新八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第2講全等三角形-提高班(學(xué)生版+解析)

第2講全等三角形

1全等三角形一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.四、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【例題精選】例1(2023秋?柯橋區(qū)期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周長(zhǎng)為12，若AC＝3，EF＝4，AB＝________．例2(2023秋?江津區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)________．【隨堂練習(xí)】1.(2023秋?包河區(qū)期末）如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，則∠B的度數(shù)為_(kāi)_______．2．(2023秋?東臺(tái)市期末）△ABC≌△DEF，下列結(jié)論中不正確的是（）A．AB＝DE B．BE＝CF C．BC＝EF D．AC＝DE3．(2023秋?北侖區(qū)期末）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)E在線段BC上，∠1＝40°，則∠AED的度數(shù)是（）A．70° B．68° C．65° D．60°2全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例題精選】例1(2023?云南模擬）點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求證：△ABC≌△CDE．例2(2023秋?蜀山區(qū)期末）已知，如圖，AC、BD相交于點(diǎn)E，EA＝ED，EB＝EC．求證：△ABC≌△DCB．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?岑溪市期末）如圖，線段AD與BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD，且OB＝OC，要使△AOB≌△DOC，應(yīng)添加一個(gè)條件，不能證明△MOB≌△COD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝DO C．∠B＝∠C D．AB＝CD2．(2023秋?謝家集區(qū)期末）如圖，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，則下列條件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB3．(2023秋?白云區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是以AB的中點(diǎn)，AD＝BE，CD＝CE，則圖中全等三角形共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)4．(2023春?畢節(jié)市期中）如圖，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，則全等三角形共有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)3直角三角形全等除了前面所學(xué)的全等條件外，直角三角形還有一種判定是HL即兩個(gè)直角三角形中，有一組斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形也全等?！纠}精選】例1(2023秋?諸城市期末）如圖，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還要添加一個(gè)條件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF例2(2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等 B．兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?青龍縣期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件___________．2．(2023秋?肇慶期末）如圖，已知AB⊥CD，垂足為B，BC＝BE，若直接應(yīng)用“HL”判定△ABC≌△DBE，則需要添加的一個(gè)條件是___________．4全等三角形的應(yīng)用會(huì)利用三角形全等的判定與性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題【例題精選】例1(2023秋?海淀區(qū)期末）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫(huà)出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上．若想知道兩點(diǎn)A，B的距離，只需要測(cè)量出線段________即可．例2(2023秋?昌平區(qū)期末）如圖，某人將一塊三角形玻璃打碎成兩塊，帶________塊（填序號(hào)）能到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，用到的數(shù)學(xué)道理是_________．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?邢臺(tái)期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的到刻度分別與點(diǎn)M、N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C作射線OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．(2023秋?東湖區(qū)期末）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，可以證明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)（如圖），判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，用直尺和圓規(guī)作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL2．如圖，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的條件有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．30° B．15° C．25° D．20°二．填空題4．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB＝．三．解答題（共3小題）5．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2．求證：∠EDC＝∠C．6．已知銳角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求證：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求線段BE的長(zhǎng)度．7．問(wèn)題情境：小明和小麗共同探究一道數(shù)學(xué)題：如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∠BAD＝65°，∠DAC＝50°，AD＝2，求AC的長(zhǎng)為多少．探索發(fā)現(xiàn)；小明的思路是：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，構(gòu)造全等三角形．小麗的思路是：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造全等三角形．選擇小明、小麗其中一人的方法解決問(wèn)題情境中的問(wèn)題．類比應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AB⊥AC．若∠CAD＝45°，∠ADC＝67.5°，AO＝2，則BC的長(zhǎng)為．第2講全等三角形

