2022-2023學(xué)年上海市十校數(shù)學(xué)高三上期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．2．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．5．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．6．tan570°=（）A． B．- C． D．7．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．10．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg11．對于任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時，函數(shù).若，則大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的左頂點為A，右焦點為F，過F作x軸的垂線交雙曲線于點P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.14．已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集為A，且A中共含有n個整數(shù)，則當(dāng)n最小時實數(shù)a的值為_____．15．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．16．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數(shù)的取值范圍為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，四邊形中，，，，沿對角線將翻折成，使得.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程：（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最大值.20．（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，．（Ⅰ）當(dāng)，時，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當(dāng)時，，且集合滿足下列條件：①對任意，；②．證明：（?。┤簦瑒t（集合為集合在集合中的補集）；（ⅱ）為一個定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設(shè)，，，其中，，若，則．21．（12分）以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點，求直線的極坐標(biāo)方程.22．（10分）若數(shù)列滿足：對于任意，均為數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若數(shù)列的前項和，，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說明理由；（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且對于任意，均有，求數(shù)列的通項公式．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

求出，進而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時，通常代入公式進行計算.3、D【解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，，，.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.4、B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為，令，，進而將方程轉(zhuǎn)化為，即或，再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根，即，①.因為，①式兩邊同除以，得.所以方程有三個不等的正實根.記，，則上述方程轉(zhuǎn)化為.即，所以或.因為，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞增，且時，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，且時，.所以當(dāng)時，取最大值，當(dāng)，有一根.所以恰有兩個不相等的實根，所以.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.5、D【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，然后由模的定義計算模．【詳解】，．故選：D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數(shù),故，錯誤；對D,因為在為減函數(shù)，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．8、C【解析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時，則，，所以，，顯然當(dāng)時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.9、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標(biāo)原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．11、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性，再由可得對稱性，可求出在單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意，函數(shù)滿足，因為函數(shù)關(guān)于點對稱，當(dāng)時，是單調(diào)增函數(shù)，所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為，所以，.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..12、D【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當(dāng)時，，此時不滿足，循環(huán)結(jié)束，輸出的值是4.故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點，過點，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是?？碱}型.14、-1【解析】

討論三種情況，a＜0時,根據(jù)均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集為（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，當(dāng)且僅當(dāng)﹣a，即a＝﹣1時取等號，∴a的最大值為﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)a4時，A中共含有最少個整數(shù)，此時實數(shù)a的值為﹣1；②a＝0時，﹣4（x﹣4）＞0，解集為（﹣∞，4），整數(shù)解有無窮多，故a＝0不符合條件；③a＞0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集為（﹣∞，4）∪（a，+∞），整數(shù)解有無窮多，故a＞0不符合條件；綜上所述，a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.15、【解析】

根據(jù)題意，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當(dāng)，時，的最大值為．故答案為：9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.16、【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程，且點D恒在圓E外，即圓E上存在點，使得，則當(dāng)與圓E相切時，此時，由此列出不等式，即可求解?！驹斀狻坑深}意可得，直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，則，，設(shè)，則，，又，所以圓是以為圓心，4為半徑的圓，所以點恒在圓外．圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，即圓上存在點，使得，設(shè)過點的兩直線分別切圓于點，要滿足題意，則，所以，整理得，解得，故實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程，把圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，轉(zhuǎn)化為圓上存在點，使得是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點，則為的中點．又是的中點，連接，則．因為平面，平面，所以平面．（2）由，可得：，即所以又因為直棱柱，所以以點為坐標(biāo)原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．18、（1）見證明；（2）【解析】

（1）取的中點，連.可證得，，于是可得平面，進而可得結(jié)論成立．（2）運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【詳解】（1）證明：取的中點，連.∵，∴．又，∴.在中，，∴．又，∴平面，又平面，∴.（2）解法1：取的中點，連結(jié)，∵，∴,又，∴．又由題意得為等邊三角形，∴，∵，∴平面．作，則有平面，∴就是直線與平面所成的角．設(shè)，則，在等邊中，．又在中，，故．在中，由余弦定理得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為．解法2：由題意可得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則在直角三角形中，可得，作于，則有平面幾何知識可得，∴．又可得，.∴,．設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則得．又，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時，關(guān)鍵點是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，確定斜線的方向向量和平面的法向量．解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線與平面所成的角．求解時注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系．19、（1）；（2）10【解析】

（1）消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線C的極坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進而得到=，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，曲線C的參數(shù)方程為，消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為，即，又由，代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得，即，所以=，其中，當(dāng)時，取最大值，最大值為10.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，著重考查了運算與求解能力，屬于中檔試題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）當(dāng)，時，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）當(dāng)時，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出為定值．（iii）由設(shè)，，，，其中，，，2，，．，可得，通過求和即可證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）解：當(dāng)，時，，，，，．．（Ⅱ）證明：（i）當(dāng)時，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則，而，與已知對任意，矛盾．因此有．（ii）．．，為定值．（iii）由設(shè)，，，，其中，，，2，，．，．．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21、（1），，表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程，利用，