二次函數-第三講2教師版

第三講二次函數

一.基礎知識

1.二次函數的概念

(1)定義:一般地，如果y=/+法+，(久仇,是常數,，。|0),那么,y叫做x的二次函數.

(2)二次函數丫=ax2+bx+c的結構特征是:等號左邊的函數y,右邊是自變量x的二次式，x的最高次

數是2.其中一次項系數b和常數項c可以是任意實數,而二次項系數a必須是非零實數,即。?0.

(3)當。=c=()時，二次函數y=o?是最簡單的二次函數.

2.二次函數解析式的幾種形式

(1)一般式：y=ax1+bx+c(a,b,c為常數，a10).

(2)頂點式：y=a(x-+左(a,/z,Z為常數，a?0).

(3)兩根式：y=a(x-X1)(x-/)，其中，和聲是拋物線與x軸交點的橫坐標，即一元二次方程

ax2+bx+c=()的兩個根，a?0.

3.二次函數解析式的確定

確定二次函數解析式，一般仍使用待定系數法，由于二次函數解析式有三個待定系數a,b,c(或a,h,k或

a,Xi,x2),因而確定二次函數解析式需要已知三個獨立的條件.當已知拋物線上任意三個點的坐標時，選用

一般式比較方便;當已知拋物線的頂點坐標時，選用頂點式比較方便;當已知拋物線與x軸兩個交點的坐標

(或橫坐標x?x2)時,選用兩根式較為方便,但最后一般都要化為一般式.

(1)已知二次函數圖像上三個點的坐標，假設出函數形式,="2+云+。，代入三個點的坐標，解方程組

可得待定系數a、b、c;

⑵利用頂點待定，由,=依2+區(qū)+。=。*+2)2+土￡土，若知道拋物線的頂點坐標為(％,%),

2a4a

2

則可設y=a(x-xQ)+%,再利用其它條件求a即可；

2

(3)利用"方程的根"確定：由y=ax+bx+c=a(x-x^{x-x2),當已知拋物線與x軸的交點(％,0)和

(巧,0)時，可假設y=a(x-玉)。-々)，根據其他條件求待定系數a；

4.拋物線的頂點,對稱軸,最值的方法

(1)配方法:將解析式化為y=a(x-h)2+k的形式,頂點坐標為(h,k),對稱軸為直線x=/z.若a>0,y

有最小值，當％=〃時，y最小值=%;若a<o,y有最大值;當尤=人時y最大值=k.

(2)公式法:直接利用頂點坐標公式(-2,如上)，求其頂點;對稱軸是直線》=-2,若有

2a4a2a

h4〃c-〃b

最小值，當-2,時，y最小值二：；若a<^y有最大值，當時，

2a4a2a

_4〃c?b2

y最大值二F-.

5.二次函數的性質

(1)對稱性：二次函數y=ax2+hx+c(a^0)的圖像關于直線x=~—對稱.

2a

(2)根據二次函數y=ax1+bx+c的圖象可歸納其性質如下表:

函數二次函數.V二內？+》x+c(〃力,。是常數，〃60)

a>0a<0

VAYA

二

圖

象/V

1tvx\%

(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸.(1)拋物線開口向上,并向上無限延伸.

h

⑵對稱軸是％=-2,,頂點坐標是(2)對稱軸是工二-二，，頂點坐標是

2a2a

b4ac-h2b4ac-h2

(c，.Z,

2a4a2a4〃

性(3)當x<—2時,y隨x的增大而減??；(3)當x<—2時,y隨x的增大而增大；

2a2a

質bb

當X>一2時,y隨X的增大而增大.當——時,y隨x的增大而減小.

