廊坊市2017-2018年高二年級下冊期末檢測數(shù)學試題含解析

廊坊市重點名校2017-2018學年高二下學期期末檢測數(shù)學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

，._O

x=2-rsin30,._

1.已知直線，.〃。。為參數(shù)）與圓*2+）2=8相交于人（：兩點，則|8。|的值為（）

y=-l+rsin30

A.2>/7B.同C.772D.叵

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化方法，然后聯(lián)立方程組，通過弦長公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

.?0

x=2-/sin30

曲線,（/為參數(shù)），化為普通方程y=i-X,

y=-l+rsin30

將y=l-x代入/+丁=8,可得2%2-2%一7=0,

.,.忸C|=Jl+（-[l+dx*同，故選B.

【點睛】

本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法,考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

v.2

2.函數(shù)/（力二丁力的部分圖象大致為（）

41nlM

【答案】A

【解析】

【分析】

判斷函數(shù)的奇偶性，排除B,確定0<x<l時函數(shù)值的正負，排除C,再由Xfy時函數(shù)值的變化趨勢

排除D.從而得正確結(jié)論.

【詳解】

Y7Y2

因為""）=了而是偶函數(shù)，排除B'當時，1可凡<0,f（x）=而<°'排除C，

2

當x=e時/(e)=(>l,排除D.

故選：A.

【點睛】

本題考查由解析式選圖象，可能通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等排除一些選項，通過

特殊的函數(shù)值、特殊點如與坐標軸的交點，函數(shù)值的正負等排除一些，再可通過函數(shù)值的變化趨勢又排除

一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項.

'y<4

3.若實數(shù)x，>滿足不等式組,2x-y+2?0,則z=x+2了的最大值為（）

x+y—120

A.8B.10C.7D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

]Z

根據(jù)約束條件，作出可行域，將目標函數(shù)z=x+2.y化為y=+結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，

目標函數(shù)z=x+2y可化為），=_/+],

結(jié)合圖像可得，

當目標函數(shù)z=x+2y過點。時取得最大值，

y=4

解得。（L4）.

2x-y+2=0

此時Za=1+8=9.

選D.

【點睛】

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，通常需要作出可行域，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)，結(jié)合圖像求解，屬于?？碱}型.

4,用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為

A.24B.48

C.60D.72

【答案】D

【解析】

試題分析：由題意，要組成沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應(yīng)該為1或3或5,其他位置共有種

排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為3A：=72,故選D.

【考點】排列、組合

【名師點睛】利用排列、組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注

意整個事件的完成步驟.在本題中，個位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個位置，第二步再安排其他四個

位置.

5.“若讓3,則Vx'O,都有/(x)N0成立”的逆否命題是()

A.Hr<0有.f(x)<0成立，則B.3x<0W則“</

C.Vxeo有/(x)<o成立，則a<gD.*20有/(x)<0成立，則

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)逆否命題定義以及全稱命題否定求結(jié)果.

【詳解】

“若心；，則VxNO,都有/(x)NO成立”的逆否命題是：王20有〃x)<0成立，則”;，選D.

【點睛】

對全稱(存在性)命題進行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量

詞，再進行否定；②對原命題的結(jié)論進行否定.

6.為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查，事先已了解到

該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽

樣方法中，最合理的抽樣方法是()

A.簡單隨機抽樣B.按性別分層抽樣

C.按學段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣

【答案】C

【解析】

試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.

考點：分層抽樣.

7.若圓0：(》一3)2+(卜一4『=25和圓。2：(》+2)2+(>>+8)2=/(5<r<10)相切，則廠等于()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)的圓標準方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內(nèi)切、外切的條件，分別求得，?的值并驗證

5<r<10即可得結(jié)果.

【詳解】

圓。：(%-3)2+(k4)2=25的圓心日(3,4),半徑為5；

圓Q:(x+2『+(>+8)2=/的圓心Q(-2,-8),半徑為r.

若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即，(3+2『+(4+8『=等一5|,

求得r=18或一8,不滿足5<r<10.

若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即J(3+2『+(4+8)2=等+5|,

求得r=8或一18(舍去)，故選C.

