中，，，則角_____.13．點(diǎn)到直線的距離為________.14．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)_______.15．已知正數(shù)、滿足，則的最小值是________．16．已知數(shù)列{}滿足，若數(shù)列{}單調(diào)遞增，數(shù)列{}單調(diào)遞減，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：518．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)及中點(diǎn)處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）與等距的點(diǎn)處建一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，記輔設(shè)管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）請你選用一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水廠位置，使鋪設(shè)管道總長最短.19．某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取名按年齡分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第，，組中用分層抽樣的方法抽取名志愿者參廣場的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第，，組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該市決定在這名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第組志愿者有被抽中的概率.20．設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計(jì)1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

直接由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式.2、C【解析】，，則或，選C.3、D【解析】

由不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，即可得出正確選項(xiàng)，錯(cuò)誤的選項(xiàng)可以采用特值法進(jìn)行排除．【詳解】A選項(xiàng)不正確，因?yàn)槿?，，則不成立；B選項(xiàng)不正確，若時(shí)就不成立；C選項(xiàng)不正確，同B，時(shí)就不成立；D選項(xiàng)正確，因?yàn)椴坏仁降膬蛇吋由匣蛘邷p去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)．4、B【解析】

在三棱錐中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,進(jìn)而得到三棱錐外接球的直徑，得到，利用體積公式，即可求解.【詳解】由題意知，在三棱錐中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐外接球的直徑為，即，所以球的體積為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了與球有關(guān)的組合體中球的體積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.5、B【解析】

根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算最大公約數(shù).【詳解】因?yàn)樗宰畲蠊s數(shù)是8，選B.【點(diǎn)睛】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法，考查基本求解能力.6、C【解析】

由條件可得a3＝a1+2a2，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．代入所求運(yùn)算求得結(jié)果．【詳解】∵等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，故公比q不等于1．∴a3＝a1+2a2，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．∴3+2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了整體化的運(yùn)算技巧，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，即四邊形的?duì)角線互相垂直，排除選項(xiàng)AD；又因?yàn)?，所以四邊形?duì)邊平行且相等，即四邊形為平行四邊形，但不能確定鄰邊垂直，所以只能確定為菱形．考點(diǎn)：1．向量相等的定義；2．向量的垂直；8、A【解析】

由，得到，進(jìn)而得到數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

根據(jù)分層抽樣等比例抽樣的特點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的等比例抽取的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?，所以，所以即，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以，又，所以，所以，選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)后再解不等式．【詳解】時(shí)，原不等式可化為，，∴；時(shí)，原不等式可化為，，∴．綜上原不等式的解為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值不等式的常用方法是根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解．12、或【解析】

本題首先可以通過解三角形面積公式得出的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍得出角的值。【詳解】由解三角形面積公式可得：即因?yàn)?，所以或【點(diǎn)睛】在解三角形過程中，要注意求出來的角的值可能有多種情況。13、3【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，代值求解即可.【詳解】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.14、1【解析】

在方向上的投影為，把向量坐標(biāo)代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【詳解】因?yàn)?，所以，解得：，故填?【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.15、.【解析】

利用等式得，將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【詳解】，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、【解析】

分別求出{}、{}的通項(xiàng)公式，再統(tǒng)一形式即可得解?！驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意，又單調(diào)遞減，{}單調(diào)遞減增…①…②①+②,得，故代入，有成立，又…③…④③+④，得，故代入，成立。，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用，考查了分類思想和運(yùn)算能力，屬于難題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計(jì)算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值；中位數(shù)兩端的小長方形面積之和均為0.5；（3）根據(jù)題意分別求出，，，的人數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為（3）數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，所以數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù)為100-5-20-40-25=10.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體，由題中頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)等概念，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設(shè)在與直線距離處【解析】

（1）（i）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（ii）由題意，則，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（2）設(shè)，，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】解：（1）（i）設(shè)中點(diǎn)，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設(shè)，，則，，當(dāng)，即時(shí)，取最小值，∴污水廠設(shè)在與直線距離處時(shí)，鋪設(shè)管道總長最短，最短長度為千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，訓(xùn)練了利用換元法及基本不等式求最值，屬于中檔題．19、（1）分別抽取人，人，人；（2）【解析】

（1）頻率分布直方圖各組頻率等于各組矩形的面積，進(jìn)而算出各組頻數(shù)，再根據(jù)分層抽樣總體及各層抽樣比例相同求解；（2）列出從名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者所有的情況，再根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】（1）第組的人數(shù)為，第組的人數(shù)為，第組的人數(shù)為，因?yàn)榈?，，組共有名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第組:；第組:；第組:.所以應(yīng)從第，，組中分別抽取人，人，人.（2）設(shè)“第組的志愿者有被抽中”為事件.記第組的名志愿者為，，，第組的名志愿者為，，第組的名志愿者為，則從名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，，，，，，，，，，，共有種.其中第組的志愿者被抽中的有種，答：第組的志愿者有被抽中的概率為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，分層抽樣和古典概型,注意列舉所有情況時(shí)不要遺漏.20、（1）；（1）.【解析】

（1）在中，將代得：，由兩式作商得：，問題得解．（1）利用（1）中結(jié)果求得，分組求和，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及乘公比錯(cuò)位相減法分別求和即可得解．【詳解】（1）由n＝1得，因?yàn)?，?dāng)n≥1時(shí)，，由兩式作商得：（n＞1且n∈N*），又因?yàn)榉仙鲜?，所以（n∈N*）．（1）設(shè)，則bn＝n＋n·1n，所以Sn＝b1＋b1＋…＋bn＝（1＋1＋…＋n）＋設(shè)Tn＝1＋1·11＋3·13＋…+（n－1）·1n－1＋n·1n，①所以1Tn＝11＋1·13＋…（n－1）·1n－1＋（n－1）·1n＋n·1n＋1，②①－②得：－Tn＝1＋11＋13＋…＋1n－n·1n＋1，所以Tn＝（n－1）·1n＋1＋1．所以，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及方程思想，還考查了分組求和法及乘公比錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．21、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學(xué)生數(shù)，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來自第四組的事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1、A2、A3，第4組的2位同學(xué)為B1、B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，