上海市閔行區(qū)2024屆高三年級下冊學業(yè)質量調研（二模）數(shù)學試卷(含答案)

上海市閔行區(qū)2024屆高三下學期學業(yè)質量調研（二模）數(shù)學試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、填空題

1.集合A={x|2x+lW0},B={—2,—1,0},則4B=.

2.已知復數(shù)z滿足（2+i）z=3+4i（i為虛數(shù)單位），貝1]回=.

3.始邊與x軸的正半軸重合的角a的終邊過點（3,T）,貝！Jsin（（z+兀）=.

4.在（2x-Ip的二項展開式中，Y項的系數(shù)為.

5.已知正實數(shù)a、6滿足a+2〃=l,則必的最大值為.

6.已知等比數(shù)列{4}的前八項和為S"，且4=3,%=81，則S$=.

7.五個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程

隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案有?種.

8.函數(shù)y=4-x在x=l處的切線方程為.

x

9.已知a、匕是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量c滿足k|=3,且

c-a=c-b=l,當力取任意實數(shù)時，卜-/L（a+b）|的最小值為.

2

10.雙曲線「：/—匕=1的左右焦點分別為耳、工，過坐標原點的直線與廠相交于

6

A、5兩點，若閨到=2|耳4],則用465=.

11.對于任意的西、x2eR,且々＞0，不等式卜*'-七|+|山工2-司＞。恒成立，則實數(shù)

a的取值范圍為.

12.已知空間中有2個相異的點，現(xiàn)每增加一個點使得其與原有的點連接成盡可能多

的等邊三角形.例如，空間中3個點最多可連接成1個等邊三角形，空間中4個點最多

可連接成4個等邊三角形.當增加到8個點時，空間中這8個點最多可連接成

個等邊三角形.

二、選擇題

13.設aeR,貝『標＞y，是"/＞了,的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.已知y=/(x),尤eR為奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=log2x-l,則集合

{X|/(-幻一/(x)<0}可表示為()

A.(2,+00)B.(-oo,-2)C.(-00,-2)IJ(2,+oo)D.(-2,0)(2,^o)

15.某疾病預防中心隨機調查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎

患病的關系，調查數(shù)據(jù)如下表：

不吸煙者吸煙者總計

不患慢性氣管炎者121162283

患慢性氣管炎者134356

總計134205339

假設“。：患慢性氣管炎與吸煙沒有關系，即它們相互獨立.通過計算統(tǒng)計量爐，得

力2a7.468,根據(jù)7分布概率表:「(力2不6.635)笈0.01,P(^2>5.024)?0.025,

2

P(Z>3,841)^0.05,%/22.706卜0.1.給出下列3個命題，其中正確的個數(shù)是()

①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于5%；

②有99%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關；

③/分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一

般認為不太可能發(fā)生.

A.0個B.1個C.2個D.3個

16.已知/(x)=sinx,集合￡>=[—],/,r={(%,y)|2/(x)+/(y)=0,x,ye￡>},

0={(x,y)|2/(x)+/(y)?0,x,yG￡>}.關于下列兩個命題的判斷，說法正確的是()

命題①：集合r表示的平面圖形是中心對稱圖形；

命題②：集合Q表示的平面圖形的面積不大于”.

12

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

三、解答題

17.在銳角△ABC中，角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c,且

2Z?sinA-J§a=0.

(1)求角3;

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

18.如圖，已知ABCD為等腰梯形，AD//BC,ZBAD=12Q°,Q4_L平面ABCD,

AB=AD=AP=2.

(1)求證：PC±AB；

(2)求二面角C—5尸—A的大小.

19.ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機器人程序，是人工智能技術驅動的自然語

言處理工具，它能夠基于在預訓練階段所見的模式和統(tǒng)計規(guī)律來生成回答，但它的回

答可能會受到訓練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某

一類問題進行測試時發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為

0.98；如果出現(xiàn)語法錯誤，它回答正確的概率為0.18.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯

誤的概率為01，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨立.該公司科技人

員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT,小張和ChatGPT各自從給定的10個問題中隨機抽取9

個作答，已知在這10個問題中，小張能正確作答其中的9個.