【點睛】

本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.兩圓半徑為凡廣，兩圓心間的距離為“，比

較d與R—r及d與R+r的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系.

8.記函數(shù)/(%)=山(％+1)+>/1。的定義域為71,函數(shù)g(x)=2*—2-'+/+1,若不等式

g(2x+a)+g(x-l)>2對xeA恒成立，則a的取值范圍為()

A.(4,+oo)B.(-2,4]C.[4,+oo)D.(-<?,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】

列不等式求出集合A=(-1,1],設(shè)E(x)=2'—2-'+/,可得尸(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故原題等價

于F(2x+a)+F(x-l)>0,結(jié)合奇偶性和單調(diào)性以及分離參數(shù)思想可得a>l-3x在(-1,1]上恒成立，

根據(jù)l-3x的范圍即可得結(jié)果.

【詳解】

[x+l>0

由得即A=(-l,l]

設(shè)戶(x)=2*—2-*+X3,

產(chǎn)(一力=2-x-2、-d=-尸(力，即函數(shù)F(x)在R上為奇函數(shù)，

又???y=2'-2」'和y=1為增函數(shù)，

二尸(?=2,-2一工+/既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

由g(2x+a)+g(x-l)>2得F(2x+a)+F(x-l)>0,

則E(2x+ci)>—Ff^x—1)—/(1—x),

2x+a>1-x即a>l-3x在(―1,1]上恒成立，

1—3xe[—2,4),a.4,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的應(yīng)用，恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)E(x)=2*-2-'+》3是解題的關(guān)

鍵，屬于中檔題.

9.如圖：在直棱柱ABC—中，AA}=AB=AC,ABVAC,P,Q,M分別是AiB】,BC,CCi的中

點，則直線PQ與AM所成的角是()

【答案】D

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標系，結(jié)合直線的方向向量確定異面直線所成的角即可.

【詳解】

以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-?，z,

設(shè)AB=2,則A（0,0,0）,P（l,0,2），e（l,l,0）,M（0,2,l）,

據(jù)此可得：PQ=（O,l,—2）,4W=（O,2,l）,

TT

PQAM=O,故PQ_LAA/,即直線PQ與AM所成的角是5.

本題選擇D選項.

【點睛】

本題主要考查空間向量的應(yīng)用，異面直線所成的角的求解等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能

力.

10.岳陽高鐵站81進站口有3個閘機檢票通道口，高考完后某班3個同學從該進站口檢票進站到外地旅

游，如果同一個人進的閘機檢票通道口選法不同，或幾個人進同一個閘機檢票通道口但次序不同，都視為

不同的進站方式，那么這3個同學的不同進站方式有（）種

B.36C.42D.60

【答案】D

【解析】

分析：三名同學可以選擇1個或2個或3個不同的檢票通道口進站，三種情況分別計算進站方式即可得到

總的進站方式.

詳解：若三名同學從3個不同的檢票通道口進站，則有8=6種;

若三名同學從2個不同的檢票通道口進站，則有C；C；&&=36種;

若三名同學從1個不同的檢票通道口進站，則有C；勾=18種

綜上，這3個同學的不同進站方式有60種，選D.

點睛：本題考查排列問題，屬于中檔題，解題注意合理分類討論，而且還要注意從同一個進站口進入

的學生的不同次序.

11.（2—V）（l+?）8的展開式中不合小項的各項系數(shù)之和為（）

A.-26B.230C.254D.282

【答案】D

【解析】

【分析】

采用賦值法，令X=1得：求出各項系數(shù)之和，減去丁項系數(shù)即為所求

【詳解】

（2-》3）（1+4『展開式中，令x=l得展開式的各項系數(shù)和為

而（1+6『展開式的的通項為則（2—丁）（1+6『展開式中含/項系數(shù)為2C：-點=-26,

故（2-?。?+?『的展開式中不含/項的各項系數(shù)之和為

28-（-26）=282.

故選D.

【點睛】

考查對二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，重點考查實踐意識和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反.

12.使不等式1+1>0成立的一個充分不必要條件是（）

x

A.x>0B.x>-lC.x<-l或x〉0D.-l<x<0

【答案】A

【解析】

【分析】

首先解出不等式1+,>0,因為是不等式1+工>0成立的一個充分不必要條件，所以滿足是不等式

XX

1+，>0的真子集即可.

