中考數(shù)學(xué)壓軸題專題第11講二次函數(shù)與單線段最值問(wèn)題

專題11二次函數(shù)與單線段最值問(wèn)題

【例1】（2022?襄陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點(diǎn)C．（1）如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時(shí)，①求m的取值范圍；②求線段BC長(zhǎng)度的最大值．【例2】（2022?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．（1）①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【例3】（2021?青海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線段，垂足為Q點(diǎn)．當(dāng)PQ＝時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【例4】（2022?雅安）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．1．（2020?河北模擬）已知拋物線C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的對(duì)稱軸為x＝4，C為頂點(diǎn)，且A（2，0），C（4，﹣2）【問(wèn)題背景】求出拋物線C的解析式．【嘗試探索】如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′，作直線x＝k交BC′于點(diǎn)M，交拋物線C于點(diǎn)N．①連接ND，若四邊形MNDC′是平行四邊形，求出k的值．②當(dāng)線段MN在拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形內(nèi)部或邊界上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MN的長(zhǎng)度的最大值．【拓展延伸】如圖4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），現(xiàn)將其沿x軸以1個(gè)單位每秒的速度向右平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，得到矩形H′G′O′E′，連接AC′，若矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請(qǐng)求出t的取值范圍．2．（2018秋?寧城縣期末）已知，如圖，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），（1）如圖1，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點(diǎn)（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；（2）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸DH上求作一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖3，將圖2中的對(duì)稱軸向左移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)度，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．3．（2021?橋西區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且CO＝BO，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，求線段DE的長(zhǎng)度；（3）如圖3，垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，連接CP，CD，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022?和平區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4），且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)D是y軸左側(cè)的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AO，DO，當(dāng)以A，O，C為頂點(diǎn)的三角形與以D，O，E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在第二象限時(shí)，在平面內(nèi)存在一條直線，這條直線與拋物線在第二象限交于點(diǎn)F，在第三象限交于點(diǎn)G，且點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，到直線FG的距離都相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段FG的長(zhǎng)．5．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）連結(jié)AD，點(diǎn)E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，過(guò)E作EF∥AD交拋物線于點(diǎn)F（F在E的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)F作FG∥x軸交ED于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，求HF的長(zhǎng)．6．（2021?南崗區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，連接CG交x軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，ON的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，連接PB，將線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，點(diǎn)D恰好落在y軸上，點(diǎn)E在線段OB上，連接PE，點(diǎn)Q在EB的延長(zhǎng)線上，且EQ＝PE，連接DQ交PE于點(diǎn)F，若PE＝3PF，求QN的長(zhǎng)．7．（2021?涼山州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，其中D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線第三象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，當(dāng)PE的值最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PE的最大值．8．（2022?無(wú)錫二模）已知拋物線y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若M、N是第一象限的拋物線上不同的兩點(diǎn)，且△BCN的面積總小于△BCM的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若D為拋物線的頂點(diǎn)，P為第二象限的拋物線上的一點(diǎn)，連接BP、DP，分別交y軸于點(diǎn)E、F，若EF＝OC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．9．（2021?乳源縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，連接AM，CM，求△AMC的面積；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．（2021?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線CA的解析式；（2）如圖，直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，DG⊥CA于點(diǎn)G，若E為GA的中點(diǎn)，求m的值．（3）直線y＝nx+n與拋物線交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．11．（2021?桂林）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過(guò)點(diǎn)A（﹣1，5）和點(diǎn)B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，連接PB，PA，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2021?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣），點(diǎn)B（1，）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）點(diǎn)P為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2m+1．已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減?。偾髆的取值范圍；②當(dāng)PQ≤7時(shí)，直接寫(xiě)出線段PQ與二次函數(shù)y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．13．（2020?