解三角形（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（上海專用）

⑤要點(diǎn)歸納

解直角三角形的知識(shí)分布在二?？季淼母鱾€(gè)部分，集中體現(xiàn)在21,23以及壓軸題中，一旦出現(xiàn)三角比，就

需要靈活使用解直角三角形的方法來(lái)研究線段和角度的關(guān)系.

解直角三角形，主要是找到合適的直角三角形，如果不存在，應(yīng)該在合適的位置構(gòu)造垂線并且將構(gòu)造的三

角形與其他條件聯(lián)合起來(lái)找出題目的最優(yōu)解.

此外，熟練記憶關(guān)鍵角度（30。、45。和60。）以及一些相關(guān)角度（15。、75。和36。）的三角比，能夠有效

提高解題速度并減少思考強(qiáng)度.

解一般三角形：

1.首先確立一個(gè)思想：當(dāng)一個(gè)三角形有三個(gè)獨(dú)立的條件時(shí)，即滿足

①已知三條邊（邊邊邊）；

②已知兩邊及其夾角（邊角邊）；

③已知兩角及一邊（角角邊或角邊角）.

（這里所說(shuō)的已知角可以是已知角度，也可以是已知該角的某三角比.邊邊角型較復(fù)雜，需要分類討

論）

這三種情況之一時(shí)，此三角形唯一確定.那么，該三角形其他要素也一定唯一確定，原則上都可以通

過(guò)計(jì)算求得，但是，由于三角比的復(fù)雜性，在求的時(shí)候還是有些技巧的.

2.其次，對(duì)于一般三角形，重在構(gòu)造直角三角形.

構(gòu)造的方法主要是通過(guò)添加高等方法將原三角形分割成直角三角形.

3.最后問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.

觀察該直角三角形里，有沒(méi)有兩個(gè)獨(dú)立的條件

①如果有，利用勾股定理和銳角三角比直接解——直接法.

②如果沒(méi)有，而只給出一個(gè)條件，則可設(shè)一個(gè)元素為x,這時(shí)，該直角三角形中的邊和角都可以用x表

示出來(lái)，此時(shí)必定還有一個(gè)條件沒(méi)有用到，利用這個(gè)條件列方程——間接法，其中含有方程思想.

小貼士：①解直角三角形出現(xiàn)在二模的第21題中，會(huì)與比例線段或者相似三角形綜合；

②解直角三角形出現(xiàn)在二模的第22題中，是一道應(yīng)用題；

③在二模的壓軸題中，會(huì)有解三角形的思想在里面.

★★☆☆☆

【例題1】已知△A5C中，

⑴當(dāng)NA=30。，ZB=45°,AB=2時(shí)，求AC、BC；

4?

⑵當(dāng)sinA=—,tanB=-,AB=5時(shí)，求AC、BC；

53

⑶當(dāng)AB=4,BC=5,AC=6時(shí)，求cosA,S^BC.

★★☆☆☆

【例題2】如圖，ABCD是正方形，E為BC上一點(diǎn).將正方形折疊，使A點(diǎn)、E點(diǎn)重合，折痕為MN.若

tanZAEN=-,DC+CE=10.求sin/硒B(niǎo)的值.

3

★★★☆☆

【例題3]如圖，在△ABC中，ZA=45°,CB=5,BD=3,CD=7,。在邊/IB的延長(zhǎng)線上，求

和AC的大小.

★★★☆☆解直角三角形與比例線段

【例題4】如圖，在△ABC中，NA=30。,E為AC上一點(diǎn)，且AE:EC=3:1,EFLAB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)

FC,

求tan/CFB的值.

★★★☆☆

如圖，已知點(diǎn)。是自△/"(?的斜邊上的一點(diǎn)，tanB=1,BC=3BD,CE±AD,

【例題5】

2

則*

★★★★☆

【例題6】在血AABC中，ZC=90°,點(diǎn)。在AC上，DEYAB,E為垂足，AE=3,tanZ￡)BE=1,

ZSDC=45°,求AABD的面積.

★★★★☆解直角三角形與相似三角形

【例題7】如圖，過(guò)銳角AABC的頂點(diǎn)A作DE/ABC,AB恰好平分NO4C,AF平分NEAC交的

延

長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.在AF上取點(diǎn)使得AM=LAF,聯(lián)結(jié)CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)若

3

AC=2,"2"的面積是工，則——1——的值是________.

