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江蘇常州教學(xué)研究合作聯(lián)盟新高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若不等式對(duì)于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.2.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,若存在兩項(xiàng),,使得,則的最小值為().A.16 B. C.5 D.46.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長(zhǎng)分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6427.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.38.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離10.如圖,這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖,則下列說(shuō)法不正確的是()A.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是10311.的展開式中的系數(shù)是-10,則實(shí)數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-212.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線:(,),直線:與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn).若(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為32,且雙曲線的焦距為,則雙曲線的離心率為________.14.過(guò)拋物線C:()的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)線段的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,若,則l的斜率為______.15.若非零向量,滿足,,,則______.16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,、、分別是、、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影為,求到平面的距離.18.(12分)已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為,原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點(diǎn),是否存在過(guò)的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)?若存在,求出的方程:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)在中,,.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.20.(12分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過(guò)千分之一,則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(萬(wàn)臺(tái))2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)(百萬(wàn)元)2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)(臺(tái))2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果:,,,,注:年返修率=(1)從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)(百萬(wàn)元)關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(萬(wàn)臺(tái))的線性回歸方程(精確到0.01).附:線性回歸方程中,,.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.22.(10分)已知橢圓,直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,即可得到結(jié)論.解:不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0,]成立,等價(jià)于a≥-x-對(duì)于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點(diǎn):不等式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題2、D【解析】
首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.3、A【解析】
試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點(diǎn):1.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;2.以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的關(guān)系4、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)?,且,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問(wèn)題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.5、D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問(wèn)題,涉及到等比數(shù)列的知識(shí),是一道中檔題.6、A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題,解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c7、D【解析】
在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.8、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.9、B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r10、D【解析】
計(jì)算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算,錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道,所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算,故D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、C【解析】
利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.12、D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、或【解析】
用表示出的面積,求得等量關(guān)系,聯(lián)立焦距的大小,以及,即可容易求得,則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積,所以.而由雙曲線的焦距為知,,所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想,屬中檔題.14、【解析】
分別過(guò)A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,根據(jù)拋物線定義和求得,從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過(guò)A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,由拋物線的定義知,,,因?yàn)?,所以,所以,即直線的傾斜角為,又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為,.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義,根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解,屬于較易題目.15、1【解析】
根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】
利用求出公差,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)椋?,?所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問(wèn)題的通性通法,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)連接,連接、交于點(diǎn),并連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì)得出,,利用空間平行線的傳遞性可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)推導(dǎo)出平面,并計(jì)算出,由此可得出到平面的距離為,即可得解.【詳解】(1)連接,連接、交于點(diǎn),并連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),、分別為、的中點(diǎn),則,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影為,平面,平面,,為正三角形,且為的中點(diǎn),,,平面,且,因此,到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1);(2)存在,且方程為或.【解析】
(1)依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組,求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到,要使以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),則,結(jié)合韋達(dá)定理可得到參數(shù)值.【詳解】(1)直線的一般方程為.依題意,解得,故橢圓的方程式為.(2)假若存在這樣的直線,當(dāng)斜率不存在時(shí),以為直徑的圓顯然不經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),所以可設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為.由,得.由,得.記,的坐標(biāo)分別為,,則,,而.要使以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),則,即,所以,整理解得或,所以存在過(guò)的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題,弦長(zhǎng)問(wèn)題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.19、(1)證明見解析(2)45°【解析】
(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導(dǎo)出,從而平面,則,即,進(jìn)而平面,推導(dǎo)四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點(diǎn),在平面中過(guò)B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點(diǎn),∴.設(shè)的中點(diǎn)為,連接.設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點(diǎn).易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè).則,,,,顯然平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通常可采用幾何方法和向量方法兩種進(jìn)行求解.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)先判斷得到隨機(jī)變量的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計(jì)算得到相應(yīng)的概率,進(jìn)而得到分布列和期望.(2)由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值,可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出;然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程.【詳解】(1)由數(shù)據(jù)可知,,,,,五個(gè)年份考核優(yōu)秀.由題意的所有可能取值為,,,,,,,.故的分布列為:所以.(2)因?yàn)?,所以去掉年的?shù)據(jù)后不影響的值,所以.又去掉年的數(shù)據(jù)之后,所以,從而回歸方程為:.【點(diǎn)睛】求線性回歸方程時(shí)要涉及到大量的計(jì)算,所以在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性,對(duì)于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用.本題考查概率和統(tǒng)計(jì)的結(jié)合,這也是高考中常出現(xiàn)的題型,屬于基礎(chǔ)題.21、≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵
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