復(fù)習(xí)清單01 一元二次方程（解析版）

清單01一元二次方程（13個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點一．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．【例1】．（2022秋?龍鳳區(qū)校級期末）下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，一元二次方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：當(dāng)a＝0時，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，整理得：﹣x﹣6＝﹣3，是一元一次方程，不是一元二次方程，是分式方程，不是一元二次方程，所以一元二次方程有2x2﹣1＝0，，共2個，故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【變式】．（2022秋?鄄城縣期末）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，可得m﹣1≠0，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，∴m﹣1≠0，∴m≠1，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．考點二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當(dāng)a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．【例2】（2022秋?大連期末）一元二次方程3x2﹣6x＝1化為一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝3，b＝6，c＝1 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣6，c＝1 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a(chǎn)＝3，b＝﹣6，c＝﹣1【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a、b、c的值即可．【解答】解：∵3x2﹣6x＝1，∴3x2﹣6x﹣1＝0，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：找各項系數(shù)時，帶著前面的符號．【變式】．（2022秋?新洲區(qū)期末）將一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根據(jù)方程的特點得出一次項系數(shù)和常數(shù)項即可．【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，x2﹣9x+3＝0，所以一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為﹣9、3，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，把方程換成一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：說各個項的系數(shù)帶著前面的符號．考點三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．【例3】（2022秋?長安區(qū)期末）若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一個根，則m的值為（）A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10【分析】先把x＝1代入一元二次方程x2+mx+9＝0即可得出m的值．【解答】解：∵x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一個根，∴12+m+9＝0，∴m＝﹣10．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【變式】．（2022秋?錫山區(qū)校級期末）若關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一個根是0，則a的值為．【分析】把x＝0代入一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0中求出a的值，再根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：把x＝0代入方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得：a2﹣4＝0，解得a＝±2，∵方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴a+2≠0，∴a≠﹣2，∴a的值為2．故答案為：2．【點評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握解一元二次方程解的意義是解本題的關(guān)鍵．考點四．解一元二次方程-直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．【例4】．（2022秋?雅安期末）方程（x﹣3）2＝16的根為（）A．x1＝x2＝7 B．x1＝7，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝7，x2＝﹣1【分析】直接利用開平方法解一元一次方程，即可得出答案．【解答】解：（x﹣3）2＝16，開方得：x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，解得：x1＝7，x2＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查的是解一元二次方程，熟練利用直接開平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?潼南區(qū)期末）對于方程37（x﹣2）2＝42的兩根，下列判斷正確的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．兩根都小于0 D．兩根都大于2【分析】先變形得到（x﹣2）2＝，再利用直接開平方法解方程得到x1＝2+，x2＝2﹣，然后利用1＜＜2可對各選項進行判斷．【解答】解：37（x﹣2）2＝42，（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∵1＜＜2，∴x1＞3，x2＜1．故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．考點五．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．