武漢模擬）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A的直線y＝ax+a交y軸正半軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE∥y軸交AD于E，求證：AF＝DE．（3）如圖2，直線DE：y＝kx+b與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，滿足DF＝FE．若a＝1，求點(diǎn)F坐標(biāo)．14．（2020?哈爾濱模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸上A、B和C三點(diǎn)，連接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)Q在第四象限的拋物線上且橫坐標(biāo)為t，連接BQ交y軸于點(diǎn)E，連接CQ、CB，△BCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式；（3）已知點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接CQ，DH所在直線是拋物線的對(duì)稱軸，連接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x軸交拋物線于點(diǎn)R，HQ＝HR，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．15．（2019?衡陽(yáng)）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)P不與O、B重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB．請(qǐng)問(wèn)：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2020?天津）已知點(diǎn)A（1，0）是拋物線y＝ax2+bx+m（a，b，m為常數(shù)，a≠0，m＜0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1，m＝﹣3時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M（m，0），與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF＝2．①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且AE＝EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是？17．（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)O（0，0）、A（1，0）、B（，）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．（2020?濱州）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（h，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣），點(diǎn)F（2，1）為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)．（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知直線l是過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d；（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D（4，3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使△DFQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)△DFQ周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．19．（2016?巴彥淖爾）如圖所示，拋物線y＝ax2﹣x+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O與點(diǎn)A（6，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，交直線y＝2x﹣2于點(diǎn)C，且直線y＝2x﹣2與x軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y＝2x﹣2的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式及l(fā)的最大值．20．（2018?葫蘆島）如圖，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)E（4，5），與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．（1）求該拋物線的解析式；（2）將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)F落在直線AE上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)和△ABF的面積；②當(dāng)點(diǎn)F到直線AE的距離為時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作直線AE的平行線與拋物線相交，請(qǐng)直接寫(xiě)出交點(diǎn)的坐標(biāo)．

【例1】（2022?襄陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點(diǎn)C．（1）如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時(shí)，①求m的取值范圍；②求線段BC長(zhǎng)度的最大值．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可分別得出A，B，C，D的坐標(biāo)；①當(dāng)m＝2時(shí)，代入上述坐標(biāo)即可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根據(jù)三角形的面積公式可得△PAB的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y軸上有一點(diǎn)M（0，m），點(diǎn)C在線段MB上，需要分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)大于點(diǎn)B的坐標(biāo)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)小于點(diǎn)B的坐標(biāo)時(shí)，分別得出m的取值范圍即可；②根據(jù)①中的條件可知，分兩種情況，分別得出BC的長(zhǎng)度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴拋物線的頂點(diǎn)為D（m，2），令x＝0，則y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①當(dāng)m＝2時(shí)，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直線AB的解析式為：y＝2x﹣4，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣2．如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面積為：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴當(dāng)t＝1時(shí)，△PAB的面積的最大值為3．此時(shí)P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y軸上有一點(diǎn)M（0，m），點(diǎn)C在線段MB上，∴需要分兩種情況：當(dāng)m≥﹣m2+2≥﹣2m時(shí)，可得≤m≤1+，當(dāng)m≤﹣m2+2≤﹣2m時(shí)，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范圍為：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②當(dāng)≤m≤1+時(shí)，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴當(dāng)m＝1時(shí)，BC的最大值為3；當(dāng)m≤﹣m2+2≤﹣2m時(shí)，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，BC的最大值為13．∴當(dāng)m＝1時(shí)，BC的最大值為3；當(dāng)m＝﹣3時(shí)，BC的最大值為13．【例2】（2022?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．（1）①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)兩角相等證明△MCP∽△PBA，列比例式可得n與m的關(guān)系式，配方后可得結(jié)論．【解答】解：（1）①四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，n的值最大，最大值是．【例3】（2021?青海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線段，垂足為Q點(diǎn)．