(1)求小張能全部回答正確的概率；

(2)求一個問題能被ChatGPT回答正確的概率；

(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對題數(shù)的期望與方差.

尤2

20.如圖，已知橢圓Gq+y'i和拋物線G：f=2py(p>0),的焦點R是G的

上頂點，過R的直線交。2于"、N兩點，連接NO、MO并延長之，分別交G于A、

3兩點，連接A3,沒AOMN、鉆的面積分別為LOMN、SAOAB.

(1)求P的值；

(2)求QMON的值；

q

(3)求口皿的取值范圍.

q

21.已知定義在(0,+oo)上的函數(shù)y=/(x)的表達式為〃x)=sinx-xcosx,其所有的

零點按從小到大的順序組成數(shù)列｛當｝Cn>l,〃cN).

(1)求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,兀)上的值域；

(2)求證：函數(shù)丁=/(九)在區(qū)間(〃兀,(”+1)兀)(n>l,neN)上有且僅有一個零

八占'、?，

(3)求證：71<X“+1_七？<(〃+1)7t.

n

參考答案

1.答案：{-2,-1}

解析：A={x|2x+l<0}=<xg>,

所以AB={-2,-l}.

故答案為：{-2,-1}.

2.答案：V5

3+4i_（3+4i）（2-i）_lQ+5i

解析:由（2+i）z=3+4i得2+i,

2+i-（2+i）（2-i）-5

所以忖=44+1=A/5,

故答案為:火.

4

3.答案：1/0.8

解析：始邊與x軸的正半軸重合的角a的終邊過點(3,-4),

故sin(?+兀)=-sine=1.

工―生生4

故答案為：j.

4.答案：-160

解析：(2x-Ip的二項展開式的通項為：

r

Tr+1=q(2曠(-1/=(-l)-26,G.尸(r=0,l,,6).

由6—r=3,得r=3.

(2x-l)6的二項展開式中,上項的系數(shù)是-23xC：=-160.

故答案為：-160.

5.答案：-/0.125

8

解析：因為正實數(shù)人5滿足a+2b=l,則4）=工分26?工＞＜［史受］=-

2212J8

1

fa=2ba=}

當且僅當時，即當:時，等號成立，故必的最大值為L

a+2b=l,18

Lb――

14

故答案為：

8

6.答案：121

解析：設公比為q,故以=27,解得q=3,

a23

所以％="=1,

q

1-35

=121.

故答案為：121.

7.答案：96

解析：完成承建任務可分五步:

第一步，安排1號有4種；

第二步，安排2號有4種；

第三步，安排3號有3種；

第四步，安排4號有2種；

第五步，安排5號有1種.

由分步乘法計數(shù)原理知，共有4x4x3x2x1=96種.

故答案為96.

8.答案：3x+y—4=0

77

解析：/(%)=—X,/(X)=---1,所以/⑴=1,/'⑴=—3,

XX

所以在x=l處的切線方程為y-l=-3（x-l）,即3x+y—4=0,

故答案為：3x+y-4=0.

9.答案：不

解析：因為忖=忖=1,a-b=Q,卜|=3，c-a=c-b=1,

I|2,22,2

以c-X(〃+6)=c+幾2〃1+b-2Xa,c-2XZ?.c+,6

=222-42+9=2(2-l)2+7,

所以當X=1時，卜-"a+b)|的最小值為近，

故答案為：用.

10.答案：4

2

解析：雙曲線廠-卷=1,實半軸長為1,虛半軸長為后，焦距閨閶=2近，

由雙曲線的對稱性可得閨回=|序％閨A卜后即，有四邊形AE5身為平行四邊形,

令閨匈=|其耳=",則用用=|%4|=2加,由雙曲線定義可知耳4|=2,

故有2加一加=2,即m=2,即閨H=|耳理=加=2,|耳邳=|%4|=4,

△3月區(qū)中，由余弦定理，

\F}F2f=閨3「+其3「—2閨斗優(yōu)耳85/己明，

即28=16+4-16cosN83片，得cosNMHF]=-；,

F2A-F2B^F2^F2B^COSZAF2B^F2^F2B^COS(TI-ZF2BF1)=2X4X^=4.