【例5】．（2022秋?醴陵市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可變形為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故選：D．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型【變式】．（2022秋?赫山區(qū)期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，變形后結(jié)果正確的是（）A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣配方法進行計算，即可解答．【解答】解：x2+6x﹣1＝0，x2+6x＝1，x2+6x+9＝1+9，（x+3）2＝10，故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．考點六．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．【例6】．（2022秋?德化縣期末）下面是小明同學(xué)解方程x2﹣5x＝﹣4的過程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是從第步開始出錯．【分析】根據(jù)一元二次方程的解法步驟即可解答．【解答】解：原方程化為：x2﹣5x+4＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．故答案為：一．【點評】本題主要考查用公式法解一元二次方程，將一元二次方程化成一般式是運用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?保德縣校級期末）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．【分析】根據(jù)公式法解方程即可．【解答】解：x2﹣3x﹣3＝0，a＝1，b＝c＝﹣3，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，∴，解得，．【點評】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法解方程是解答本題的關(guān)鍵．考點七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．【例7】．（2022秋?贛州期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣2x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）先移項，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，∴（x﹣2﹣3）（x﹣2）＝0，即（x﹣5）（x﹣2）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝5，x2＝2．【點評】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．考點八．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．【例8】．（2022秋?昭陽區(qū)校級期末）設(shè)a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，則這個直角三角形的斜邊長為．【分析】此題實際上求的值．設(shè)t＝a2+b2，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t（t﹣1）＝12，通過解方程求得t的值即可．【解答】解：設(shè)t＝a2+b2，則由原方程，得t（t﹣1）＝12，整理，得（t﹣4）（t+3）＝0，解得t＝4或t＝﹣3（舍去）．則a2+b2＝4，∵a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長，∴這個直角三角形的斜邊長為＝＝2．故答案為：2．【點評】此題考查了換元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟練運用勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022秋?集賢縣期末）解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整體思想和換元法可設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為：．【分析】根據(jù)換元法，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，代入原方程即可求解．【解答】解：設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為：y2﹣5y+4＝0．故答案為：y2﹣5y+4＝0．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程，整體代入是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2022秋?信都區(qū)校級期末）閱讀材料，解答問題：為解方程x4﹣3x2+2＝0，我們將x2視為一個整體，解：設(shè)x2＝y(tǒng)，則x4＝y(tǒng)2，原方程可化為y2﹣3y+2＝0，解得y1＝2，y2＝1，當(dāng)x2＝2時，，當(dāng)x2＝1時，x＝±1，∴原方程的解為或x＝±1．（1）上面的解題方法，利用法達到了降冪的目的．（2）依據(jù)此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．【分析】（1）根據(jù)換元法解一元二次方程；（2）根據(jù)換元法解一元二次方程即可求解．【解答】解：（1）上面的解題方法，利用換元達到了降冪的目的，故答案為：換元；（2）解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，原方程可化為y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3，當(dāng)x2﹣1＝2時，，當(dāng)x2﹣1＝3時，x＝±2，∴原方程的解為或x＝±2．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程，掌握換元法是解題的關(guān)鍵．考點九．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．【例9】．（2022秋?錫山區(qū)校級期末）一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣5＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【分析】先計算根的判別式的值得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況即可．