2025年中考數(shù)學(xué)專題22 瓜豆原理之曲線型（原卷版）

模型介紹模型介紹運(yùn)動(dòng)軌跡為圓問題1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓理由：Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，．問題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結(jié)條件：兩個(gè)定量（1）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；（2）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．例題精講例題精講【例1】．如圖，A是⊙B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為（）A． B．2 C．2 D．4【變式1-2】．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是⊙C上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，連接BQ，則BQ的最大值是（）A．6 B． C． D．【例2】．四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)．且滿足BP⊥PC，現(xiàn)將點(diǎn)P繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值＝．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，線段AB＝4，M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1，連接PB，線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是．【變式2-2】．如圖，AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長的取值范圍為．1．如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣ D．y＝﹣2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為（）A．7 B．3.5 C．4.5 D．33．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．84．如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點(diǎn)，已知OQ長的最大值為，則k的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A′EF，則A′C的長的最小值是（）A． B．3 C．﹣1 D．﹣16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為（）A．1 B． C． D．27．如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長是．8．如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是．9．如圖，⊙O的半徑為3，AB為圓上一動(dòng)弦，以AB為邊作正方形ABCD，求OD的最大值．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B（0，4），A（3，0），⊙A的半徑為2，P為⊙A上任意一點(diǎn)，C是BP的中點(diǎn)，則OC的最大值是．11．如圖，點(diǎn)C是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE（使在正方形內(nèi)），連OE，若AB＝4cm，則OE的最大值為cm．12．如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（2，0），動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時(shí)針順序），求OC的最大值與最小值．13．如圖，點(diǎn)O在線段AB上，OA＝1，OB＝2，以點(diǎn)O為圓心、OA長為半徑的圓為⊙O，在⊙O上取動(dòng)點(diǎn)P，以PB為邊作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC，求AC的取值范圍．14．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長線于點(diǎn)E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長；（3）若AB＝10，AC＝8，點(diǎn)F是⊙O任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為．15．若AC＝4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．（1）如圖1，取點(diǎn)B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′．①點(diǎn)P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，連接PM，則CM的最小值為．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)