2024年全國碩士研究生考試《數(shù)學(xué)二》（真題卷）

2024年全國碩士研究生考試《數(shù)學(xué)二》（真題卷）[單選題]1.函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)的個數(shù)是()。A.3B.2C.1D.0正確答案：C參考解析：根據(jù)題意，無定義的點(diǎn)為1，2，0。所以第一類間斷點(diǎn)的個數(shù)是1個，故選擇C項(xiàng)。[單選題]2.設(shè)函數(shù)y＝f（x）由參數(shù)方程確定，則()。A.2eB.C.D.正確答案：B參考解析：函數(shù)f（x）可導(dǎo)，且，當(dāng)x＝2，t＝1時，，所以，，故選擇B項(xiàng)。[單選題]3.設(shè)函數(shù)，，則()。A.f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)B.f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)C.f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)D.f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)正確答案：D參考解析：令，此時h（x）是一個偶函數(shù)，所以，f（x）＝h（sinx）為偶函數(shù)，從而g（x）為奇函數(shù)，故選擇D項(xiàng)。[單選題]4.已知數(shù)列{an}（an≠0），若{an}發(fā)散，則()。A.發(fā)散B.發(fā)散C.發(fā)散D.發(fā)散正確答案：D參考解析：對于A項(xiàng)，令，，所以收斂。對于B項(xiàng)，令，，所以收斂。對于C項(xiàng)，令，，所以收斂。故選擇D項(xiàng)。[單選題]5.已知函數(shù)，則在點(diǎn)（0，0）處()。A.連續(xù)，f（x，y）可微B.連續(xù)，f（x，y）不可微C.不連續(xù)，f（x，y）可微D.不連續(xù)，f（x，y）不可微正確答案：C參考解析：點(diǎn)（0，0）處，。同理。x≠0時，。因?yàn)楣蔲（x，y）在（0，0）點(diǎn)處可微，排除B項(xiàng)和C項(xiàng)；當(dāng)（x，y）→（0，0）時，極限不存在，故在（0，0）點(diǎn)處不連續(xù)，故選擇C項(xiàng)。[單選題]6.設(shè)f（x，y）是連續(xù)函數(shù)，則()。A.B.C.D.正確答案：A參考解析：積分區(qū)域?yàn)镈：，sinx≤y≤1，故交換積分次序可得：故選擇A項(xiàng)。[單選題]7.設(shè)非負(fù)函數(shù)f（x）在[0，＋∞）上連續(xù)，給出以下三個命題：①若收斂，則收斂。②若存在p＞1，使得存在，則收斂。③若收斂，則存在p＞1，使得存在。其中真命題的個數(shù)為()。A.0B.1C.2D.3正確答案：B參考解析：若，收斂，但，故①錯誤。當(dāng)p＞1時，收斂，由于存在，故根據(jù)比較判別法，可知收斂，故②正確。若，p＝4時，則不存在，故③錯誤。[單選題]8.設(shè)A為3階矩陣，，若，則A＝()。A.B.C.D.正確答案：C參考解析：由，則可得：故選擇C項(xiàng)。[單選題]9.設(shè)A為4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若A（A－A*）＝0，且A≠A*，則r（A）取值為()。A.0或1B.1或3C.2或3D.1或2正確答案：D參考解析：由題設(shè)知r（A）＋r（A－A*）≤4、A2＝AA*＝｜A｜E，又因?yàn)閞（A－A*）≥1，則1≤r（A）≤3，則A2＝O，故r（A）＋r（A）≤4，即r（A）≤2，綜上1≤r（A）≤2。故選擇D項(xiàng)。[單選題]10.設(shè)A、B為2階矩陣，且AB＝BA，則“A有兩個不相等的特征值”是“B可對角化”的()。A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件正確答案：A參考解析：設(shè)Aα＝λα，同左乘B得BAα＝λBα，即ABα＝λBα。①若Bα≠0，則Bα為A對應(yīng)于λ的特征向量，則Bα＝kα（k≠0），則α為B對應(yīng)于λ＝k的特征向量。②若Bα＝0，則Bα＝0·α，則α為B對應(yīng)于λ＝0的特征向量。綜上：α必為B的特征向量，即A的特征向量都是B的特征向量，同理B的特征向量都是A的特征向量。故選擇A項(xiàng)。[問答題]1.設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線，xy＝3與直線，y＝3x圍成，計(jì)算。正確答案：詳見解析參考解析：積分區(qū)域的圖像關(guān)于y＝x對稱，由輪換對稱性可得：因此，有：[問答題]2.