當(dāng)PQ＝時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)題意得出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的解析式由圖象判斷即可；（3）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，根據(jù)函數(shù)圖象點(diǎn)P的位置分三種情況分別計(jì)算出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0，y＝0+2＝2，當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入拋物線解析式，得，解得，∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣2x+2＞2，當(dāng)函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+2＝2時(shí)，解得x＝0或x＝﹣2，由圖象知，當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)函數(shù)值大于2，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集為：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣x+2＞x+2，觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)y＝﹣x2﹣x+2的函數(shù)值大于y＝x+2的函數(shù)值，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集為：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，作PQ⊥AB于Q，①如圖1，當(dāng)P在AB上方時(shí)，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣x+2），則點(diǎn)D（x，x+2），∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x＝1，解得x＝﹣1，∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，同理①可得PD＝1，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣x+2），則點(diǎn)D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由圖象知此時(shí)P點(diǎn)在第三象限，∴x＝﹣﹣1，∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣﹣1，﹣），③如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣x+2），則點(diǎn)D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由圖象知此時(shí)P點(diǎn)在第一象限，∴x＝﹣1，∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，），綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．【例4】（2022?雅安）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為交點(diǎn)式，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出來(lái)，然后分為∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及∠AEC＝90°，然后根據(jù)勾股定理逆定理列出方程，解方程，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）根據(jù)∠APD＝90°確定點(diǎn)P在以AD的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，進(jìn)一步求得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x+1）?（x﹣3），∴a?（﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）?（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）；（2）存在點(diǎn)E，使△ACE是直角三角形，過(guò)程如下：設(shè)點(diǎn)E（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，當(dāng)∠EAC＝90°時(shí)，AE2+AC2＝CE2，∴14+m2＝1+（m+3）2，∴m＝，∴E1（1，），當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，AC2+CE2＝AE2，∴11+（m+3）2＝4+m2，∴m＝﹣，∴E2（1，﹣），當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，AE2+CE2＝AC2，∴5+m2+（m+3）2＝10，∴m＝﹣1或﹣2，∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），綜上所述：點(diǎn)E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；（3）設(shè)AD的中點(diǎn)為I，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴AD＝＝2，I（0，﹣2），∴PA⊥PD，∴∠ADP＝90°，∴點(diǎn)P在以AD的中點(diǎn)I為圓心，為半徑的圓上，∵BI＝＝，∴PB最?。僵仯?．（2020?河北模擬）已知拋物線C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的對(duì)稱軸為x＝4，C為頂點(diǎn)，且A（2，0），C（4，﹣2）【問(wèn)題背景】求出拋物線C的解析式．【嘗試探索】如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′，作直線x＝k交BC′于點(diǎn)M，交拋物線C于點(diǎn)N．①連接ND，若四邊形MNDC′是平行四邊形，求出k的值．②當(dāng)線段MN在拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形內(nèi)部或邊界上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MN的長(zhǎng)度的最大值．【拓展延伸】如圖4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），現(xiàn)將其沿x軸以1個(gè)單位每秒的速度向右平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，得到矩形H′G′O′E′，連接AC′，若矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請(qǐng)求出t的取值范圍．【分析】【問(wèn)題背景】A（2，0），對(duì)稱軸為x＝4，則點(diǎn)B（6，0），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣2）（x﹣6），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式即可求解；【嘗試探索】①四邊形MNDC′是平行四邊形，則MN＝DC′＝2，即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）當(dāng)t＝2時(shí)，矩形過(guò)點(diǎn)A，此時(shí)矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分；（Ⅱ）當(dāng)H′E′與對(duì)稱軸右側(cè)拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即可求解．【解答】解：【問(wèn)題背景】A（2，0），對(duì)稱軸為x＝4，則點(diǎn)B（6，0），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣2）（x﹣6），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）?（4﹣6），解得：a＝，故拋物線的表達(dá)式為：…①；【嘗試探索】①點(diǎn)C′（4，2），由點(diǎn)B、C′的坐標(biāo)可得，直線BC′的表達(dá)式為：y＝﹣x+6…②，四邊形MNDC′是平行四邊形，則MN＝DC′＝2，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（x，k2﹣4k+6），則點(diǎn)M（k，﹣k+6），即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，故k的值為：；②聯(lián)立①②并解得：x＝0或6，故拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形對(duì)應(yīng)的k值取值范圍為：0≤k≤6，MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，∵0，故MN有最大值，最大值為；【拓展延伸】由點(diǎn)A、C′的坐標(biāo)得，直線AC′表達(dá)式為：y＝x﹣2…③，聯(lián)立①③并解得：x＝2或8，即封閉區(qū)間對(duì)應(yīng)的x取值范圍為：2≤x≤8，（Ⅰ）當(dāng)t＝2時(shí)，矩形過(guò)點(diǎn)A，此時(shí)矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，（Ⅱ）當(dāng)H′E′與對(duì)稱軸右側(cè)拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即x＝4+2，則t＝3+4+2＝7+2，故t的取值范圍為：2≤t≤．