【解答】解：∵Δ＝（k+1）2﹣4（k﹣5）＝k2﹣2k+21＝（k﹣1）2+20＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．【變式】．（2022秋?南明區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可以是（寫出一個值即可）．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于m的不等式，解之即可得出m的取值范圍，在m的范圍內(nèi)即可判斷．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（m﹣1）2﹣4×1×2＞0，解得：m＞1+2或x＜1﹣2，取m＝4，故答案為：4（不唯一）．【點評】本題考查了根的判別式，熟記“當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根，則Δ＞0”是解題的關(guān)鍵．考點十．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．【例10】．（2022秋?天河區(qū)校級期末）若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得到α+β＝﹣2，α?β＝﹣2024，由方程的根可得α2+2α＝2024，然后代入變形后的式子求值，即可得到答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024，∴原式＝α2+2α+α+β＝2024+（﹣2）＝2022．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【變式】．（2022秋?平頂山期末）設(shè)α，β是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的兩個根，則＝．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再由，即可求解．【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的兩個根，∴，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．考點十一．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．【例11】．（2022秋?開州區(qū)期末）李師傅去年開了一家商店，今年1月份開始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利達到3456元，若設(shè)2月到4月每月盈利的平均增長率為x，則可列方程為（）A．2400（1+x）2＝3456 B．2400（1﹣x）2＝3456 C．2400（1+2x）＝3456 D．2400（1﹣2x）＝3456【分析】設(shè)2月到4月每月盈利的平均增長率為x，根據(jù)增長率問題，列出一元二次方程即可求解．【解答】解：設(shè)2月到4月每月盈利的平均增長率為x，則可列方程為2400（1+x）2＝3456，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2022秋?路南區(qū)期末）如圖，某小區(qū)計劃在一個長16m，寬9m的矩形場地ABCD上，修建三條同樣寬的小路，豎直的與AB平行，水平的與AD平行，其余部分種草，已知草坪部分的總面積為112m2，設(shè)小路寬xm，若x滿足的方程為（）A．x2﹣17x﹣16＝0 B．x2﹣17x+16＝0 C．x2+17x﹣16＝0 D．x2+17x+16＝0【分析】設(shè)小路寬xm，則草坪的總長度為（16﹣2x）m，總寬度為（9﹣x）m，根據(jù)題意得（16﹣2x）（9﹣x）＝112，進行計算即可得．【解答】解：設(shè)小路寬xm，則草坪的總長度為（16﹣2x）m，總寬度為（9﹣x）m，根據(jù)題意得（16﹣2x）（9﹣x）＝112，144﹣16x﹣18x+2x2＝112，2x2﹣34x+32＝0，x2﹣17x+16＝0．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列出方程．考點十二．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．【例12】．（2022秋?濱城區(qū)期末）如圖，有一面積為600m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長35m）（墻長，另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長為69m，設(shè)雞場垂直于墻的一邊為xm，則x的值是（）A．15m B．20m C．20m或15m D．20m或12m【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程求解，并檢驗平行于墻的一邊長不超過35米即可解題．【解答】解：列方程得：x（69+1﹣2x）＝600，解得：x＝20或x＝15，當(dāng)x＝20時，平行于墻的一邊長為：70﹣2×20＝30米＜35米；當(dāng)x＝15時，平行于墻的一邊長為：70﹣2×15＝40米＞35米，不符合題意舍去；所以x＝20．故答案為：B．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程，注意要檢驗，使得結(jié)果符合實際情況是解題關(guān)．【變式1】．（2022秋?于洪區(qū)期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手．有人統(tǒng)計一共握了66次手，這次會議到會的人數(shù)有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】可設(shè)參加會議有x人，每個人都與其他（x﹣1）人握手，共握手次數(shù)為x（x﹣1），根據(jù)一共握了66次手列出方程求解．【解答】解：設(shè)參加會議有x人，依題意得，x（x﹣1）＝66，整理，得x2﹣x﹣132＝0解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去）則參加這次會議的有12人．故選：C．【點評】考查了一元二次方程的應(yīng)用，計算握手次數(shù)時，每兩個人之間產(chǎn)生一次握手現(xiàn)象，故共握手次數(shù)為x（x﹣1）．【變式2】．（2022秋?東麗區(qū)期末）用一條長為40cm的繩子圍成一個矩形，下列圍成的圖形面積一定不可能的是（）A．64 B．96 C．100 D．101【分析】設(shè)圍成面積為a，矩形形的長為xcm，則寬為（40÷2﹣x）cm，然后根據(jù)矩形的面積公式表示出a，此時可以將方程看成是一個關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程的根的判別式即可得到a的取值范圍，即可得解．