2a2a

b

(4)拋物線有最低點，當X=-2時,y有(4)拋物線有最低點,當x二-2時,y有

2a2a

目.任4ac-b2?.4ac-b1

最小值，)最小值-4a,最大值，y最大值-4a,

6.二次函數與一元二次函數方程的關系

二次函數丁=收2+灰+。的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標王,々，是對應的一元二次方程

ax2+bx+c=0的兩個實數根,拋物線與x軸的交點情況可以對應的一元二次方程的根的判別式判定:

A>O=拋物線與x軸有2個交點(M，O)和(x2,O)；

A=()=拋物線與x軸有1個交點(-2,0);

2a

△<0O拋物線與x軸有0個交點(沒有交點).

組(△>()),就是拋物線與

當A>()時,設拋物線與x軸的兩個交點為A,B,則這兩個點之間的距離=

\a\

x軸兩個交點之間的距離公式.

7.二次函數圖像與系數的關系

二次函數了=辦2+笈+。的圖像與其系數2、b、C之間的關系可歸納總結如下:

(1)系數a決定決定拋物線的開口方向：

當。>0時，拋物線開口向上；當。<0時，拋物線開口向下.

⑵時決定拋物線的開口大?。?/p>

同越大，拋物線開口越??；同越小，拋物線開口越大；

h

(3)系數a、b決定拋物線的對稱軸：x=-—

2a

系數a、b同號，拋物線對稱軸在y軸左側；系數a、b異號，拋物線對稱軸在y軸右側；

(4)系數c決定拋物線與y軸的交點：當x=0時，y=c,即拋物線與y軸的交點是(0,c)；

8.確定二次函數的解析式

(4)已知二次函數圖像上三個點的坐標，假設出函數形式丁=以2+法+，，代入三個點的坐標，解方程組

可得待定系數a、b、c；

(5)利用頂點待定，由y=o?+云+c=a(x+2)2+”￡士，若知道拋物線的頂點坐標為(%,%),

2a4。

2

則可設V=a(x-xn)+%,再利用其它條件求a即可;

(6)利用“方程的根”確定：由y=a/+公+c=a(x—%)(x-々)，當已知拋物線與x軸的交點(％,0)和

02,0)時，可假設y=。(工一工|)0-工2)，根據其他條件求待定系數a；

二.例題

1.選擇題

1)(2005.武漢★★)二次函數y=ax2+bx+c(a聲0)的圖象如圖2-1所示,則下列結論：

①a,b同號;②當x=l和x=3時,函數值相等;③4a+b=0;④當y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數是:

(B)

**B.2C.3D.4

點撥：—>0,a>0,.\b<0，故①不正確;由圖象觀察二次函數對稱軸為x=2,故x=l或3時函數值相等;將

2a

(-1,0),(5,0),(0,-2)代入二次函數可得4a+b=0;由圖象可知y=-2時,值有2個.

,八.;y八

-105x

-2

x=2

圖3-1

2）（2005.湖州★★）已知二次函數^=0^+云+，的圖象如圖3-2所示，則在“①a<0,②b>0,③c<0,④

〃—4ac>0”中正確的判斷是：（D）

A.①②@④B,④C.①②③D.①④

hc

點撥：由圖象可知a<0,即①正確；由-二<0且a<0,得b<0,即②不正確；由圖象與x軸交點可知上<0且

2aa

a<0,得c>0,圖象與x軸有兩個不同交點,故A=-4ac>0.

3）（2004.昆明★）如圖3-3,已知二次函數y=+H+C3/0）圖象的頂點P的橫坐標是4,圖象交x軸

于點A（/n,O）和點B,且/”>4,那么AB的長是：（C）

點撥：因為點A的坐標為（m,0）,而頂點P的橫坐標為4,故過點P作x軸的垂線,垂足為M,則AM=m-4,而

AB=2AM=2m-8.

4）（2004.陜西★★）二次函數,丫=62+bx+c的圖象如圖3-4所示,則下列關于a,b,c間的關系判斷正確

的是：（D）

**<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a-b+c<0

點撥:由圖象可知a<0,b<0,c<0,.e.ah>O,bc>0,排除A,B當x=l時,y<0,即a+b+c<0,排除C.而當x=-l時,y<0

即a-b+c<0成立.故選D.