故答案為:4.

11.答案：(-0,2)

解析：設函數(shù)/(x)=e=x,定義域為R,則r(x)=e:1,

當光<0時，/(%)<0；當x〉0時，

則“力在(-8,0)上單調遞減，在(0,+00)上單調遞增，

/(九)最小值為/(0)=1,

所以當西=0時，--玉|有最小值1；

設函數(shù)g(x)=x—lnx，定義域為(0,+8),則g'(x)=l-工=土」，

XX

當0<%<1時，g'(x)<0；當x>l時，g'(x)>0,

則g(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+00)上單調遞增，

g(x)最小值為g(1)=1,

所以當々=1時，|山馬-村有最小值1，

不等式卜為—xj+|ln尤2-々|>口恒成立，則有2>a,

所以實數(shù)a的取值范圍為(-8,2).

故答案為：(fo,2).

12.答案：20

解析：空間中4個點最多可連接成4個等邊三角形，構成正四面體，

正四面體的每一個面向外作一個正四面體，此時是增加一個點，增加正三角形3個，

新增加的4個點，又構成1個正四面體，

所以當增加到8個點時，空間中這8個點最多可連接成4+3x4+4=20個等邊三角形.

故答案為：20.

13.答案：B

解析：當標>1時，a>l或。<-1,不能推出有。3>1成立；

當/>1時，則a>l,必有標>1成立，

故“儲〉1”是“口3〉］,,的必要非充分條件，

故選：B.

14.答案：D

解析：因為y=/(x)為奇函數(shù)，所以/(-X)-/(%)<0等價于-2/(x)<0,即/(x)>0；

當尤>0時，/(x)=log2x-1,BP/(x)=log2x-l>0,解得x>2；

當光<0時，-x>0,KTWf(~x)=-f(x)=log2(-x)-1,所以〃x)=l-log2(—x),

解不等式/(x)=l-log2(—x)>0，可得-2<尤<0,

綜上可得集合{x|/(-x)-/(x)<0}可表示為(-2,0)(2,+(?).

故選：D.

15.答案：D

解析：因為/土7.468,且/26.635,

所以有99%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關，

即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關系”成立的可能性小于5%,

故①②正確；

/分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般

認為不太可能發(fā)生.故③正確；

故選：D.

16.答案：A

解析：對于r={(羽丁)|2/(%)+/(丁)=0,%,丁6。},集合￡>=[-方,會關于原點中心對

稱，且函數(shù)/(x)=sinx是奇函數(shù)，

若(x,y)e廠貝U2/(x)+/(y)=0貝U

2/(—尤)+/(—,)=—2/(尤)一/(y)=—[2/(x)+/(y)]=0,

即若(x,y)c廣則(-x,-y)G「，即集合r表示的平面圖形是關于原點中心對稱圖形,

故①是真命題；

對于。={(x,y)|2/(x)+/(y)20,x,ywZ>},

由2/(%)+/(y)=0即2sinx+siny=0知siny=-2sinx,

設t=siny,ye-/，]，則/與V---對應且/隨y的增大而增大，Ze[-1,1],

又由1=-2sinx知一2sini￡[一l,l],sinxe,

L22_

結合X工工]知在X巴]范圍內，/與X——對應且t隨X的增大而減小，

22jL66_

所以在X』-yj-23]范圍內，y與一一對應且y是關于X的減函數(shù)，

由①可知2sinx+siny=0圖象關于原點中心對稱，所以可得到2sinx+siny=0在

甘，釜的圖象，如圖，

代入點可得2sin'+sin]=3〉0,所以2sinx+siny20的區(qū)域是右半部分,

面積為正方形面積的一半，即集合Q表示的平面圖形的面積

5=—X7lX7l=-7l2>—712,故②是彳取命題.

2212

故選：A.

17.答案：（1）-

3

⑵（|,73]

解析：（1）2bsin=0,

2sinAsinB-真sinA=0,

又A￡[0,3，「.sinAwO,

..DV3DC7tyn71

..sinB——，JBG0,—,..B——.