設(shè)y（x）為微分方程x2y″＋xy′－9y＝0滿足條件，的解。（1）利用變換x＝et將上述方程化為常系數(shù)線性方程，并求y（x）；（2）計(jì)算。正確答案：詳見解析參考解析：（1）對于x＝et，有t＝lnx，因此可得：從而原方程化為，即。故可得通解y＝C1e3t＋C2e－3t＝C1x3＋C2x－3，代入，可得C1＝2，C2＝0。因此，y（x）＝2x3。（2）[問答題]3.設(shè)t＞0，平面有界區(qū)域D由曲線與直線x＝t，x＝2t及x軸圍成，D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為V（t），求V（t）的最大值。正確答案：詳見解析參考解析：則V′（t）＝－πte－2t（1－4e－2t），令V′（t）＝0，可得t＝ln2。因?yàn)閠∈（ln2－δ，ln2）有V′（t）＞0，t∈（ln2，ln2＋δ）有V′（t）＜0，所以t＝ln2為V（t）的極大值點(diǎn)即最大值點(diǎn)。故最大值為。[問答題]4.已知函數(shù)f（u，v）具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)g（x，y）＝f（2x＋y，3x－y）滿足。（1）求；（2）若，，求f（u，v）的表達(dá)式。正確答案：詳見解析參考解析：（1），。，，。代入原方程：。（2）因?yàn)?。又因?yàn)?。所以。因?yàn)?。所以。[問答題]5.設(shè)函數(shù)f（x）具有2階導(dǎo)數(shù)，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，證明：（1）當(dāng)x∈（0，1）時，；（2）。正確答案：詳見解析參考解析：（1）證明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。令。因?yàn)镕（0）＝0，F(xiàn)（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）所以F（x）為凹函數(shù)，因此F（x）≥0。所以。令。因?yàn)镕（0）＝0，F(xiàn)（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）－1≤0。（|f″（x）|≤1）所以F（x）為凸函數(shù)，因此F（x）≥0。所以。綜上，。（2）由（1）中由第（1）中綜上，。[問答題]6.設(shè)矩陣，，二次型。已知方程組的解均是的解，但這兩個方程組不同解。（1）求a、b的值；（2）求正交變換x＝Qy將f（x1，x2，x3）化為標(biāo)準(zhǔn)形。正確答案：詳見解析參考解析：由題知與同解，故。又由，故a＝1，b＝2。（2）由（1）知，故二次型矩陣為，由，得λ1＝λ2＝0，λ3＝6。當(dāng)λ1＝λ2＝0時，Cx＝0，可得基礎(chǔ)解系為：，。當(dāng)λ3＝6時，（6E－C）x＝0，可得基礎(chǔ)解系為：。可知η1，η2，η3為正交向量組，將其單位化如下：，，故正交矩陣為：此時二次型經(jīng)正交變換x＝Qy可化為標(biāo)準(zhǔn)形為。[填空題]1.曲線y2＝x在點(diǎn)（0，0）處的曲率圓方程為()。正確答案：或x2－x＋y2＝0參考解析：曲線的參數(shù)方程為。由曲率公式，可得在（0，0）處的曲率K＝2，則（0，0）處的曲率半徑，又曲線在（0，0）處的切線為y軸，則曲率中心為，故曲率圓的方程為，即x2－x＋y2＝0。[填空題]2.函數(shù)f（x，y）＝2x3－9x2－6y4＋12x＋24y的極值點(diǎn)是()。正確答案：（1，1）參考解析：由，可得駐點(diǎn)（1，1）和（2，1）。，，。①對于駐點(diǎn)（1，1）：A＝－6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＞0且A＜0可知，駐點(diǎn)（1，1）是f（x，y）的極小值點(diǎn)。②對于駐點(diǎn)（2，1）：A＝6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＜0可知，駐點(diǎn)（2，1）不是f（x，y）的極值點(diǎn)。[填空題]3.微分方程滿足條件y（1）＝0的解為()。正確答案：參考解析：令x＋y＝u，等式兩邊同時對x求導(dǎo)，得到u′＝1＋y′，代入原式可得，整理得，即，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始條件代入可得，解得。[填空題]4.已知函數(shù)f（x）＝（ex＋1）x2，則f（5）（1）＝()。正確答案：31e參考解析：由萊布尼茲公式可得。因此，f（5）（1）＝31e。[填空題]5.某物體以速度v（t）＝t＋ksinπt做直線運(yùn)動，若它是從t＝0到t＝3的時間段內(nèi)平均速度為，則k＝()