數學建模作業(yè)8

精心整理精心整理精心整理佛山科學技術學院上機報告課程名稱數學建模上機項目牙膏的銷售量專業(yè)班級問題提出某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產品市場，有效地管理庫存，公司董事會要求銷售部門根據市場調查，找出公司生產的牙膏銷售量與銷售價格、廣告投入等之間的關系，從而預測出在不同價格和廣告費用下的銷售量。為此，銷售部的研究人員收集了過去30個銷售周期（每個銷售周期為4周）公司生產的牙膏的銷售量、銷售價格、投入的廣告費用，以及同期其它廠家生產的同類牙膏的市場平均銷售價格，見表1-1（其中價格差指其它廠家平均價格與公司銷售價格之差）。試根據這些數據建立一個數學模型，分析牙膏銷售量與其它因素的關系，為制訂價格策略和廣告投入策略提供數量依據。表1牙膏銷售量與銷售價格，廣告費用等數據（其中價格差指其他廠家平均價格與公司銷售價格之差）銷售周期公司銷售價格/元其他廠家平均價格/元廣告費用/百萬元價格差/元銷售量/百萬支1234567891011121314151617181920212223242526272829303.853.753.703.703.603.603.603.803.803.853.903.903.703.753.753.803.703.803.703.803.803.753.703.553.603.653.703.753.803.703.804.004.303.703.853.803.753.853.654.004.104.004.104.204.104.104.204.304.103.753.753.653.903.654.104.253.653.753.854.255.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.050.60-0.0500.050.557.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26根據牙膏銷售量與價格、廣告費等表格1中的數據，建立三個模型，要求：1）畫出散點圖：y對x1的散點圖1；y對x2的散點圖2；2）確定回歸模型系數，求解出教程中模型（3）；3）對模型進行改進，確定回歸模型系數，求解出教程中模型（5）；4）對模型進一步改進，求解出教程中模型（10）。二、問題分析由于牙膏是生活必需品，對大多數顧客來說，在購買同類產品的牙膏時更多地會在意不同品牌之間的價格差異，而不是它們的價格本身，因此，在研究各個因素對銷售量的影響時，用價格差代替公司銷售價格和其他廠家平均價格更合適。三、模型假設記牙膏銷售量為y，其他廠家平均價格與公司銷售價格之差（價格差）為，公司投入的廣告費用為，其他廠家平均價格和公司銷售價格分別為和，，基于上面的分析，我們僅利用和來建立y的預測模型。四、模型建立（顯示模型函數的構造過程）（1）為了大致地分析y與和的關系，首先利用表一的數據分別作出y對和的散點圖y與x1的關系程序代碼：x1=[-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.0500.050.55];y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26];A=polyfit(x1,y,1)y1=polyval(A,x1);plot(x1,y1,x1,y,'go')y與x2的關系x2=[5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80];y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26];A=polyfit(x2,y,2)x3=5.25:0.05:7.25;y2=polyval(A,x3);plot(x2,y,'go',x3,y2)圖1y對x1的散點圖圖2y與x2的散點圖從圖1可以發(fā)現，隨著的增加，y的值有比較明顯的線性增長趨勢，圖中的直線是用線性模型（1）擬合的（其中是隨機誤差），而在圖2中，當增大時，y有向上彎曲增長的趨勢，圖中的曲線是用二次函數模型（2）擬合的。綜合上面的分析，結合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型(3)(3)式右端的和稱為回歸變量（自變量），是給定價格差，廣告費用時，牙膏銷售量y的平均值，其中的參數稱為回歸系數，由表1的數據估計，影響y的其他因素作用都包含在隨機誤差中，如果，模型選擇的合適，應大致服從均值為0的正態(tài)分布。五、模型求解（2）確定回歸模型系數，求解出教程中模型（3）；程序代碼：x4=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x4)b=17.32441.3070-3.69560.3486bint=5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594stats=0.905482.94090.00000.0490得到模型（3）的回歸系數估計值及其置信區(qū)間（置信區(qū)間=0.05）、檢驗統(tǒng)計量的結果見表2參數參數估計值參數置信區(qū)間17.3244[5.7282,28.9206]1.3070[0.6829,1.9311]-3.6956[-7.4989,0.1077]0.3486[0.0379,0.6594]表2模型（3）的計算結果結果分析：表2顯示，指因變量y（銷售量）的90.54%可由模型確定，F值遠遠超過F檢驗的臨界值，p遠小于，因而模型（3）從整體來看是可用的表2的回歸系數給出了模型（3）的，，，的估計值，即。