2．（2018秋?寧城縣期末）已知，如圖，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），（1）如圖1，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點(diǎn)（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；（2）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸DH上求作一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖3，將圖2中的對(duì)稱軸向左移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)度，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)D坐標(biāo)設(shè)其頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)C（2）連接BC，交DH于點(diǎn)M，使△ABM周長(zhǎng)最小，即AM+BM最小，先求出BC直線解析式，再令x＝﹣1，求得M（﹣1，2）；（3）由題意得出E（m，﹣m2﹣2m+3），F(xiàn)（m，m+3），據(jù)此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣1，4）可設(shè)其解析式為y＝a（x+1）2+4，將點(diǎn)C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，則拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）連接BC，交DH于點(diǎn)M，此時(shí)△ABM的周長(zhǎng)最小，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，則A（1，0），C（﹣3，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則B（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直線BC解析式為y＝x+3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1+3＝2，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，2）；（3）由題意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F(xiàn)（m，m+3），則EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．3．（2021?橋西區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且CO＝BO，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，求線段DE的長(zhǎng)度；（3）如圖3，垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，連接CP，CD，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意可求得點(diǎn)C，B的坐標(biāo)，將A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a，b的值，即可得到拋物線解析式；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)C，B的坐標(biāo)代入求得k，b的值，即可求得直線BC的解析式，再求DE即可；（3）根據(jù)△CDE∽△PCF，DE∥PF，可得：＝，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（t，﹣t+3），建立關(guān)于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在拋物線y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∵拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，當(dāng)＝時(shí)，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，當(dāng)t＝2時(shí)，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）．4．（2022?和平區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4），且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)D是y軸左側(cè)的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AO，DO，當(dāng)以A，O，C為頂點(diǎn)的三角形與以D，O，E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在第二象限時(shí)，在平面內(nèi)存在一條直線，這條直線與拋物線在第二象限交于點(diǎn)F，在第三象限交于點(diǎn)G，且點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，到直線FG的距離都相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段FG的長(zhǎng)．【分析】（1）設(shè)該拋物線解析式為y＝a（x+2）2+4（a≠0），把點(diǎn)（0，0）代入，即可求解；（2）根據(jù)題意得OC＝2，AC＝4，設(shè)點(diǎn)D（x，﹣x2﹣4x），則DE＝|﹣x2﹣4x|，OE＝﹣x，根據(jù)∠ACO＝∠DEO＝90°，可得當(dāng)以A，O，C為頂點(diǎn)的三角形與以D，O，E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，分兩種討論，即可求解；（3）求出直線BD的解析式y(tǒng)＝x+14，直線BD與y軸交于（0，14），可得過(guò)點(diǎn)A平行于BD的直線AM的解析式為y＝x+11，交y軸于（0，11），可得直線FG的的解析式為y＝x+，聯(lián)立方程組，得到點(diǎn)F．G的坐標(biāo)，即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，4），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）2+4（a≠0），把點(diǎn)（0，0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0，則﹣x2﹣4x＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝0，∴點(diǎn)B（﹣4，0），∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣4x．點(diǎn)B（﹣4，0）；（2）∵AC⊥x軸，點(diǎn)A（﹣2，4），∴點(diǎn)C（﹣2，0），∴OC＝2，AC＝4，∵∠ACO＝∠DEO＝90°，∴當(dāng)以A，O，C為頂點(diǎn)的三角形與以D，O，E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，設(shè)D（x，﹣x2﹣4x），①當(dāng)∠AOC＝∠ODE時(shí)，△AOC∽△ODE，如圖：∵∠AOC＝∠ODE，∴tan∠AOC＝tan∠ODE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x），∴x1＝0（舍去），x2＝﹣或x3＝0（舍去），x4＝﹣，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣，）；②當(dāng)∠AOC＝∠DOE時(shí)，△AOC∽△DOE，如圖：∵∠AOC＝∠DOE，∴tan∠AOC＝tan∠DOE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x，∴x1＝0（舍去），x2＝﹣6或x3＝0（舍去），x4＝﹣2（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，﹣12）；點(diǎn)D（﹣6，﹣12）；綜上所述，當(dāng)以A，O，C為頂點(diǎn)的三角形與以D，O，E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，﹣12）或（﹣，﹣）或（﹣，）；（3）∵在（2）的條件下，點(diǎn)D在第二象限，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，），直線BD的解析式y(tǒng)＝kx+m，∴，解得，∴直線BD的解析式y(tǒng)＝x+14，直線BD與y軸交于（0，14），∴過(guò)點(diǎn)A平行于BD的直線AM的解析式為y＝x+11，交y軸于（0，11），∵點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，到直線FG的距離都相等，∴直線FG的的解析式為y＝x+，聯(lián)立得，解得，，∴F（﹣，），G（﹣5，﹣5），∴FG＝＝．5．