X

【詳解】

因為l+’>0n凹>0=x（x+l）>0,所以x〉0或x<-l,需要是不等式1+,>0成立的一個充

XXX

分不必要條件，則需要滿足是（-8,-1）（0,+8）的真子集的只有A,所以選擇A

【點睛】

本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題

13.設(shè)(1-or)288=%+4%+生％2++a2018fo18,若4+2%+36+…+201802018=2018。(a/0),

則實數(shù)a=.

【答案】2

【解析】

【分析】

將左右兩邊的函數(shù)分別求導，取x=l代入導函數(shù)得到答案.

【詳解】

Z1X2018,_2,,2018

(1—CIX)=《)+4%+。21++%018、

兩邊分別求導：

-017

-2018a(l-=4+2<2OX++2O18ct,O|8x

取x=l

~2018cz(l—a)~°"=4+2%++2018/38=2018。

a=2

故答案為2

【點睛】

本題考查了二項式定理的計算，對兩邊求導是解題的關(guān)鍵.

14.已知球二的半徑為二二二二三點在球二的球面上，球心二到平面二二二的距離為士二，

二二=二二=匚二=3,則球二的表面積為.

【答案】16~

【解析】

試題分析：設(shè)平面二二二截球所得球的小圓半徑為尸，則二二=三=，3二=、盡由

二：=二；+二；=(H)；+C)：解得二：=4,所以球的表面積二=4二二：=16二.

考點：球的表面積.

【名師點睛】球的截面的性質(zhì)：用一個平面去截球，截面是一個圓面，如果截面過球心，則截面圓半徑等

于球半徑，如果截面圓不過球心，則截面圓半徑小于球半徑，設(shè)截面圓半徑為，球半徑為二球心到截

面圓距離為二則二=、二；一二;.在圓中也有類似的性質(zhì).解題時注意應(yīng)用.

15.已知tan(a+/?)=1,tan(a-/?)=5,則tan2/?=.

2

【答案】-§

【解析】

【分析】

利用兩角差的正切公式tan2月=tan[(&+￡)-(a-4)]展開，代入相應(yīng)值可計算出

tan2夕的值.

【詳解】

tan(a+/7)_tan(a—4)1一52

tan24=tan[(a+尸)-(a-⑶]

1+tan(a+/7)tan(a-⑶1+1x53

【點睛】

本題考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，解題時，首先應(yīng)利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式

展開進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.

16.某等腰直角三角形的一條直角邊長為4,若將該三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積是卜，

則^=

_,64萬

【答案】—

【解析】

分析：幾何體為圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式求解

1644

詳解：由題意可知三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐，體積是^=q5〃=—；-

33

點睛：三角形旋轉(zhuǎn)為圓錐，體積公式為V=

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/(X)=%2,h(x)=14x.

[x,xe(-oo,r)

(1)令？=“J、，當x=2時y=4,求實數(shù)，的取值范圍

[/(X),XG[Z,+OO)

心嚴)

,x<0/1

(2)令y=<(21的值域為求實數(shù)。的取值范圍；

x>0

(3)已知函數(shù)在尸(x),G(x)數(shù)集。上都有定義，對任意的當辦<2時

G(x,)<"C伍)<G(%2)或G(X2)<"㈤[⑺<G(x,)成立，則稱G(x)是數(shù)集D上

—X)的限制函數(shù)；令函數(shù)網(wǎng)x)=/(x)—g(x),求其在0=(0,”)上的限制函數(shù)G(x)的解析式，并

求G(x)在。=(0,+8)上的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)(9,2]

(2)(0,1]

(3)G(X)=2尤—正增區(qū)間為在(0,+8)

【解析】

【分析】

(1)由分段函數(shù)求值問題，討論x=2落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實數(shù)f的取值范圍；

(2)由分段函數(shù)值域問題，由函數(shù)的值域可得(0,l]D(T?,a)=(e,l],再求出實數(shù)"的取值范圍；

(3)先閱讀題意，再由導數(shù)的幾何意義求得G(x)=2x-立，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

