定積分的概念教案 人教課標版

第、課時周一、周二、

課題：定積分的概念

三維目標：

知識與技能：

1.通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分的背景；

2.借助于幾何直觀體會定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡

單的定積分.

.理解掌握定積分的幾何意義和性質；

過程與方法：

通過問題的探究體會逼近、以直代曲的數(shù)學思想方法。

情感態(tài)度與價值觀：

通過分割、逼近的觀點體會定積分的來歷，使學生從本質上理解定積分的幾何意義，從而激

發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

教學重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義.

教學難點：定積分的概念、定積分的幾何意義.

教學過程：

一.創(chuàng)設情景

問題：我們在小學、初中就學習過求平面圖形面積的問題。有的是規(guī)則的平面圖形，但現(xiàn)實

生活中更多的是不規(guī)則的平面圖形。對于不規(guī)則的圖形我們該如何求面

積？比如浙江

省的國土面積。

此問題在學生九年級中己有涉及，在九

年級時學生了解過以下求不規(guī)則面積的方法：

方法將圖形放在坐標紙上，也即將圖形分割，看它有多少個“單位面

積”。。

方法將圖形從內(nèi)外兩個方面用規(guī)則圖形（或規(guī)則圖形的組合）逼近。

方法將這塊圖形用一個正方形圍住，然后隨機地向正方形內(nèi)扔“點”（如小石子等小顆粒），

當點數(shù)足夠大時，統(tǒng)計落入不規(guī)則圖形中的點

數(shù)，則圖形的面積與正方形面積的比約為。

方法“稱量”面積：在正方形區(qū)域內(nèi)均勻鋪滿一層細沙，分別稱得重量是（正方形區(qū)域內(nèi)

細沙重）、（所求圖形內(nèi)細沙重），則所求圖形的面積與正方形面積的比是重量之比。

二.合作探究

問題一曲邊梯形的面積j

犬）一--x）

如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線y=/（x）的一段，我兒，）.一

們把由直線x=a,x=。（4力b）,y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形

~0\ib~X

取為曲邊梯形.如何計算這個曲邊梯形的面積？

探究：分割，怎樣分割？分割成多少個？分成怎樣的形狀？有幾種方案？（分割）

提出自己的看法，同伴之間進行交流。

探究：采用哪種好？把分割的幾何圖形變?yōu)榇鷶?shù)的式子?（近似代替）、（求和）

寫出面積求和式。老師①巡視，給予指導，即時糾正學生中的運算錯誤。②及時實物投影

③比較三種求和式的優(yōu)劣，規(guī)定近似代替的原則。

探究：如何用數(shù)學的形式表達分割的幾何圖形越來越多？（取極限）

寫出分割無限多時，相應的數(shù)學含義。

探究：采用過剩求和與不足求和所得到的結果一樣，其意義是什么？（夾逼定理的意義）

例如：求圖中陰影部分是由拋物線y=f,直線x=l以及x軸所圍成的平面圖形的面積。

把區(qū)間［0,1］分成許多個小區(qū)間，進而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以

直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，

對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值.分割越細，面積的近似值就越精確。當

分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積.也即：用劃歸為計算矩形面

積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.

解：

（）.分割

在區(qū)間［0,1］上等間隔地插入〃—1個點，將區(qū)間［0,1］等分成”個小區(qū)間:

n-1

0,-_L1J

nn'nn

記第，個區(qū)間為—0=1,2,,〃），其長度為

nn

nnn

分別過上述〃-1個分點作大軸的垂線，從而得到〃個小曲邊梯形，他們的面積分別記作:

△S］,AS2,???,AS”顯然，S=，AS：

i=\

（）近似代替

,1?

記/（x）=x2,如圖所示，當“很大，即Ac很小時，在區(qū)間—

nn

上，可以認為函數(shù)/（x）=f的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不

妨認為它近似的等于左端點匕!■處的函數(shù)值/（匕］，從圖形上看，就是用平行于x軸的直

n\J

,1,

線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）.這樣，在區(qū)間—上，用小矩形的面積AS；

nn

近似的代替AS,.,即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有

?"/；_1\_1\21

由①，上圖中陰影部分的面積S“為5“=?S：=￡/.一?-=￡」?-

,=I,=1\n)/=1\?)〃

從而得到S的近似值SaS.

（）取極限

分別將區(qū)間［0,1］等分，，，…等份（如圖），可以看到，當“趨向于無窮大時，即Ax趨向于時,

趨向于S,從而有

從數(shù)值上看出這一變化趨勢:

IX|iij「o.ri的等分數(shù)S的近似伍S.