【解答】解：設(shè)圍成面積為a，矩形形的長為xcm，則寬為（40÷2﹣x）cm，依題意得x（40÷2﹣x）＝a，整理得x2﹣20x+a＝0，由于此方程有解，則Δ＝400﹣4a≥0，解得a≤100，∴a的值不可能為101，故選：D．【點評】本題考查矩形的相關(guān)知識以及一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵根據(jù)一元二次方程根的判別式得解．【變式3】．（2022秋?漢陽區(qū)校級期末）如圖，某農(nóng)家樂老板計劃在一塊長130米，寬60米的空地開挖兩塊形狀大小相同的垂釣魚塘，它們的面積之和為5750平方米，兩塊垂釣魚塘之間及周邊留有寬度相等的垂釣通道，則垂釣通道的寬度為（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】設(shè)垂釣通道的寬度為x米，則兩塊垂釣魚塘可合成長為（130﹣3x）米、寬為（60﹣2x）米的矩形，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合綠地的面積為5750平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)垂釣通道的寬度為x米，則兩塊垂釣魚塘可合成長為（130﹣3x）米、寬為（60﹣2x）米的矩形，根據(jù)題意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750，整理得：3x2﹣220x+1025＝0，解得：x1＝＞60（舍去），x2＝5．即垂釣通道的寬度為5米．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2022秋?方城縣期末）新冠疫情牽動人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平均一個人可以傳染x個人，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人感染，若不加以控制，第三輪傳染后感染人數(shù)為（）A．338 B．256 C．2197 D．2028【分析】根據(jù)題意每輪傳染中平均一個人可以傳染x個人，經(jīng)過一輪有x人被傳染，那么經(jīng)過兩輪后有[x（x+1）+x+1]人感染，列出方程解得x，即可求出第三輪感染人數(shù)．【解答】解：設(shè)在每輪傳染中平均一個人可以傳染x個人，[x（x+1）+x+1]＝169，即（1+x）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍），∴每輪傳染中平均一個人可以傳染12個人，∴第三輪傳染后感染人數(shù)為169+169×12＝2197，故選：C．【點評】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（2022秋?開江縣期末）為了讓農(nóng)民能種植高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，某農(nóng)科實驗基地大力開展種子實驗．該實驗基地兩年前有150種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有216種種子．若培育的種子平均每年的增長率為x，則x的值為．【分析】利用該實驗基地現(xiàn)有種子種數(shù)＝該實驗基地兩年前種子種數(shù)×（1+培育的種子平均每年的增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，然后解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得，150（1+x）2＝216．解得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），所以，培育的種子平均每年的增長率為20%，故答案為：20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式6】．（2022秋?大余縣期末）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是中國經(jīng)濟社會發(fā)展方式一次大的轉(zhuǎn)變，目標(biāo)是按照產(chǎn)業(yè)興旺、生態(tài)宜居、鄉(xiāng)風(fēng)文明、治理有效、生活富裕的總要求，建立健全城鄉(xiāng)融合發(fā)展體制機制和政策體系，加快推進農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化．小明家在2019年脫貧的時候家庭年總收入為6.25萬元，通過兩年積極開展種植產(chǎn)業(yè)振興，2021年家庭年總收入為9萬元．試計算小明家2019﹣2021年的年家庭總收入平均增收率為多少？【分析】設(shè)小明家2019﹣2021年的年家庭總收入平均增收率為x，利用小明家2021年家庭年總收入＝小明家2019年家庭年總收入×（1+小明家2019﹣2021年的年家庭總收入平均增收率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小明家2019﹣2021年的年家庭總收入平均增收率為x，根據(jù)題意得：6.25（1+x）2＝9，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：小明家2019﹣2021年的年家庭總收入平均增收率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7】．（2022秋?蒙自市期末）2022年11月卡塔爾世界杯足球賽期間，在卡塔爾某商店銷售一批由中國制造的足球紀念衫，每件進價30元，規(guī)定銷售單價不低于30元，且不高于60元．當(dāng)銷售單價定為60元時，每天可售出80件．當(dāng)銷售單價每降低10元時，每天可多賣20件，現(xiàn)商店決定降價銷售，設(shè)每天銷售量為y件，銷售單價為x元．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)每件足球紀念衫銷售單價是多少元時，商店每天獲利2000元？【分析】（1）根據(jù)當(dāng)銷售單價定為60元時，每天可售出80件，當(dāng)銷售單價每降低10元，每天可多賣20當(dāng)件可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)規(guī)定銷售單價不低于30元，且且不高于60元，可得自變量的取值范圍；（2）把獲利2000代入關(guān)系式，再解一元二次方程并檢驗即可．【解答】解：（1）由題意得，30≤x≤60，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）（﹣2x+200）＝2000，解得x1＝50，x2＝80（舍去），答：當(dāng)每件足球紀念衫銷售單價是50元時，商店每天獲利2000元．