[x,xe(-oo,r)

解：(1)由，=〈，/、、，且x=2時y=4,

[/(x),xe[zr,+oo)

當r>2時，有x=2時，y=x=2,與題設(shè)矛盾，

當時，有x=2時,y=/(2)=22=4,與題設(shè)相符，

故實數(shù)/的取值范圍為：(-8,2]；

(2)當xWO,y=，因為x<0,所以寸之0,即ye((),l],

當x>0,y=a-14x,因為x>0,所以五>0，即yw(T?,a),

又由題意有((),1]D(F,a)=(e,1],

所以0<aVl,

故實數(shù)。的取值范圍為(0,1]；

(3)由尸(x)=/(X)—8(0=廿一2&的導函數(shù)為F(x)=2x-五，

由導數(shù)的幾何意義可得函數(shù)F(x)在任一點處的導數(shù)即為曲線在這一點處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義

可知G(x)=2x—立，

由G("=2+.>0,即函數(shù)G(x)在。=(0,”)為增函數(shù),

故函數(shù)G(x)在(0,+。)為增函數(shù).

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)求值問題、分段函數(shù)值域問題及導數(shù)的幾何意義，重點考查了閱讀理解能力，屬中檔

題.

18.已知函數(shù)/(x)="+(l—Qx為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當k=2時，求函數(shù)Ax)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，求*的取值范圍.

【答案】⑴極小值為/(())=1(2)(F,e+1］

【解析】

分析：(1)根據(jù)利用導數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟求解即可；

(2)_f(x)=e'+l-左，由于函數(shù)“X)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，所以，令/'(x)NO,貝U/+1—左20

即ex+l>々在［1,2］上恒成立，由此可求人的取值范圍..

詳解：

(1)當k=2時，f{x}=ex-x,

f\x)=ex-\,令_f(x)=(),解得x=0,

當犬變化時，/'(X),的變化情況如下表

XF°)0(0,+oo)

/'(X)一0+

“X)、單調(diào)遞減1/單調(diào)遞增

因此，當x=0時，/(x)有極小值，并且極小值為/(0)=1

(2)r(x)="+l-左，由于函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)

所以，令/'(%)",則"+1-420

即在［1,2］上恒成立

設(shè)g(x)=e'+l,則g(x)在［1,2］上為增函數(shù)，

=1=e+1

^Wmin<?()

k<e+l,即女的取值范圍是(fo,e+l］.

點睛：本題考查利用到時研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查分析問題解決問題的能力.是圣.

19.某學校高三年級有學生1000名，經(jīng)調(diào)查，其中750名同學經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學），另外

250名同學不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分兩層）從該年級

的學生中抽查100名同學.如果以身高達到165厘米作為達標的標準，對抽取的100名學生進行統(tǒng)計，得

到以下列聯(lián)表：

身高達標身高不達標總計

積極參加體育鍛煉40

不積極參加體育鍛煉15

總計100

（1）完成上表;

（2）能否有犯錯率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系？（K2的觀測值精確到0.001）.

n(ad-bey

參考公式：K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.250.150.100.050.0250.0100.001

k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（D

身高達標身高不達標總計

積極參加體育鍛煉403575

不積極參加體育鍛煉101525

總計5050100

（2）不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系.

【解析】

【分析】

（1）由分層抽樣的計算方法可求得積極參加鍛煉與不積極參加鍛煉的人數(shù)，填入表格中,

根據(jù)表格中的總計及各項值求出其它值即可；

（2）由公式計算出《2,與參考數(shù)據(jù)表格中3.841作比較，若小于3.841則不可以，若大于3.841則可以.

【詳解】

（I）填寫列聯(lián)表如下:

身高達標身高不達標總計

積極參加體育鍛煉403575

不積極參加體育鍛煉101525

總計5050100

(II)K2的觀測值為K-=H)°x(40xl5-35x10)=1.333<3,841.

75x25x50x50

所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系.

【點睛】

本題考查獨立性檢驗，根據(jù)抽樣方法進行計算填表，將數(shù)值代入公式求出K?，注意保留三位小數(shù)，注意

觀測值與概率之間的大小關(guān)系與趨勢.

