2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪 解三角形

第8節(jié)解三角形高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分12強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角α的范圍是0°≤α<360°

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例:(1)北偏東α:

(2)南偏西α:

坡角與坡比坡面與水平面所成二面角的度數(shù)叫做坡度,θ為坡角;坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比,即i==tan

θ

所謂解三角形,就是已知三角形的幾個(gè)元素(邊或角)求其余元素的過(guò)程2.解三角形實(shí)際應(yīng)用題的步驟

微點(diǎn)撥要理清各種角的含義,尤其是方位角和方向角,解題中出現(xiàn)較多的是方向角.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.東南方向就是指南偏東45°的方向.(

)2.若從A處看B處的仰角為α,從B處看A處的俯角為β,則α+β=180°.(

)3.點(diǎn)A在B的南偏西20°方向上,若以點(diǎn)B為基點(diǎn),點(diǎn)A的方位角為200°.(

)4.俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角,其范圍是[0,].(

)√×√×題組二

回源教材5.(人教B版必修第四冊(cè)9.2節(jié)例1改編)如圖所示,A,B是某沼澤地上不便到達(dá)的兩點(diǎn),C,D是可到達(dá)的兩點(diǎn).已知A,B,C,D4點(diǎn)都在水平面上,而且已經(jīng)測(cè)得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100m,則AB的長(zhǎng)為__________m.

題組三

連線高考6.(2021·全國(guó)甲,理8)2020年12月8日,中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m).三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖.現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC'的差為100,由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'-CC'約為(≈1.732)(

)

A.346

B.373

C.446

D.473B研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一解三角形在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題中的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1測(cè)量距離問(wèn)題例1(多選題)(2024·安徽池州模擬)如圖所示,為了測(cè)量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測(cè),A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛30海里至C處,觀測(cè)B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則下列結(jié)論正確的是(

)BC解析

由題意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A錯(cuò)誤;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,規(guī)律方法解決距離問(wèn)題的基本步驟(1)確定解決問(wèn)題所需要的三角形.(2)分析三角形中的已知量和未知量,將未知量放在另一個(gè)三角形中求解.(3)在確定的三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理求解.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·四川南充模擬)一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是(

)A考向2測(cè)量高度問(wèn)題例2(2024·重慶高三臨門一卷)如圖,某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度,先在山腳A處測(cè)得山頂C處的仰角為60°,又利用無(wú)人機(jī)在離地面高300m的M處(即MD=300m),觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為45°,則山高BC=__________m.

450規(guī)律方法解決高度問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)理解好兩類角:仰角、俯角是在鉛垂面上所成的角,方向角、方位角是在水平面上所成的角,注意區(qū)分.(2)畫好兩個(gè)圖形:高度問(wèn)題一般涉及空間與平面問(wèn)題,因此要畫好兩個(gè)圖形,即平面圖形和空間圖形.(3)做好一個(gè)轉(zhuǎn)化:將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·江蘇南京六校聯(lián)考)如圖,為測(cè)量某塔的總高度AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=30°,∠BDC=45°,CD=30米,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°,則塔的總高度約為(

)(參考數(shù)據(jù):

)A.13米

B.24米C.39米

D.45米C(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí),兩船相距多少海里?(2)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追,才能最快追上走私船?規(guī)律方法解決角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)依據(jù)題意畫出正確的示意圖;(2)明確方向角、方位角的含義;(3)求角必先求角的正弦值或余弦值;(4)注意根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行取舍.B考點(diǎn)二正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用例4(2021·新高考Ⅱ,18)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sin

C=3sin

A,求△ABC的面積;(2)是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由.(2)因?yàn)閏=a+2=b+1,所以c>b>a,因此若存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形,則角C為鈍角,則a2+(a+1)2<(a+2)2,化簡(jiǎn)得a2-2a-3<0,解得-1<a<3.因?yàn)閍為正整數(shù),所以a可取1,2.當(dāng)a=1時(shí),△ABC的三邊的長(zhǎng)度分別為1,2,3,此時(shí)不滿足三角形的三邊關(guān)系,即該三角形不存在;當(dāng)a=2時(shí),△ABC的三邊的長(zhǎng)度分別為2,3,4,滿足題意.因此當(dāng)a=2時(shí),△ABC為鈍角三角形.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·湖南邵陽(yáng)模擬)如圖所示,D為△ABC外一點(diǎn),且∠ABC=135°,AD⊥CD,AB=,BC=1,CD=2.(1)求sin∠ACD的值;(2)求BD的長(zhǎng).考點(diǎn)三解三角形與三角函