小學(xué)奧數(shù)幾何計(jì)數(shù)

幾何計(jì)數(shù)

知識(shí)框架圖

7計(jì)數(shù)綜合7-8幾何計(jì)數(shù)

即3f尊弟目明

1.掌握計(jì)數(shù)常用方法；

2.熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；

3.根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù).

本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對(duì)應(yīng)法等，并滲透分類計(jì)數(shù)和用

容斥原理的計(jì)數(shù)思想.

醯更前

一、幾何計(jì)數(shù)

在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖

分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些

處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.n條直線最多將平面分成

2+2+3+....+〃=g(〃2+〃+2)個(gè)部分；n個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為n(n-l)+2;n個(gè)三角形將平面最多分

成3n(n-l)+2部分;n個(gè)四邊形將平面最多分成4n(n-l)+2部分...

在其它計(jì)數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.解題時(shí)需要仔細(xì)審題、

綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解.

排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)：組合問題與各事物所在的先

后順序無關(guān)，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān).

二、幾何計(jì)數(shù)分類

數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))(或含有n個(gè)"基本線段”)，那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條

線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-l)+...+2+l條

數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊.

數(shù)三南形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形(對(duì)應(yīng)法)，因?yàn)镈E上有15條線段，每條線段的兩

端點(diǎn)與點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有15個(gè)三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個(gè)，所以圖中

共有30個(gè)三角形.

數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形：一般的，對(duì)于任意長(zhǎng)方形(平行四邊形)，若其橫邊上共有n條線段,

縱邊上共有m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn個(gè).

【例1】下圖的兩個(gè)圖形（實(shí)線）是分別用10根和16根單位長(zhǎng)的小棍圍成的.如果按此規(guī)律（每一層比上面一

層多擺出兩個(gè)小正方形）圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小

棍？（4級(jí)）

【例2】用3根等長(zhǎng)的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更大的等邊三

角形.如果這個(gè)大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴？（4級(jí)）

【鞏固】用三根火柴可拼成一個(gè)小“△”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多

少個(gè)三角形？（4級(jí)）

［例3］如圖所示，用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成3x1996的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都由一根火柴棍組成,

那么一共需用多少根火柴棍？（4級(jí)）

【例4】圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？（4級(jí)）

［例6］在圖中（單位：厘米）：

①一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？

②所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少？（6級(jí)）

51281

【鞏固】如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長(zhǎng)度依次為5厘米、7厘米、9厘米、

2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù),以及所有長(zhǎng)方形面積的和.（6級(jí)）

5792

【例7】下圖中共有一個(gè)正方形.（4級(jí)）

【鞏固】圖中有______個(gè)正方形.（4級(jí)）

［例8］如圖，其中同時(shí)包括兩個(gè)☆的長(zhǎng)方形有個(gè).（6級(jí)）

☆

☆

【鞏固】在下圖中，不包含☆的長(zhǎng)方形有個(gè).（6級(jí)）

☆

［例9］圖中含有“X”的長(zhǎng)方形總共有個(gè).（6級(jí)）

【鞏固】由20個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)4x5長(zhǎng)方形中有一格有"☆"圖中含有"☆”的所有長(zhǎng)方形（含正

方形）共有個(gè)，它們的面積總和是.（第六屆走美決賽試題）（6級(jí)）

【例10］如圖是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形.其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的

正三角形若干個(gè).那么，圖中包含"*"號(hào)的大、小正三角形一共有個(gè).（4級(jí)）

【例11］如圖AB,CD,EF,MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少？（6級(jí)）

【例12】圖中共有多少個(gè)三角形？（6級(jí)）

A

【例13］下圖中的正方形被分成9個(gè)相同的小正方形，它們一共有16個(gè)頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn)算一個(gè)），以其

中不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大

小面積的有多少個(gè)？（6級(jí)）

【例14】（第十二屆全國(guó)“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）如圖，連接一個(gè)正六邊形的各頂點(diǎn).問圖中共有

多少個(gè)等腰三角形（包括等邊三角形）？（8級(jí)）

【例15］（第十一屆“華羅庚金杯賽"）圖中有個(gè)正方形.（8級(jí)）

【鞏固】這幅圖中有個(gè)三角形.（10級(jí)）

【例16】一張長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)是寬的2倍，先對(duì)折成正方形，再對(duì)折成長(zhǎng)方形，再對(duì)折成正方形,

共對(duì)折7次，將紙打開展平，數(shù)一數(shù)用折痕分割成的正方形共有多少個(gè)？（8級(jí)）

【鞏固】將正方形紙片由下往上對(duì)折，再由左向右對(duì)折，稱為完成一次操作.按上述規(guī)則完成五次操作后,

剪去所得的小正方形的左下角.問：當(dāng)展開這張正方形紙后，一共有多少個(gè)小洞孔？（8級(jí)）

【例17】在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，正好把圓周八等分，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可以作出個(gè)等

腰三角形.（8級(jí)）

【例18】圓周上十個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)有多少個(gè)交點(diǎn)？（8級(jí)）

【例19]圓周上有8個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)所連的線段叫“弦”，每?jī)牲c(diǎn)連一條弦，各弦無公共端點(diǎn)，共可連四條弦,

各弦互不相交的連法共有