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）連結(jié)AD，點(diǎn)E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，過(guò)E作EF∥AD交拋物線于點(diǎn)F（F在E的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)F作FG∥x軸交ED于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，求HF的長(zhǎng)．【分析】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）代入拋物線解析式即可求解；（2）延長(zhǎng)FG交y軸于點(diǎn)I，根據(jù)A，E，D坐標(biāo)求出AE＝3，DE＝9，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝3，再根據(jù)四邊形AGFE是平行四邊形，得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，設(shè)HF＝m，EH＝3m，易證四邊形OIHE是矩形，把點(diǎn)F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，求出m即可．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）代入拋物線解析式，得：，解得：，∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x﹣5，頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，﹣9）；（2）延長(zhǎng)FG交y軸于點(diǎn)I，∵A（﹣1，0），E（2，0），D（2，﹣9），∴AE＝3，DE＝9，∴在Rt△EAD中，，∵EF∥AD，F(xiàn)G∥x軸，∴四邊形AGFE是平行四邊形，∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，∴在Rt△EHF中，EH＝3HF，設(shè)HF＝m，EH＝3m，易證四邊形OIHE是矩形，把點(diǎn)F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，得，﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5，解得：或m＝（舍去），∴．6．（2021?南崗區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，連接CG交x軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，ON的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，連接PB，將線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，點(diǎn)D恰好落在y軸上，點(diǎn)E在線段OB上，連接PE，點(diǎn)Q在EB的延長(zhǎng)線上，且EQ＝PE，連接DQ交PE于點(diǎn)F，若PE＝3PF，求QN的長(zhǎng)．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）設(shè)P（t，t2﹣t﹣4），則G（1﹣t，t2﹣t﹣4），利用tan∠GCH＝＝，求出CN，即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)P作PT⊥x軸于點(diǎn)T，可證得△PDH≌△PBT（AAS），過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為K，過(guò)點(diǎn)D作KF的垂線，垂足為R，KR與PH交于點(diǎn)M，再證得△DRF≌△QKF（ASA），過(guò)點(diǎn)Q作QW∥PD，可證得△DPF≌△QWF（AAS），過(guò)點(diǎn)Q作QZ⊥PE于點(diǎn)Z，再證明△EQZ≌△EPT（AAS），再利用HL證明Rt△QWZ≌Rt△PBT，設(shè)EB＝m，運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1，設(shè)P（t，t2﹣t﹣4），∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，PG∥x軸，∴點(diǎn)G與點(diǎn)P是拋物線上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，∴G（1﹣t，t2﹣t﹣4），設(shè)PG與y軸交于點(diǎn)H，則H（0，t2﹣t﹣4），在拋物線中，令x＝0，得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t，GH＝t﹣1，∵tan∠GCH＝＝，∴，解得：，∴d與t之間的函數(shù)解析式為d＝；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥x軸于點(diǎn)T，∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，∴四邊形PHOT為矩形，∴∠HPT＝90°，∴∠DPH＝∠BPT，∵PD＝PB，∴△PDH≌△PBT（AAS），∴DH＝BT，PH＝PT，∴，解得：t1＝6，t2＝﹣2（舍），∴P（6，6），∴T（6，0），∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為K，過(guò)點(diǎn)D作KF的垂線，垂足為R，KR與PH交于點(diǎn)M，∵PE＝3PF，∴EF＝2PF，∵cos∠PFM＝cos∠EFK，∴，∴FK＝2FM，∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，∴四邊形PMKT為矩形，∴MK＝PT＝6，∴FM＝2，F(xiàn)K＝4，同理四邊形DHMR為矩形，∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，∵∠DFR＝∠KFQ，∴△DRF≌△QKF（ASA），∴DF＝QF，過(guò)點(diǎn)Q作QW∥PD，∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，∴△DPF≌△QWF（AAS），∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，∴，過(guò)點(diǎn)Q作QZ⊥PE于點(diǎn)Z，∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，∴△EQZ≌△EPT（AAS），∴PT＝QZ，EZ＝ET，∵QW＝PB，∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL），∴WZ＝BT，∴EW＝EB．設(shè)EB＝m，則EW＝WF＝FP＝m，∴EP＝3m，∵BT＝2，∴ET＝m+2，PT＝6，在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2+PT2，∴（3m）2＝（m+2）2+62，解得：，m2＝﹣2（舍），∴，∴BQ＝2BE＝5，∵OB＝4，∴OQ＝9，∵ON＝2，∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021?涼山州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，其中D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線第三象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，當(dāng)PE的值最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PE的最大值．【分析】（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)坐標(biāo)求出三角形各邊的長(zhǎng)，利用勾股定理判斷其為直角三角形，再用三角形面積公式求面積即可；（3）求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于H，設(shè)出P點(diǎn)和H點(diǎn)坐標(biāo)，用含x的代數(shù)式求出PE的值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可．【解答】解：（1）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），將A，B，C三點(diǎn)代入解析式得，，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|?|CD|＝×＝3；（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝sx+t，代入A，C點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，如右圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y軸，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH?sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，PE有最大值為，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．8．（2022?