5）（2005.四川***）已知二次函數丁=。<：2+灰+。（4/0）的圖象如圖3-5所示，給出以下結論：①

a+b+c<0;②a-b+c<0③b+2a<0④abc>0.其是所有正確結論的序號是：（B）

A.③?B.②③C.①④D.①②③

y八；y八

c

-1/01\xx

圖3-5圖3-6

點撥：由圖象可知x=l時，a+b+c>0,當x=-l時，a-b+c<0,由一<1可得b+2a<0,當x=0時，c>0,又

2a

—b

五>0,/.ahc<0.

6)(2004.濟寧★★)如圖3-6,拋物線》=0?+以+。與x軸相交于點A,B與y軸相交于點C,如果

03=0。=4。4,那么b值為：(C)

2

A.-2B.—1C.----D.—

22

點撥：由圖象知點C的坐標為(0,c).OB=OC=-OA,：.A點的坐標是(-2c,0),B點坐標是

2

-=-2c+c(l)

(c,0).是方程以2+"+c=O的兩根.由根與系數的關系，得《"由①得,ac=b,由

~=~2C2(2)

a

②得ac=--,:,h=--.

22

7)(2005.青海)過(3,0),(1,2)三點的拋物線的頂點坐標是：(A)

214

A.(1,2)B.(1,-)C.(-1,5)D.(2,—)

1

a=——

a-h+c=021,31,

點撥：<9。+3。+。=01b—\y——x+xH—=—(x—1)~+2,

222

a+b+c=23

c=—

2

頂點坐標為(1,2).

8)(2005.茂名支)二次函數^=-2。-3)2+5的圖象開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是：(B)

A.開口向下,對稱軸為x=—3,頂點坐標為(3,5)

B.開口向下,對稱軸為X=3,頂點坐標為(3,5)

C.開口向上,對稱軸為x=-3,頂點坐標為(-3,5)

D.開口向上,對稱軸為X=3,頂點坐標為(-3,-5)

點撥：—2<0,對稱軸為x=3..?.開口向下.

9）（2005.廬州★★）把拋物線y=ax2+"+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的

解析式是y=Y-3x+5,則有：（A）

**=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21

311

點撥:把拋物線y=（x-^）2+—向左平移3個單位，向上平移2個單位,

311

得到y(tǒng)=（x+±『+U+2,即y=f+3x+7.

24

10）（2005.湛江★★★）已知：拋物線y=ox2+Z?x+c與x軸交于4>],0）,8（工2，。）兩點，頂點坐標

P（一/,」7）,A8=W—司?若S?8=1，則b與c的關系式是：（D）

A.b2-4c+l=0B.b1-4c-l=0C.b2-4c+4=0D.b1-4c-4=0

.4c—Z?2

點撥:依題知點P在X軸下方,則一-—<0,XXj+工2=-。,玉工2=C,

-X2\=-々）2=J（X|+尤2丫-4'尤2=-4c,而SMPH=1,

=1,即L（揚_4c）3=1,而—4c=2即。2一4c-4=0.

21148

2.（2003.全國初中數學競賽★★★）已知二次函數y="2-云+c（其中a是正整數）的圖象經過點

A（-l,4）與點B（2,1）,并且與x軸有兩個交點,則A+c的最大值為多少？

。一力+c=4fb=-a-1

解：由于二次函數的圖象過點A（-1,4）,B（2,1）,,則，解得.

4。+2。+c=1[c=-2a+3

因為二次函數圖象與X軸有兩個交點,得△=/_4ac>0,（-〃-I）2-4a（-2a+3）>O.

即（9。一1）（?！?）>0,又a是正整數，故a>l.所以。22.又因為匕+。=-3。+244.

且當。=2/=-3,。=一1時,滿足題意.所以匕+。的最大值為-4.