【點評】此題考查了函數(shù)關(guān)系式，一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確的列出函數(shù)關(guān)系式和解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式8】．（2022秋?肇慶期末）2022年2月4日第24屆冬奧會在北京開幕，某禮品銷售商以每件8元的價格購進冬奧會紀念品，以每件10元的價格出售，每天可售出200件．銷售商想采用提高售價的辦法來增加利潤．經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)這種紀念品每件的售價每提高1元，每天的銷售量就會減少10件，銷售這種紀念品每天獲得利潤為1050元，求售價是多少元．【分析】設(shè)售價是x元，則每件的銷售利潤為（x﹣8）元，每天可售出（300﹣10x）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)售價是x元，則每件的銷售利潤為（x﹣8）元，每天可售出200﹣10（x﹣10）＝（300﹣10x）件，根據(jù)題意得：（x﹣8）（300﹣10x）＝1050，整理得：x2﹣38x+345＝0，解得：x1＝15，x2＝23．答：售價為15或23元時，每天獲得利潤為1050元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式9】．（2022秋?赫山區(qū)期末）某扶貧單位為了提高貧困戶的經(jīng)濟收入，購買了39m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻（墻長15m）圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場（如圖所示）．（1）若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為120m2，求雞場的長AB和寬BC；（2）該扶貧單位想要建一個130m2的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現(xiàn)嗎？請說明理由．【分析】（1）設(shè)BC＝xm，則可表示出長AB，由面積關(guān)系即可列出方程，解方程即可．（2）設(shè)BC＝xm，則可表示出長AB，由面積關(guān)系即可列出方程，根據(jù)方程是否有解或方程的解是否符合題意，即可作出判斷．【解答】解：（1）設(shè)BC＝xm，則AB＝（39﹣3x）m，由題意得：x（39﹣3x）＝120，整理得：x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，當(dāng)x＝5時，39﹣3x＝24＞15，不符合題意；當(dāng)x＝8時，39﹣3x＝15，符合題意；答：雞場的長AB和寬BC分別為15m與8m．（2）設(shè)BC＝xm，則AB＝（39﹣3x）m，由題意得：x（39﹣3x）＝130，整理得：3x2﹣39x+130＝0，Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，方程無實數(shù)解；所以想法不能實現(xiàn)．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式10】．（2022秋?石城縣期末）在學(xué)校勞動基地里有一塊長50米、寬30米的矩形試驗田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道，如圖．已知這塊矩形試驗田中種植的面積為1421平方米，小道的寬為多少米？【分析】設(shè)小道的寬為x米，則其他部分可合成長（50﹣x）米，寬（30﹣x）米的矩形，根據(jù)這塊矩形試驗田中種植的面積為1421平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合30﹣x＞0，即可得出小道的寬為1米．【解答】解：設(shè)小道的寬為x米，則其他部分可合成長（50﹣x）米，寬（30﹣x）米的矩形，依題意得：（50﹣x）（30﹣x）＝1421，整理得：x2﹣80x+79＝0，解得：x1＝1，x2＝79．又∵30﹣x＞0，∴x＜30，∴x＝1．答：小道的寬為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式11】．（2022秋?官渡區(qū)期末）2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動教育》成為一門獨立的課程，官渡區(qū)某學(xué)校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為22米），用長為34米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計了兩個寬1米的小門，供同學(xué)們進行勞動實踐，若設(shè)菜地的寬AB為x米．（1）BC＝米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若圍成的菜地面積為96平方米，求此時的寬AB．【分析】（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出長BC為（36﹣3x）米；（2）根據(jù)圍成的菜地面積為96平方米，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵籬笆的總長為34米，菜地的前端各設(shè)計了兩個寬1米的小門，且菜地的寬AB為x米，∴長BC為34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．故答案為：（36﹣3x）；（2）根據(jù)題意得：x（36﹣3x）＝96，整理得：x2﹣12x+32＝0，解得：x1＝4，x2＝8．當(dāng)x＝4時，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝8時，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合題意．答：當(dāng)圍成的菜地面積為96平方米時，寬AB為8米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出BC的長；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【變式12】．（2022秋?青云譜區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一動點P從點C出發(fā)沿著CB方向以2cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以4cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．（1）若△PCQ的面積是△ABC面積的，求t的值？