無(wú)錫二模）已知拋物線y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若M、N是第一象限的拋物線上不同的兩點(diǎn)，且△BCN的面積總小于△BCM的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若D為拋物線的頂點(diǎn)，P為第二象限的拋物線上的一點(diǎn)，連接BP、DP，分別交y軸于點(diǎn)E、F，若EF＝OC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）設(shè)A（x1，0），B（x2，0），因?yàn)镺B＝3OA，所以x2＝﹣3x1，又由于x1，x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的兩根，所以x1+x2＝2，從而求出x1的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，代入到解析式中，求出m，即可解決問(wèn)題；（2）由題意可得，只要求得第一象限內(nèi)M點(diǎn)，使△BCM面積最大，過(guò)M作y軸平行線交BC于G點(diǎn)，設(shè)M（a，﹣a2+2a+3），先求出直線BC的解析式，可以得到G（a，﹣a+3），從而得的MG＝﹣a2+3a，利用S△MBC＝S△MGC+S△MGB，得到S△MBC＝，當(dāng)a＝時(shí)，△MBC面積最大，從而求得M點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由EF＝得EF＝1，過(guò)D作DQ∥y軸交BP于Q點(diǎn)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出D點(diǎn)坐標(biāo)和直線BP解析式，從而表示出DQ的長(zhǎng)度，由△PEF∽△PQD，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比，列出方程，即可解決．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，0），B（x2，0），∵OB＝3OA，∴x2＝﹣3x1，令y＝0，則mx2﹣2mx+3＝0，∵x1與x2是方程的兩根，∴x1+x2＝2，又x2＝﹣3x1，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），將x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，則y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC解析式為y＝kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)得，k＝﹣1，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，設(shè)M（a，﹣a2+2a+3），如圖1，過(guò)M作MG∥y軸交直線BC于G點(diǎn)，則G（a，﹣a+3），∴MG＝﹣a2+3a，∴S△MBC＝S△MGC+S△MGB＝＝，當(dāng)a＝時(shí)，△MBC面積最大，此時(shí)△BCN的面積總小于△BCM的面積，∴M（）；（3）如圖2，由（1）可得，OC＝3，∴EF＝，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），∵B（3，0），∴直線BP的解析式為y＝﹣（t+1）（x﹣3），∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），過(guò)D作y軸的平行線交直線BP于Q點(diǎn)，∴Q（1，2t+2），∴DQ＝2﹣2t，∵DQ∥y軸，∴△PEF∽△PQD，∴，∴，∴P（）．9．（2021?乳源縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，連接AM，CM，求△AMC的面積；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）△AMC的面積＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA，即可求解；（3）點(diǎn)D在直線AC上，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m+），由題意得，四邊形OEDF為矩形，故EF＝OD，即當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，只需要OD最短即可，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：＝a（0﹣5）（0+1），解得a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）（x+1）＝﹣x2+2x+；（2）由拋物線的表達(dá)式得頂點(diǎn)M（2，），過(guò)點(diǎn)M作MH∥y軸交AC于點(diǎn)H，設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+t，則，解得，故直線AC的表達(dá)式為y＝﹣x+，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，則MH＝﹣＝3，則△AMC的面積＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝；（3）點(diǎn)D在直線AC上，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m+），由題意得，四邊形OEDF為矩形，故EF＝OD，即當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，只需要OD最短即可，則EF2＝OD2＝m2+（﹣m+）2＝m2﹣m+，∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最?。?，此時(shí)m＝1，故點(diǎn)D（1，2），∵點(diǎn)P、D的縱坐標(biāo)相同，故2＝﹣x2+2x+，解得x＝2±，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2﹣，2）．10．（2021?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線CA的解析式；（2）如圖，直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，DG⊥CA于點(diǎn)G，若E為GA的中點(diǎn)，求m的值．（3）直線y＝nx+n與拋物線交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．【分析】（1）由y＝﹣（x﹣1）2+4中，得A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可得，直線CA的解析式為y＝﹣x+3；（2）根據(jù)直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，可得D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），從而AF＝3﹣m，DE＝﹣m2+3m，而△EAF是等腰直角三角形，可得AE＝AF＝3﹣m，△DEG是等腰直角三角形，即可列﹣m2+3m＝（3﹣m），解得m＝2或m＝3（舍去）；（3）由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，根據(jù)x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，可得3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，即解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，可得：﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，即解得n＞7．【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），設(shè)直線CA的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線CA的解析式為y＝﹣x+3；（2）∵直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵A（3，0），C（0，3），∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，∴AE＝AF＝3﹣m，∠DEG＝∠AEF＝45°，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DE＝GE，∵E為GA的中點(diǎn)，∴GE＝AE＝3﹣m，∴﹣m2+3m＝（3﹣m），解得m＝2或m＝3，∵m＝3時(shí)，D與A重合，舍去，∴m＝2；（3）由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如圖：∵x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，解得n＞7，綜上所述，n的取值范圍是0＜n＜1或n＞7．11．（2021?桂林）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過(guò)點(diǎn)A（﹣1，5）和點(diǎn)B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，連接PB，PA，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使A，B兩點(diǎn)到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．（2）設(shè)P（t，0），則有＝，解方程，可得結(jié)論．（3）存在．連接AB，設(shè)AB的中點(diǎn)為T(mén)．分兩種情形：①當(dāng)直線CM經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)T時(shí)，滿足條件．