3.（2007.中考預測★★★★）已知拋物線y=（左一1）/一2伏—2）》+女（k為常數），k為何值時：（1）拋物線

的對稱軸在y軸的右側？（2）拋物線在頂點的第三象限內？

（3）拋物線在x軸上截得的線段長為3?

解：（1）由拋物線對稱軸是直線x=k-2也豐1）故當且僅當Ak-2>0,即％>2或左<1時,拋物線的對稱

k-\k-1

軸在y軸的右側；

上^＜0

(2)由頂點坐標公式可知拋物線頂點坐標為(匚，與二)，所以當k滿足＜J—1時，頂點在第三象限,

K-lk-\一＜0

k-\

4

解之得1＜女＜一.

3

4

故當1＜女＜一時,拋物線的頂點在第三象限內；

3

2(k2)

⑶設拋物線與X軸交于A(%,O)B(X2,O),則為+々=~,玉/=—

k-\K-

又AB=|七—w|=Ja+%2)2—4中2.由題設知，當且僅當k滿足下列條件時,AB=3成

kw1

攵一1工0

上苴時,拋物線在x軸上截得的線段長為3.

立；＜4—3上＞0解之得＜.故當％=

2,4-3%=3卜1|

1±272

k

3

-4

2

4.(2000.新世紀杯數學競賽★★★★)已知拋物線y=fwc-(3m+-)x+4與x軸交于A,B兩點,與y軸交

于C點,若AABC為等腰三角形,求拋物線的解析式.

4

解:因為丁=/?/—(3/〃+§)》+4故當x=0時，y=4,即拋物線與y軸的交點為C(0,4).當y=0時，有

44

nvc2-(3m+—)x+4=0,且加工0,解得玉=3,/=——，即拋物線與x軸的兩個交點為

33m

4

A(3,0)B(—,0).

3m

AABC是等腰三角形,需分三種情況討論：

444

⑴當AC=BC時，有—=—3,得/〃=—?故V=—X2+4.

3m9'9

4121

⑵當AC=AB時，因A0=3,0C=4,故AC=5于是3----=5解得班=—,想,=----.即當根=—時，有

3m6~36

1211Auz.2好心22

y=—x---x+4?當/篦=——時，有y=——x2+—x+4

66333

⑶當AB=BC時，有3----=、4~+(—)，得加=—，故y=—x"H----x+4.

3mv3m7721

411177

綜上所述，所求拋物線的解析式有：丁=一？爐+4或｝；=+/一?1+4或*元2一士1+4或

96633

y士+4+4.

721

5.(1997.哈爾濱★★)已知函數y=Y+2ax+l當TV—aK1時的最小值是-3,則實數a的值是多少？

解:若TW—aWl,即—lWaW4,拋物線開口向上，有最小值f(-a)=l-a2,,由條件知1—二=一3,得

。=±2,又故a=2.

若—Q<T,即。>4,當-4<x<l時，f(x)隨工增大而增大，最小值/(-4)=16-8〃+1,由

16-8。+1=-3,解得。=2,又?！?矛盾,不合題意,舍去.

2

若—。>1,即a<—1時，當TWxWl時，/(x)隨x增大而減小,最小值/⑴=2。+2,由2a+2=—3,得

。=-*,滿足”-1.綜上所述,“*或2.

22

6.(第十屆“祖沖之杯”競賽★★★)某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元售出時,每天可賣出60

個,商店經理到市場上做了一番調查后發(fā)現(xiàn),若將這種商品的售價(在每個18元的基礎上)每提高1元，則日

銷售量就減少5個;若將這種商品的售價(在每個18元的基礎上)每降價1元,則日銷售量就增加10個,為

獲得每日最大利潤,此商品售價應定為每個多少元？

解:設此商品每個售價為x元，每日利潤為s元.

當工上18時,有5=[6()—5(%—18)]0—10)=-5(》-20)2+500

即在商品提價時,當x=20時，每日利潤s最大,最大利潤是500元.