1全等三角形一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.四、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【例題精選】例1(2023秋?柯橋區(qū)期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周長(zhǎng)為12，若AC＝3，EF＝4，AB＝________．分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，由題意得，AB+BC+AC＝12，∴AB＝12﹣3﹣4＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．例2(2023秋?江津區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)________．分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DB＝AC＝7，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝7，∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1.(2023秋?包河區(qū)期末）如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，則∠B的度數(shù)為_(kāi)_______．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠EAC＝40°，∴∠BAD＝40°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，故答案為：70°．2．(2023秋?東臺(tái)市期末）△ABC≌△DEF，下列結(jié)論中不正確的是（）A．AB＝DE B．BE＝CF C．BC＝EF D．AC＝DE【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴BE＝CF，故A，B，C正確，故選：D．3．(2023秋?北侖區(qū)期末）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)E在線段BC上，∠1＝40°，則∠AED的度數(shù)是（）A．70° B．68° C．65° D．60°【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B＝＝70°，∴∠AED＝70°，故選：A．2全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例題精選】例1(2023?云南模擬）點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求證：△ABC≌△CDE．分析：根據(jù)中點(diǎn)的定義和全等三角形的判定解答即可．【解答】證明：∵點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，∴AC＝CE，在△ACB與△CED中，∴△ABC≌△CDE（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答．例2(2023秋?蜀山區(qū)期末）已知，如圖，AC、BD相交于點(diǎn)E，EA＝ED，EB＝EC．求證：△ABC≌△DCB．分析：先利用“SAS”證明△AEB≌△DEC得到∠BAE＝∠CDE，AB＝CD，再證明AC＝BD，然后利用“SAS”證明△ABC≌△DCB．【解答】證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴∠BAE＝∠CDE，AB＝CD，∵EA＝ED，EB＝EC，∴AC＝BD，在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?岑溪市期末）如圖，線段AD與BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD，且OB＝OC，要使△AOB≌△DOC，應(yīng)添加一個(gè)條件，不能證明△MOB≌△COD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝DO C．∠B＝∠C D．AB＝CD【解答】解：A、若∠A＝∠D，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“AAS”可證△MOB≌△COD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、若AO＝DO，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“SAS”可證△MOB≌△COD，故選項(xiàng)B不符合題意；C、若∠B＝∠C，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“ASA”可證△MOB≌△COD，故選項(xiàng)C不符合題意；D、若AB＝CD，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，不能證明△MOB≌△COD，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．(2023秋?謝家集區(qū)期末）如圖，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，則下列條件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB【解答】解：A、添加∠A＝∠D，根據(jù)ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意．B、添加∠C＝∠F，根據(jù)AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意．C、添加AC＝DF，根據(jù)SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)符合題意．D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根據(jù)SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．(2023秋?白云區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是以AB的中點(diǎn)，AD＝BE，CD＝CE，則圖中全等三角形共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【解答】解：∵點(diǎn)C是以AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，∵AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACG＝∠BCH，∴△ACG≌△BCH（ASA），∴CG＝CH，∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），∵∠EFG＝∠DFH，∴△EFG≌△DFH（AAS）；∴圖中全等三角形共有4對(duì)，故選：C．4．(2023春?畢節(jié)市期中）如圖，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，則全等三角形共有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB，AC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），∴BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，∠ABC＝∠ABD，∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∵BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，BE＝BE，∴△BCE≌△BDE（SAS）．故選：C．3直角三角形全等除了前面所學(xué)的全等條件外，直角三角形還有一種判定是HL即兩個(gè)直角三角形中，有一組斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形也全等?！纠}精選】例1(2023秋?諸城市期末）如圖，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還要添加一個(gè)條件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF分析：根據(jù)垂直定義求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：條件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．例2(2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等 B．兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等分析：根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行解答．【解答】解：A、根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可以判定兩個(gè)等腰三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意．B、該角是兩邊的夾角時(shí)方可推知這兩個(gè)三角形全等，負(fù)責(zé)不能推知全等，故本選項(xiàng)不符合題意．C、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形的大小和形狀不一定相同，不能判斷全等，故本選項(xiàng)不符合題意．D、斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形的兩直角邊不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判斷全等，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?青龍縣期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件___________．【解答】解：還需添加條件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案為：AB＝AC．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是正確理解：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．2．(2023秋?肇慶期末）如圖，已知AB⊥CD，垂足為B，BC＝BE，若直接應(yīng)用“HL”判定△ABC≌△DBE，則需要添加的一個(gè)條件是___________．【解答】解：AC＝DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC＝∠DBE＝90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案為：AC＝DE．4全等三角形的應(yīng)用會(huì)利用三角形全等的判定與性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題【例題精選】例1(2023秋?海淀區(qū)期末）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫(huà)出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上．若想知道兩點(diǎn)A，B的距離，只需要測(cè)量出線段________即可．分析：根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法，可以證明△ABC≌△EDC，故想知道兩點(diǎn)A，B的距離，只需要測(cè)量出線段DE即可．故答案為：DE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．例2(2023秋?昌平區(qū)期末）如圖，某人將一塊三角形玻璃打碎成兩塊，帶________塊（填序號(hào)）能到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，用到的數(shù)學(xué)道理是_________．分析：已知三角形破損部分的邊角，得到原來(lái)三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊不能配一塊與原來(lái)完全一樣的；第②塊不僅保留了原來(lái)三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來(lái)配一塊一樣的玻璃．應(yīng)帶②去．故答案為：②，ASA．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?邢臺(tái)期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的到刻度分別與點(diǎn)M、N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C作射線OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故選：A．2．(2023秋?東湖區(qū)期末）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，可以證明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)（如圖），判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【解答】解：因?yàn)樽C明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：B．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，用直尺和圓規(guī)作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：由作圖可知，OE＝OD，DC＝EC，在△ODC與△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS），故選：A．2．如圖，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的條件有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵BE＝BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE；∵∠D＝∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE；∵∠B＝∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE；故選：C．3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．30° B．15° C．25° D．20°【解答】解：證明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ACD中，∴△BDF≌△ACD（AAS）∴∠DBF＝∠CAD＝25°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°故選：D．二．填空題（共1小題）4．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB＝35°．【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故答案為：35三．解答題（共3小題）5．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2．求證：∠EDC＝∠C．【解答】證明：∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2，∴∠DC