②CM′∥AB時(shí)，滿足條件．根據(jù)方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過(guò)點(diǎn)A（﹣1，5），∴5＝﹣20a，∴a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣3）（x+6），令y＝0，則﹣（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6，∴C（3，0），當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y＝﹣×（﹣8）×1＝2，∴B（﹣5，2），∴m＝2．（2）設(shè)P（t，0），則有＝，整理得，21t2+242t+621＝0，解得t＝﹣或﹣，經(jīng)檢驗(yàn)t＝﹣或﹣是方程的解，∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）．（3）存在．連接AB，設(shè)AB的中點(diǎn)為T(mén)．①當(dāng)直線CM經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)T時(shí)，滿足條件．∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB，∴T（﹣3，），∵C（3，0），∴直線CT的解析式為y＝﹣x+，由，解得（即點(diǎn)C）或，∴M（﹣，），②CM′∥AB時(shí)，滿足條件，∵直線AB的解析式為y＝x+，∴直線CM′的解析式為y＝x﹣，由，解得（即點(diǎn)C）或，∴M′（﹣9，﹣9），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣或﹣9．12．（2021?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣），點(diǎn)B（1，）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）點(diǎn)P為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2m+1．已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減?。偾髆的取值范圍；②當(dāng)PQ≤7時(shí)，直接寫(xiě)出線段PQ與二次函數(shù)y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解．（2）將函數(shù)代數(shù)式配方，由拋物線開(kāi)口方向和對(duì)稱軸直線方程求解．（3）①由0＜PQ≤7求出m取值范圍，②通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：（1）將A（0，﹣），點(diǎn)B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣．∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，y取最小值為﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，當(dāng)﹣3m+1＞0時(shí)，PQ＝﹣3m+1，PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減小，當(dāng)﹣3m+1＜0時(shí)，PQ＝3m﹣1，PQ的長(zhǎng)度隨m增大而增大，∴﹣3m+1＞0滿足題意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如圖，當(dāng)m＝﹣時(shí)，點(diǎn)P在最低點(diǎn)，PQ與圖象有1交點(diǎn)，m增大過(guò)程中，﹣＜m＜，點(diǎn)P與點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)，PQ與圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，直線x＝關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線x＝﹣對(duì)稱后直線為x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣時(shí)，PQ與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)﹣2≤m≤﹣時(shí)，PQ與圖象有1個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m時(shí)，PQ與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，﹣＜m＜﹣時(shí)，PQ與圖象有2個(gè)交點(diǎn)．13．（2020?武漢模擬）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A的直線y＝ax+a交y軸正半軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE∥y軸交AD于E，求證：AF＝DE．（3）如圖2，直線DE：y＝kx+b與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，滿足DF＝FE．若a＝1，求點(diǎn)F坐標(biāo)．【分析】（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，解出x即可；（2）過(guò)E，D分別作x軸，y軸的平行線，交于H，證明∴&△FAO≌△DEH即可；（3）令x^{2}﹣2x﹣3＝kx+b得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，得出k與b的關(guān)系，然后求出D，E的坐標(biāo)，根據(jù)FE＝FD，列方程求出F的坐標(biāo)．【解答】（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0即x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1∴A（﹣1，0）B（3，0）（2）過(guò)E，D分別作x軸，y軸的平行線，交于H．令ax+a＝ax2﹣2ax﹣3a得ax2﹣3ax﹣4a＝0，∴x2﹣3x﹣4＝0∴x1＝4，x2＝﹣1∴xD＝4∴EH＝AO＝1＝∠AOF＝∠EHD，∠FAO＝∠DEH∴△FAO≌△DEH∴AF＝DE（3）令x^{2}﹣2x﹣3＝kx+b得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0（2+k）2+4（3+b）＝0∴＝＝∴∴＝∴，∴＝＝∴＝＝∵EF＝DF∴整理得∴yF＝﹣F的坐標(biāo)為（1，﹣）14．（2020?哈爾濱模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸上A、B和C三點(diǎn)，連接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)Q在第四象限的拋物線上且橫坐標(biāo)為t，連接BQ交y軸于點(diǎn)E，連接CQ、CB，△BCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式；（3）已知點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接CQ，DH所在直線是拋物線的對(duì)稱軸，連接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x軸交拋物線于點(diǎn)R，HQ＝HR，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．【分析】（1）c＝5，OC＝5，tanC＝，則OA＝3，5OA＝3OB，則OB＝5，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），即可求解；（2）S＝CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t+5）＝t2+t；（3）證明△CTE≌△QTJ（AAS），故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，tan∠EQN＝tan∠JCN，即，解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故點(diǎn)Q（3m，5﹣6m），將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：m＝0（舍去）或，故點(diǎn)Q（4，﹣3），設(shè)：HR＝k，則點(diǎn)R（k﹣1，﹣k2+），QS＝y(tǒng)Q﹣yR＝k2﹣，由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，即（k2﹣）2+25＝k2，即可求解．