當xW18時，有$=[60+10(18—x)](x-10)=-10(X-17)2+490

即在商品降價時,當x=17時，每日利潤最大,最大利潤是490元.

綜上所述,此商品售價應定為每個20元.

7.(2001.天津★★★)已知拋物線y=/+2匠+4上有一點加(%,%)位于x軸下方.

(1)求證:此拋物線與x軸交于兩點.

⑵設此拋物線與X軸的交點為4%,0),6(工2，°)，且西<工2,求證：玉</<々.

解：⑴由題意得y0=XQ+px0+q=(x0+-----~~-,又M(x0,y0)位于x軸下方，

知%<0.則(3+§2-P：旬<0,即P；4q>(3+§220,有p2一的>0.

故方程x2+px+q=O有兩個不相等實數根,即拋物線與x軸交于兩點.

⑵由⑴設拋物線與x軸的兩個交點為A(X?O),B(X2,O),則不+々=一2,%々=4.代入

片+2/+4=笫<0有x；+々?()+王々<0,(%—玉)(%一馬)<°，且玉<々，

故王<玉)<々.

8.(2000.贛州★★★★)設二次函數/=依2-汝+。與一次函數y=mx+n的圖象的交點是

A(-1,2),8(2,5),且二次函數的最小值是1.

(1)求一次函數與二次函數的解析式.(2)若二次函數頂點為C,求sinZABC的值.

解：(1)將4(一1,2),8(2,5)代入丫=〃吠+〃，得〈,解得＜.

5=2m+n〃=3

故一次函數解析式為y=x+3；

2=a-b+c=1

G將A(-l,2),8(2,5)代入二次函數y=ax1-bx+c,最小值為1,得：＜5=4。+2〃+。解得4=0或

Aac-b1,q=]

-------=1

4a

1

生二—

-9

Q1

＜b2=-故二次函數解析式為^=/+1或3，=上。2+8工+25).

25

c=一

[279

(2)對應頂點C,(0,1),G(-4,1),如圖3-7.

一次函數y=x+3與x軸交于￡(-3,0),

與y軸交于0(0,3),直線CG就是y=l,

作BH_L，得H點(2,1).由勾股定理,圖3-7

得5C,=&+4?=2后,BC2=府+42=2岳

連結AC,,C2E,同理可得AC,=及7=及，AB=3V2,BE542.

V2Vio

在AABC,中，由AB?+AC；=BC：,知NBAJ=90°故sinZABC

t275~10

x/2_y/26

在\BCE中，同樣可知ZB￡C=90故sinZABC

2222A/13-26

三.練習題

1.(2005.嘉興已知函數y=f-4x+l.

(1)求函數的最小值；

(2)在給定坐標系中，畫出函數的圖象；

(3)其圖象與x軸的交點為4(不0),5(X2,0)，求玉2+工；的值.

解：⑴y=x?-4x+l=(x-2)2-3,.?.當x=2時，為仙=一3.--4圖3-8

(2)如圖3-8,圖象是一條開口向上的拋物線.對稱軸為x=2,頂點為(2,-3).

(3)由題意，玉,入?是方程V-4x+l=0的兩根，/.x}+x2=4,玉々=1.

x；+x；=(%+-2X]%2=4—2—14

2.(2005.鹽城★★★)已知：拋物線的解析式為y=f_(2加-1)x+m2-m.

(1)求證:此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

(2)若此拋物線與直線v=x-3機+4的一個交點在y軸上，求m的值.

解：(1)令y=0,得/一(2加-l)x+〃，-m=0.A=(2/77-1)2-4(/M2-zn)=1>0,

方程①有兩個不等的實數根，原拋物線與x軸有兩個不同的交點.

(2)令x=0,根據題意有：m2一〃?=一3m+4.解得加=-1+不或加=-1一百.