20.已知函數(shù)/(無)=G?—6x+1,a&R.

(1)若a=2,求/(x)的極值；

(2)若/(x)恰有三個零點，求”的取值范圍.

【答案】(1)極大值為/1(-1)=5,極小值為了⑴=一3.(2)0<?<32

【解析】

分析：(1)若。=2,則〃x)=2d—6x+l,r(x)=6d-6,根據(jù)利用導數(shù)函數(shù)的極值的方法即可,

(2)/(司=3辦2—6,分類討論，若“X)恰有三個零點，則“X)的極大值大于零，極小值小于零，

即可求出的取值范圍..

詳解：

(1)若4=2,貝1J/(X)=2V—6x+l,/'(%)=6^-6,

所以，當x<—1或x>l時，/'(x)>0；當—1<X<1時，/,(x)<0；

所以/(X)在(F,-1)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在(1,”)單調(diào)遞增，

所以/(X)的極大值為/(一1)=5,/(X)的極小值為〃1)=-3.

(2)/'(x)=3tzx2-6,

當aWO時，/'(?=3公-6?恒成立，/(x)在R上單調(diào)遞減，

/(x)至多一個零點，不合題意；

當"0時，令/(x)=0,則|x=±Jl,

當x<—J2或x>2時，/（力>（）；當2<x<2時,

所以,尸(x)＜。；

VaVaVaVa

所以/(x)在單調(diào)遞增，在

所以“X)的極大值為了

“X)的極小值為了

所以。＜32,即0＜。＜32：

綜上，。的取值范圍為0＜a＜32.

點睛：本小題考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力；考查函數(shù)與

方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想等

2

21.定義:在等式(x+X+1Y=D}2"+D，"T++。%2"-2+片”(〃eN)中，把比,D'n,

D~,。丁叫做三項式的〃次系數(shù)列(如三項式的1次系數(shù)列是1,1,1).

(1)填空：三項式的2次系數(shù)列是；

三項式的3次系數(shù)列是；

(2)由楊輝三角數(shù)陣表可以得到二項式系數(shù)的性質(zhì)=C：+c：T,類似的請用三項式〃次系數(shù)列中的系

數(shù)表示呢;(1W攵W2〃—1,攵wN)(無須證明)；

(3)求收的值.

【答案】(D1,2,3,2,1；1,3,6,7,6,34(2)歐：=或一1+以+宵(1WkwN)(3)50

【解析】

【試題分析】⑴分別將〃=2,3代入，把(V+x+i)”展開進行計算即可求得三項式的2次系數(shù)列是

1,2,3,2,1;三項式的3次系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1；(2)運用類比思維的思想可得

比：：=+D：+Df，(1￡k￡2ft-1,keN)；(3)由題設(shè)中的定義可知比表示+%+1/展開式中

丁的系數(shù)，因此可求出R=《G+穹C；=5O.

解：(1)三項式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1;

三項式的3次系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1；

(2)比：；=a-1+比+比+i(1?kdkeN)；

(3)只表示(J+x+1/展開式中“9的系數(shù)，所以&=《&+管C；=50.

22.已知.f(x)=xe*-iZl?一1.

⑴若/(X)在(-8,-1］上單調(diào)遞增,［T()］上單調(diào)遞減，求/(x)的極小值；

(2)當x>0時，恒有/(x)N0,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴0(2)SJ］

【解析】

【分析】

(1)先求導，再由題意可得F(-1)=0,從而求得2a=1,從而化簡？(x)=(x+1)(ex-1),從而確

定極小值點及極小值.

(2)對f(x)的導函數(shù)進行分析，當時，可得f(x)單增，求得f(x)的最小值為0,當a>l時，

可得f(x)在(0,Ina)上單減，且f(0)=0,不滿足題意，綜合可得實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

(1)因為“X)在上單調(diào)遞增，［-1,0］上單調(diào)遞減，所以/'(-1)=0.

因為/'(x)=(x+l)e*-2or-l,所以2a-1=0,a=—.

所以/'(x)=(x+l)e*7T=(x+l乂/-1),

所以在(-8,—l］上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減,|0,+8)上單調(diào)遞增，

所以“X)的極小值為"0)=0.