2I2）3

(2)由(1)可知，B=~,且△ABC為銳角三角形,

3

0<A<-

所以2,A嗎力

Q<C=--A<-

[32

貝UsinA+sinC=sinA+sin（技一A）=sinA+cosA=y/3sin（A+,

因為工＜A+二＜0,

363

sinA+sinCe(—,A/3].

18.答案：(1)證明見解析

(2)arctan巫

解析：(1)連接AC,在等腰梯形ABC。中，AD//BC,ZBAD=120°,

AB=AD=2,

則CD=AD=2,ZADC=12Q°,于是NZMC=30°,NB4c=90°,即ABLAC,

由上4,平面ABCD,ABu平面ABC。，得

而PAAC=A,PA,ACu平面PAC,因此AB,平面PAC,又PCu平面PAC,

所以PCLAB.

(2)取BP的中點H,連接CW,AH,由AB=AP,得AHLPB,

在△ADC中，AC=2ADcosZDAC=2百，

由Q4J_平面ABCD,ACu平面ABCD,得ACLB4,

則PC=UP片+AC?=JAB?+Ac2=BC,于是CHLBP,

因此NCHA為二面角C-5P-A的平面角，

因為B4LAC,AC±AB,PAAB=A,PA,ABu平面ABP,

則AC,平面ABP,又AHu平面ABP,則ACLAH,

在Rtz\AHC中，CA=24,AH=42,則tanNCHA=且=遙，

AH

所以二面角C-BP-A的大小為arctan迷.

19.答案：(1)—

10

(2)0.9

(3)小張答對題數(shù)的期望為8.1,方差為0.09,ChatGPT答對題數(shù)的期望為8.1,方差

為0.81

C91

解析：（1）設小張答對的題數(shù)為X,則P（X=9）=W=L.

C：°10

（2）設事件A表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件3表示“一個問題能被ChatGPT

正確回答“，

由題意知Pa）=O1,P（叫A）=0.98,P（B|A）=0.18,

則P(A)=1-「以)=0.9,

P（B）=P（BA）+P（BA）=P（B|A）P（A）+P（B|A）P（A）

=0.98x0.9+0.18x0.1=0.9.

（3）設小張答對的題數(shù)為X,則X的可能取值是8,9,

C8cl9c91

且P(X=8)=±￥=Z,P(X=9)=-^=—,

C：°10C：°10

g

設ChatGPT答對的題數(shù)為Y,則y服從二項分布3（9,2）,

91

貝l]E(X)=8x—+9x—=8.1,E(F)=利=9x0.9=8.1,

D(X)=(8-—)2x—+(9-—)2X—=0.09,

10101010

。(丫)=〃網(wǎng)=9x0.9x0.1=0.81.

20.答案：(1)p=2

(2)-3

（3）[2,+oo）

丫2

解析：（1）橢圓和：?+/=1的上頂點坐標為（0,1）,

則拋物線的焦點為廠（。』），故P=2.

（2）若直線MN與y軸重合，則該直線與拋物線。2只有一個公共點，不符合題意,

所以直線的斜率存在，設直線的方程為y=fcc+l,點/（七,%）、Ng,%），

y-履+1可得尤2一46—4=o,A=16左2+16>0恒成立，則七々=一4,

聯(lián)立

x=4y一

OM,ON=再％+=玉％=—4+1=-3.

(3)設直線NO、MO的斜率分別為匕、k『其中勺>0,&<。，

聯(lián)立(k匕:可得(%+1#=4,解得』j,

K+4/=4I>7<+1

點A在第三象限，則乙=-:2,

7<+i

點3在第四象限，同理可得/，

且秘2="=以」

玉超164

SAOMN_10MHON|_㈤.闖—其村

S^AB一|。葉3「|叫瓦「」______1

44片+144片+1

=7?+1)?+1)=卜;+靠+2>卜卜；.卡+2=2,

當且僅當匕=工時，等號成立.

2

谷”的取值范圍為［2,+8).

S^OAB

21.答案：(1)(O,7i)

(2)證明見解析

(3)證明見解析

解析：(1)由/'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,

當x?0,兀)時，/'(x)>0,即函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,兀