3.(2005.武漢)已知拋物線y=-丁+(m-2)x+3(根+1)交x軸于4(%,0),8(々,0),交y軸的正半軸于C

點，且石<孫|引>同,。4?+O02-2OC+1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在與拋物線只有一個公共點C的直線.如果存在,求符合條件的直線的表達式;如果不存在，請說

明理由.

解：⑴由條件知==—X],QB=|x2|=x2,OC-3(m+l).

22

OA+OB=2OC+1,x；+x：=6(m+l)+1,。+9)？-2xlx1—6(/M+1)+1,

(m-2)2+6(加+1)=6(m+1)+1,解得仍=3,牲=1?

,

玉<x2,|x1|>|x2|,..m-2<0,.-./n=l.函數的解析式為y=-x?-x+6.

(2)存在與拋物線只有一個公共點C的直線.C點的坐標為(0,6).

①當直線過C(0,6)且與x軸垂直時,直線與拋物線只有一個公共點，.?.直線％=0.

②過C點的直線丁=依+6,與拋物線y=-x2-尤+6只有一個公共點C,

-2

V=—V***—+6

即1,只有一個實數解.x2+(k+l)x=0,△=0,(k+1)2=0,：.k=-\.

y=kx+6

??.y=+6.「.符合條件的直線的表達式為丁=一1+6或%=0.

4.(2004.武漢★★★)已知:二次函數y=o?-s+1)》—3。的圖象經過點P(4,10),交x軸

于A(X|,0),JB(X2，。)兩點Qi<9),交y軸負半軸于C點,且滿足3AOOB.

(1)求二次函數的解析式；

(2)在二次函數的圖象上是否存在點M,使銳角NACO?若存在,請你求出M點的橫坐標的取值范

圍;若不存在,請你說明理由.

解：⑴二次函數y=ax2-S+l)x-3a的圖象經過點P(4,10),

/.16a-40+1)-3?=10,(Dx}x2=-3,x]<0<x2,3AO-OB,-3x}=x2,

r.=3,而王<0,r.%]=-1,%2=3.玉+w=2,得8+1=2a,②

由①@得a=2,b=3，二次函數的解析式為y=2x2-4x-6.

⑵在x軸的正半軸上取一點D,使ZOCA=ZOCD.則D點坐標為(1,0),直線CD的解析式為y=6x-6.

設直線與拋物線的另一交點為N.由《)一，

y=6x—6

解得《x=5Ax=0,，N點坐標為(5,24).過C點作y軸的垂線交拋物線于另一點E,由對稱軸知E點的

」=24[y=-6

坐標為(2,-6),當M點在拋物線上點A,C或點E,N之間(不包括端點)時,銳角ZMCO>ZOCA.即M點的

橫坐標x的取值范圍為一l<x<0或2<x<5時，

銳角NMCO>NOC4.

5.(2004.湛江★★★★)如圖3-9,拋物線y=-2x?+云與x軸的兩個不同交點是0與A,頂點B在直線

y-也x上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)證明AQA6是等邊三角形;

(3)在拋物線上是否存在點P,使NOPA=90”?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.(拋物線

、=這2+法+,的頂點坐標是(一(,記)).

且點B在直線y=上，.?.反2=無即

解：(1)y=-2x~+bx的頂點坐標是

48

b2=2A/3Z?.點A與點0是兩個不同的點，Z?=2j5.

拋物線的解析式是y=-2x2+2瓜.

A(百,0)頂點8(4,|).過B作3C_L于

(2)拋物線y=-2x2+2也x與x軸的交點坐標是0(0,0),

C,則0C=3,8C=3,AC=gy

222

BO=4OC2+BC2=J與+0=5

AB=dAC2+BC?=J與+(|)=6

0A=AB=BD=6A。鉆是等邊三角形.圖3-10

(2)假設存在符合條件的點P(m,〃)，由圖3-10可知機>0,〃>0,連結OP,PA,過點P作

產。，04于D,則RtkOPDRt\PAD,PD2=ODDA,

DAPD

/.n2=-加).2/=