⑵/(x)=-火一1),令g(x)=e*-or-1，則g'(x)=e、一。.若a41,則xe(0,+8)時，g'(x)〉0,

g(力為增函數(shù)，而g⑼=0,所以當x20時,g(X”0,從而〃x)>0.

若a>1,則xe(0,a)時,g［x)<0,g(x)為減函數(shù),g(0)=0,故xe(O,Zna)時,g(x)<0,從而

〃x)<0,不符合題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-8」.

【點睛】

本題考查了單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)極值的概念，考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查了分類討論的數(shù)學思想，屬

于難題.

廊坊市重點名校2018-2019學年高二下學期期末檢測數(shù)學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.拋物線y=d+l和直線y=x+3所圍成的封閉圖形的面積是()

【答案】C

【解析】

【分析】

先計算拋物線和直線的交點，再用定積分計算面積.

【詳解】

y=—+1c

<■=>%,=—l,x=2

y=x+39

所圍成的封閉圖形的面積是：

TT/1129

J(x+3-—V)dx=J(-￡+x+2^)dx-Xs+x2+2xI=-

22、32Jj12

故答案為C

【點睛】

本題考查了定積分的應(yīng)用，意在考查學生應(yīng)用能力和計算能力.

2.七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正

方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，

則此點取自黑色部分的概率為()

【答案】C

【解析】

分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1,計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之

和.

詳解：設(shè)小正方形的邊長為1,可得黑色平行四邊形的底為后，高為Y2;黑色等腰直角三角形的直角邊

2

為2,斜邊為2加,大正方形的邊長為2a,

~..>/2x~+x2x2>

所以P=22=3，

2&2啦8

故選C.

點睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1,通過分析觀察，求得黑色平行

四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長，進而計算出黑色平行四邊形和黑色等腰

直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型.

3.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，

則不同的選法有

A.21種B.315種C.153種D.143種

【答案】D

【解析】由題意，選一本語文書一本數(shù)學書有9X7=63種，

選一本數(shù)學書一本英語書有5X7=35種，

選一本語文書一本英語書有9X5=45種，

...共有63+45+35=143種選法.

故選D.

4.已知復數(shù)（.是虛數(shù)單位），貝!I一的虛部為

1+1、z

z=—

A._jB.一1C.iD.1

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用復數(shù)的除法將復數(shù)一表示為一般形式，于是可得出復數(shù)一的虛部。

L.4

【詳解】

因此，復數(shù)二的虛部為：，故選：D。

1+i_〔二+匚6_:；

—(1-―2

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念,解決復數(shù)問題，一般利用復數(shù)的四則運算律將復數(shù)表示為一把形式,考查計算能力,

屬于基礎(chǔ)題。

5.與復數(shù)三相等的復數(shù)是（）

1-2

A?2+iB.-2+iC.—2—iD.2—z

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)運算，化簡復數(shù)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

55(-2-

因為三=(4)(-2一廠2T

故選：C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.

6.在△ABC中，A。為8C邊上的中線，E為A。的中點，貝!=

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【解析】

分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得8七=1區(qū)4+：3。，之后應(yīng)用向量的加

22

31

法運算法則-一一三角形法則，得到8C=84+AC，之后將其合并，得到3E=：BA+：AC,下一步應(yīng)

44

31

用相反向量，求得E8=-A3--AC,從而求得結(jié)果.

44

詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424、724444

31

所以=---AC,故選A.

44

點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法

的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.

7,若1-是關(guān)于x的實系數(shù)方程/+法+c=0的一個虛數(shù)根，貝！J()

A.b=29c=3B.b=2,c=-lC.b=-29c=—lD.b=-2fc=3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

【詳解】

解：：1-J5i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復數(shù)根，

???1+>/2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復數(shù)根，

1—A/2Z+1+y/2i———b

+解得b—，c=l.

故選：D.

【點睛】

本題考查了實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.在極坐標系中，。為極點，曲線夕2cos夕=1與。射線的交點為A,貝！()

A.2B.72c.-D.—

22

【答案】B

【解析】

分析：將兩方程聯(lián)立求出。，再根據(jù)。的幾何意義即可得到OA的值.

p2cos^=1

詳解：由題可得：｛八兀=P=6,由。的幾何意義可得|Q4|=五,故選B.