20,12500000

40.21875000

80.27313750

160.30273438

320.31787109

640.32556152

1280.32913726

2560.33138275

5120.33235711

10240.33281521

20480.33308923

問題：如果不是在區(qū)間的兩個端點取，而是在每一個區(qū)間中間取任意一點作為高，會有怎樣

的結果？

★求曲邊梯形面積的四個步驟：

第一步：分割.在區(qū)間［a,可中任意插入〃一1各分點，將它們等分成〃個小區(qū)間

1,x,.］（t=l,2,辦區(qū)間,3］的長度Ar,.=,

第二步：近似代替?！耙灾贝　?，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個

小曲邊梯形面積的近似值.

第三步：求和.

第四步：取極限。

（說明：最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值）

問題二汽車行駛的路程

汽車以速度v組勻速直線運動時，經(jīng)過時間f所行駛的路程為5=7.如果汽車作變速直線運

動，在時亥M的速度為v（7）=—/+2（單位：），那么它在WfW（單位：）這段時間內(nèi)行駛的路

程S（單位：）是多少？

分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路

程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題.把區(qū)間［0,1］分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，

由于v（f）的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上

行駛路程的近似值，在求和得S（單位：）的近似值，最后讓〃趨緊于無窮大就得到S（單位：）

的精確值.（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變

速直線運動的路程）.

解：.分割

在時間區(qū)間［0,1］上等間隔地插入〃一1個點，將區(qū)間［0,1］等分成〃個小區(qū)間：

j_2n—1/—Ji

0,-…—,1記第i個區(qū)間為—(i=l,2,,〃)其長度為△[=

nn'nnnn

n—J

把汽車在時間段0,-_L2——,1上行駛的路程分別記作：AR,AS,,…,

_nn'nn

AS.

顯然，S=

()近似代替

?i?

當〃很大，即△/很小時，在區(qū)間—上，可以認為函數(shù)以。=—/+2的值變化很小,

nn

近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點上1■處的函數(shù)值

n

?I?

+2,從物理意義上看，即使汽車在時間段—(i=l,2,,〃)上

nn

的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻上1處的速度=-(3)+2作勻速直

?\nJ\n)

線運動，

即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”于是用小矩形的面積AS：近似的代替AS,,則有

(I、

△SjxAS；=v----Af=

\nJ

()求和由①得,

；2

sn=t^=t+—

i=li=nn

從而得到S的近似值Sas“

()取極限

當〃趨向于無窮大時，即4趨向于時，5“=一；(1一：，1一2)+2趨向于5,

從而有5=1而50=1而：1/3]=1而1--||1--|+2=-

〃+°〃_>8\n)-13(〃八2n)\3

思考結合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程S與由直線f=0,f=l#=。和曲

線u=-r+2所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？

歸納得到一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為u=?(7),那么我們也可以采用分

割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出

它在WfW內(nèi)所作的位移s.

問題三定積分的概念

從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運動路程的過程發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“分割、近

似代替、求和、取極限得到解決，且都歸結為求一個特定形式和的極限，

5=limVAx=limV—f（￡：）5=limVv（（^.）?Az=limV—v（￡）

事實上，許多問題都可以歸結為求這種特定形式和的極限

☆定積分的概念

一般地，設函數(shù)/（X）在區(qū)間伍,切上連續(xù)，用分點

a=xQ<x}<x^<<再_］<Xj<<xn=b

將區(qū)間［a,句等分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間［粗，引上取一點&（i=l,2,,〃），作和式:

￡%）?—億）

/=1/=1n

當〃f+8）時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)/（冗）在區(qū)間［外物上的定

積分。記為：Cf(x)dx即「/(x)公lim￡”與■低)

JaJa，iT6M

i=l

其中函數(shù)7（x）叫做，X叫做變量，區(qū)間切為區(qū)間，。積分，a積分。

說明：（）定積分J：/（x心是一個常數(shù)

（）用定義求定積分的一般方法是：①分割：%等分區(qū)間［a,句；②近似代替：取點

。武打，到；③求和：E—M）；④取極限：J：/。心=”\>信）上?

/=1"/=1〃

（）曲邊圖形面積：5=1/（工世；變速運動路程S

☆定積分的幾何意義

從幾何上看，如果在區(qū)間口上的函數(shù)/（x）連續(xù)且恒有

/（x）>0o那么定積分J表示由直線x=a,x=Z?

（〃工8），y=0和曲線y=/（x）所圍成的曲邊梯形的面積。

☆定積分的性質

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質:

rb

性質|Idx=b-a

性質[hkf(x)dx=k[hf(x)dx(其中是不為的常數(shù))(定積分的線性性質)

JaJa

pbpbpb

性質"(x)±〃x)團=〃x)公±J“f23dx(定積分的線性性質)

bcb

性質ffMdx=f(x)cbc+Jf(x)dx(其中Q<c<b)

aac

(定積分對積分區(qū)間的可加性)

說明：①推廣：J："(x