檢查他們的置信區(qū)間發(fā)現，只有的置信區(qū)間包含零點（但區(qū)間右端點距零點很近），表明回歸變量（對因變量y的影響）不是太顯著的，但由于是顯著的，我們仍將變量保留在模型中。銷售量預測經回歸系數的估計值代入模型（3），即可預測公司未來某個銷售周期牙膏的銷售量，將預測值記為，得到模型（3）的預測方程：=（4）只需知道該銷售周期的價格差和投入的廣告費用，就可以計算預測值。公司無法直接確定價格差，只能制定公司的牙膏銷售價格，但是其它廠家的平均價格一般可以通過根據市場情況及原材料的價格變化等估計。模型中用價格差做為回歸變量的好處在于公司可以更靈活地來預測產品的銷售量或市場需求量，因為其它廠家的平均價格不是公司所能控制的。預測時只要調整公司的牙膏銷售價格達到設定的回歸變量價格差的值?；貧w模型的一個重要應用是，對于給定的回歸變量的取值，可以以一定的置信度預測因變量的取值范圍，即預測區(qū)間。模型改進模型（3）中回歸變量，對因變量的影響是相互獨立的，即牙膏銷售量的均值和廣告費用的二次關系由回歸系數，確定，而不依賴與價格差，同樣，的均值與的線性關系由回歸系數確定，不依賴于。根據經驗可參想，和之間的交互作用會對有影響，簡單的用，的乘積代表他們的交互作用，將模型（3）增加一項，得到：（5）在這個模型中，的均值與的二次關系為，由系數，，確定，并依賴與價格差。（3）對模型進行改進，確定回歸模型系數，求解出教程中模型（5）；程序代碼：x5=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2,x1.*x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x5)b=29.113311.1342-7.60800.6712-1.4777bint=13.701344.52521.977820.2906-12.6932-2.52280.25381.0887-2.8518-0.1037stats=0.920972.77710.00000.0426下面讓我們用表1的數據估計模型（5）的系數。利用MATLAB的統(tǒng)計工具箱得到的結果見表3.驗統(tǒng)計量，S2的結果見下表參數參數估計值參數置信區(qū)間29.1133[13.7013,44.5252]11.1342[1.9778,20.2906]-7.6080[-12.6932,-2.5228]0.6712[0.2538,1.0887]-1.4777[-2.8518.-0.1037]表3表3與表2的結果相比，R2有所提高，說明模型（5）比模型（3）有所改進，相信模型（5）更符合實際。用模型（5）對公司的牙膏銷售量做預測，仍設在某個銷售周期中，維持產品的價格差X1=0.2元，并投入X2=6.5百萬元的廣告費用，則該周期牙膏銷售量y的估計值為0+1x1+2x2+3x22+4x1x2=29.1133+11.134×0.2–7.608×6.5+0.6712×6.52-1.4777×0.2×6.5=8.3253百萬支，置信度為95%的預測空間為[7.8953,8.7592]，與模型（3）的結果相比，略有增加，而預測區(qū)間長度短些?？梢钥闯?，交互作用項加入模型，對與的關系稍有影響，而與的關系有較大變化，當<6時出現下降，>6以后上升則快得多。進一步討論：為了解和之間的相互作用，考察模型（5）的預測方程=29.1133+11.1342-7.6080+0.67122-1.4777（6）如果取價格差=0.1元，代入（6）可得=0.1=30.2267-7.7558+0.67122（7）再取=0.3元，代入（6）可得=0.3=32.4536-8.0513+0.67122（8）它們均為的二次函數，其圖形見圖7，且=0.3-=0.1=2.2269-0.2955（9）由（9）式可得，當<7.5360時，總有=0.3>=0.1,即若廣告費用不超過大約7.5百萬元，價格差定在0.3元時的銷售量，比價格差定在0.1元的大，也就是說，這時的價格優(yōu)勢會使銷售量增加。完全二次多項式模型y=β0+β1+β2+β3+β42+β52+(10)（4）對模型進一步改進，求解出教程中模型（10）。程序代碼：x1=[-0.05;0.25;0.60;0;0.25;0.20;0.15;0.05;-0.15;0.15;0.20;0.10;0.40;0.45;0.35;0.30;0.50;0.50;0.40;-0.05;-0.05;-0.10;0.20;0.10;0.50;0.60;-0.05;0;0.05;0.55];x2=[5.50;6.75;7.25;5.50;7.00;6.50;6.75;5.25;5.25;6.00;6.50;6.25;7.00;6.90;6.80;6.80;7.10;7.00;6.80;6.50;6.25;6.00;6.50;7.00;6.80;6.80;6.50;5.75;5.80;6.80];xtu8=[x1,x2];y=[7.38;8.51;9.52;7.50;9.33;8.28;8.75;7.87;7.10;8.00;7.89;8.15;9.10;8.86;8.90;8.87;9.26;9.00;8.75;7.95;7.65;7.27;8.00;8.50;8.75;9.21;8.27;7.67;7.93;