0=一

3

點睛：考查極坐標的定義和。的幾何意義：。表示原點到A的距離，屬于基礎(chǔ)題.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本題通過討論。的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項，判斷得出正確

結(jié)論.題目不難，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當0＜。＜1時，函數(shù)y="過定點(0,1)且單調(diào)遞減，則函數(shù),=1過定點(0,1)且單調(diào)遞增，函數(shù)

a

1

)，=logIx+-I過定點(-,())且單調(diào)遞減,D選項符合;當。＞1時，函數(shù)y=優(yōu)過定點(0,1)且單調(diào)遞增，

則函數(shù)丫=二過定點(0,1)且單調(diào)遞減，函數(shù)卜=108,/犬+:］過定點(:，0)且單調(diào)遞增，各選項均不符

a'\2)2

合.綜上，選D.

【點睛】

易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能通過討論“

的不同取值范圍，認識函數(shù)的單調(diào)性.

10.設(shè)有兩條直線〃，人和兩個平面。、P,則下列命題中錯誤的是()

A.若a//a,且a//〃，則6ua或〃//a

B.若a//b,且o_La,b10,則

C.若a//夕，且b工0,則a//

D.若qj_b，且a//a,則8_La

【答案】D

【解析】

【分析】

對A,直接進行直觀想象可得命題正確；對8,由線面垂直的性質(zhì)可判斷；對C，由線面垂直的性質(zhì)定理

可判斷；對D,b_Lc也有可能〃qo.

【詳解】

對A,若a//a,且a/必，則bua或8//a,可借助長方體直接進行觀察命題成立，故A正確；

對B,若a//。，且可得又b工。，則由線面垂直的性質(zhì)可知a///，故B正確;

對C,若a//尸，且可得aJ■耳，又bl/3,由線面垂直的性質(zhì)定理可知a//,故C正確；

對D,若)_)_，，且a//a,則6J_a也有可能人qa,故D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面之間關(guān)系的判

定方法及性質(zhì)定理是解答此類問題的關(guān)鍵.

11.已知函數(shù)/(x)=x21n(l—x),則此函數(shù)的導函數(shù)/'(%)=

2

X~

A.x2ln(l-x)B.2xln(1-x)d----

1-x

2xx2

c.-----D.Zxln(l-x)-----

I-x]-x

【答案】D

【解析】

分析：根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的求導法則得到結(jié)果即可.

詳解：函數(shù)/(x)=x21n(l_x),/(x)=2xln(l-x)+A：2^-^-^=2xln(l-x)-j^-

故答案為：D.

點睛：這個題目考查了具體函數(shù)的求導計算，注意計算的準確性，屬于基礎(chǔ)題目.

12.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是。

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

試題分析：由/(x)=/(x—4)可得：〃x+4)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期T=4,又因為/(%)是

定義在R上的奇函數(shù)，所以/(())=(),又在[0,2)上單調(diào)遞增，所以當xe[0,2)時，/(x)>0,因此

/(5)=/(1)>0,/(-1)=-/(1)<0,所以/(—1)<()</(5)。

考點：函數(shù)的性質(zhì)。

二、填空題：本題共4小題

13.設(shè)橢圓三+%=l（a>〃>0）的左、右頂點分別為A,B,點P在橢圓上且異于A,B兩點，0為坐標

原點.若直線PA與PB的斜率之積為-工，則橢圓的離心率為____.

2

【答案】也.

2

【解析】

【分析】

設(shè)點P的坐標為（工,%），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求離心率.

【詳解】

設(shè)點P的坐標為（工,%）.

由題意，有冬+冬=1,①

a2b-

=

由A（-a,0）,B（a,0）,得一~~，^BP一——?

x0/一〃

由可得片=Y-2媼

代人①并整理得（/-2〃）y；=0.

由于為。。，故/=2〃2,于是e?^,

a22

橢圓的離心率e=Y2.

2

故答案為：顯.

2

【點睛】

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法,是中檔題.求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），

常見有兩種方法：①求出“，*代入公式6=￡;②只需要根據(jù)一個條件