12tanZACH

DAHE

BCF

★★★★★解直角三角形與相似三角形

【例題8】已知：在AlBC中，AB=AC,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段所

的延長(zhǎng)線上，ZBAE=ZBDF,點(diǎn)M在線段所上，ZABE=ZDBM.

⑴如圖，當(dāng)N4BC=60。時(shí)，則線段鉆、之間的數(shù)量關(guān)系為：.

⑵在⑴的條件下延長(zhǎng)3M到尸，使MP=BM,連接CP,若/W=7,AE=2幣，求tanNAC尸

的值.

AA

1.（2022秋.上海黃浦?九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：在-ASC中,N3=45o,A3=2,AC=6,貝！|8C的值()

A.只有1個(gè)B.可以有2個(gè)C.可以有3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

2.（2022秋.上海崇明?九年級(jí)?？计谥校┤绻本€〉與x軸正半軸的夾角為銳角a,那么下列各式正

確的是（）

1111

A.sina=—B.cosa=—C.tana=—D.cota=一

2222

3.（2022秋.上海松江.九年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（）

A.在RtZXABC中，銳角A的兩邊都擴(kuò)大2倍，那么cosA的值也擴(kuò)大2倍

B.若。力均為非零向量，且同=2慟，貝IJ有a=2b或°=-26

C.若NA=30。，則它的鄰邊和對(duì)邊的比值為名

D.a//b貝！始（攵為實(shí)數(shù)）

4.（2022秋?上海九年級(jí)?？计谥校┰赗tZXABC中，ZC=90°f若AC=6,BC=8f那么下列等式中正

確的是（）

4343

A.sinA=—B.tanA=—C.cotA=—D.cosB=—

5435

5.在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=4,BC=4fAD=1（如圖）.點(diǎn)。是邊上一

點(diǎn)，如果以。為圓心，0D為半徑的圓與邊3C有交點(diǎn)，那么0D的取值范圍是（）

B.嗎。。二

92

D.也V。以史

926

6.（2022秋.上海青浦.九年級(jí)?？计谥校┰诙嗀BC中，若AB=AC=2,BC=2豆，貝UZA=_________度.

7.（2022春?上海?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ADLAC,NBAD=/C,

|^=1,那么37ZBAD的值是.

4

8.（2022?上海楊浦?統(tǒng)考一模）如圖，在AfiC中，AD1BC,sinB=-,3c=13,AD=12,貝UtanC的

值______.

A

9.（2022秋?上海黃浦?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,OE平分ZADC,交

3

BC于點(diǎn)、E,AE±DE,AB=4,AE=3,sinZCDE=-,那么CD=.

10.（2022春.上海?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)A、2均在y軸上，

點(diǎn)C在x軸上，將ABC繞著頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在y軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在反比例函

數(shù)y=&在第一象限的圖像上，如果點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別是(0,-4)、(-2,0),且/54C=45。那么發(fā)的值是

x

11.(2022.上海楊浦?統(tǒng)考一模)如圖，已知ABC是等邊三角形，AB=6,點(diǎn)。在AC上，AD=2CD,CM

是NAC8的外角平分線，連接并延長(zhǎng)與CN交于點(diǎn)E.

A

(1)求CE的長(zhǎng)；

(2)求/EBC的正切值.

12.(2022?上海青浦?校考一模)如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC,ZDAB=90°,AB=8,CD=5,

BC=3亞.

(1)求梯形A5CD的面積；

(2)聯(lián)結(jié)3。，求“3C的正弦值.

13.(2022秋?上海黃浦?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在ABC中AB=AC=4,cosN3=],點(diǎn)。是邊

4

延長(zhǎng)線上過(guò)的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊3C上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，連接。石交AC于點(diǎn)尸，連接OC,且。E=OC,

設(shè)=x,EC=y,

D

A

B

E

⑴求證：

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

（3）連接AE,當(dāng)△AEF與相似時(shí)，求AD的長(zhǎng).

14.（2023春?上海?九年級(jí)名校校內(nèi)測(cè)）如圖，等邊AABC內(nèi)接于。。，尸是AS上任一點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B

重合），連接AP、BP,過(guò)點(diǎn)C作CM〃B尸交E4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

⑴求NAPC和/8PC的度數(shù);

(2)求證：4ACM"/\BCP；

（3）若以=