【解答】解：（1）c＝5，OC＝5，tanC＝，則OA＝3，5OA＝3OB，則OB＝5，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），則拋物線表達(dá)式為：y＝a（x+5）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣15），即﹣15a＝5，解得：a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣x+5；（2）設(shè)點(diǎn)Q（t，﹣t2﹣t+5），點(diǎn)B（﹣5，0），由點(diǎn)B、Q的坐標(biāo)得：直線BQ的表達(dá)式為：y＝﹣（t﹣3）（x+5），故點(diǎn)E（0，﹣t+5），S＝CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t+5）＝t2+t；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QJ∥x軸交y軸于點(diǎn)N，交對(duì)稱軸于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥BQ于點(diǎn)T，延長(zhǎng)CT交QJ于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)K，交HR于點(diǎn)S，則OKQN為矩形，OK＝QN＝t，由（2）知，CE＝t，故QN：CE＝3：5，設(shè)QN＝3m，則CE＝5m，∵∠BQC＝45°，故CT＝QT，∠EQN＝90°﹣∠NEQ＝90°﹣∠CET＝∠TCE＝∠JCN，故△CTE≌△QTJ（AAS），故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，tan∠EQN＝tan∠JCN，即，解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故點(diǎn)Q（3m，5﹣6m），將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：m＝0（舍去）或，故點(diǎn)Q（4，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為：（﹣1，），QL＝4+1＝5＝HS，設(shè)：HR＝k，則點(diǎn)R（k﹣1，﹣k2+），QS＝y(tǒng)Q﹣yR＝k2﹣，由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，即（k2﹣）2+25＝k2，解得：k＝（不合題意值已舍去），故點(diǎn)R（﹣1，﹣6）．15．（2019?衡陽(yáng)）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)P不與O、B重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB．請(qǐng)問(wèn)：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）設(shè)OP＝x，則PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例線段，可表示OE的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段OE的最大值；（3）過(guò)點(diǎn)M作MH∥y軸交BN于點(diǎn)H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝即可求解．【解答】解：（1））∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，，解得：，故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥PE，∴∠OPE+∠CPB＝90°，∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠OPE＝∠PCB，又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，∴△POE∽△CBP，∴，設(shè)OP＝x，則PB＝3﹣x，∴，∴OE＝，∵0＜x＜3，∴時(shí)，線段OE長(zhǎng)有最大值，最大值為．即OP＝時(shí)，點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)至P（，0）時(shí)，線段OE有最大值．最大值是．（3）存在．如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH∥y軸交BN于點(diǎn)H，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），設(shè)直線BN的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴直線BN的解析式為y＝x﹣3，設(shè)M（a，a2﹣2a﹣3），則H（a，a﹣3），∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝，∵，∴a＝時(shí)，△MBN的面積有最大值，最大值是，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．16．（2020?天津）已知點(diǎn)A（1，0）是拋物線y＝ax2+bx+m（a，b，m為常數(shù)，a≠0，m＜0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1，m＝﹣3時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M（m，0），與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF＝2．①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且AE＝EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是？【分析】（Ⅰ）將A（1，0）代入拋物線的解析式求出b＝2，由配方法可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）①根據(jù)題意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出拋物線的解析式為y＝x2﹣（m+1）x+m．則點(diǎn)C（0，m），點(diǎn)E（m+1，m），過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H，由點(diǎn)A（1，0），得點(diǎn)H（1，m）．根據(jù)題意求出m的值，可求出CF的長(zhǎng)，則可得出答案；②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，當(dāng)MC≥，即m≤﹣1時(shí)，當(dāng)MC＜，即﹣1＜m＜0時(shí)，根據(jù)MN的最小值可分別求出m的值即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1，m＝﹣3時(shí)，拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3．∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），∴0＝1+b﹣3，解得b＝2，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．（Ⅱ）①∵拋物線y＝ax2+bx+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和M（m，0），m＜0，∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．∴a＝1，b＝﹣m﹣1．∴拋物線的解析式為y＝x2﹣（m+1）x+m．根據(jù)題意得，點(diǎn)C（0，m），點(diǎn)E（m+1，m），過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H，由點(diǎn)A（1，0），得點(diǎn)H（1，m）．在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，∴AE＝＝﹣m，∵AE＝EF＝2，∴﹣m＝2，解得m＝﹣2．此時(shí)，點(diǎn)E（﹣1，﹣2），點(diǎn)C（0，﹣2），有EC＝1．∵點(diǎn)F在y軸上，∴在Rt△EFC中，CF＝＝．∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．②由N是EF的中點(diǎn)，連接CN，CM，得CN＝EF＝．根據(jù)題意，點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心、為半徑的圓上，由點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．當(dāng)MC≥，即m≤﹣1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)N在線段MC上．MN的最小值為MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；當(dāng)MC＜，即﹣1＜m＜0時(shí)，滿足條件的點(diǎn)N落在線段CM的延長(zhǎng)線上，MN的最小值為NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，解得m＝﹣．∴當(dāng)m的值為﹣或﹣時(shí)，MN的最小值是．17．（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)O（0，0）、A（1，0）、B（，）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x軸正半軸的夾角為60°，故設(shè)CD的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，而OB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸額平行線交CD于點(diǎn)Q，PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，即可求解．【解答】解：（1）將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x；（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，∵BO⊥AD，則∠BOA+∠BOC＝90°，∠BOC+∠OCA＝90°，∴∠OCA＝∠BOA＝30