（2）△PCQ的面積能否與四邊形ABPQ面積相等？若能，求出t的值；若不能，說明理由．【分析】（1）當(dāng)運動時間為ts時，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)△PCQ的面積是△ABC面積的，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ面積相等，根據(jù)△PCQ的面積與四邊形ABPQ面積相等（即△PCQ的面積是△ABC面積的），即可得出關(guān)于t的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣16＜0，即可得出該方程沒有實數(shù)根．進而可得出△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ的面積相等．【解答】解：（1）當(dāng)運動時間為ts時，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)題意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+4＝0，解得：t1＝t2＝2．答：t的值為2．（2）△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ面積相等，理由如下：當(dāng)運動時間為ts時，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)題意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+8＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴該方程沒有實數(shù)根．∴△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ的面積相等．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根”．考點十三．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．【例13】．（2022秋?開州區(qū)期末）定義；如果代數(shù)式（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0，則稱兩個代數(shù)式為“相反式”，有下列四個結(jié)論：（1）代數(shù)式：x2+3x的“相反式”是x2﹣3x；（2）若﹣2x2﹣3x﹣18m與2x2+nx﹣2n互為“相反式”，則（mn）2023的值為﹣1；（3）當(dāng)x＝2時，代數(shù)式（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）的值為10，則它的“相反式”的值為﹣10；（4）無論x取何值，代數(shù)式2x2﹣4x+c的值總大于其“相反式”的值，則c的取值范圍為c＞2．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)相反式的含義直接可判斷（1），再建立方程組，再解方程組可判斷（2），先把x＝2代入代數(shù)式，再把x＝2代入其相反式即可判斷（3），由（4）的含義建立不等式，再利用不等式的性質(zhì)可判斷（4），從而可得答案．【解答】解：（1）x2+3x的“相反式”是﹣x2﹣3x，（1）錯誤；（2）由題意得，解得，∴（mn）2023＝﹣1，（2）正確；（3）當(dāng)時x＝2，代數(shù)式∵a1+a2＝0，b1+b2＝0，c1+c2＝0∴，（3）正確；（4）由題意得，2x2﹣4x+c＞﹣2x2+4x﹣c∴4x2﹣8x+2c＞0即4（x﹣1）2+2c﹣4＞0∵4（x﹣1）2≥0，∴2c﹣4＞0解得c＞2，（4）正確；故正確結(jié)論有3個．故選：C．【點評】本題考查的是相反式的含義，二元一次方程組的解法，求解代數(shù)式的值，非負數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，因式分解的應(yīng)用，理解題意，選擇合適的方法是解本題的關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)學(xué)建模--構(gòu)建一元二次方程解決實際問題1.（2022秋?陵水縣期末）某商場今年1月份的營業(yè)額為1250萬元，2月份的營業(yè)額比1月份增加20%，4月份的營業(yè)額達到1815萬元．求：（1）該商場2月份的營業(yè)額；（2）該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率．【分析】（1）利用該商場2月份的營業(yè)額＝該商場1月份的營業(yè)額×（1+20%），即可求出該商場2月份的營業(yè)額；（2）設(shè)該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為x，利用該商場4月份的營業(yè)額＝該商場2月份的營業(yè)額×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）1250×（1+20%）＝1250×1.2＝1500（萬元）．答：該商場2月份的營業(yè)額為1500萬元．（2）設(shè)該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為x，依題意得：1500（1+x）2＝1815，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為10%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及全等圖形，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?西安期末）某商場積壓了一批商品，現(xiàn)欲盡快清倉，決定降價促銷．據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品單價每下降1元，則可多售出20件，設(shè)每件商品降價x元．（1）每件商品降價x元后，用含x的代數(shù)式表示可售出商品的件數(shù)；（2）若要使銷售該商品的總利潤達到28000元，求x的值．【分析】（1）降價1元，可多售出20件，降價x元，可多售出20x件，盈利的錢數(shù)＝原來的盈利﹣降低的錢數(shù)；（2）根據(jù)日盈利＝每件商品盈利的錢數(shù)×（原來每天銷售的商品件數(shù)500+20×降價的錢數(shù)），列出方程求解即可．【解答】解：（1）每件商品降價x元后，可售出商品件（500+20x）件，其中x≥1；（2）根據(jù)題意得：（50﹣x）（500+20x）＝28000，解得x1＝10，x2＝15，∵盡快清倉，∴x1＝10舍去，答：x的值為15．【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．?dāng)?shù)學(xué)運算3．（2022秋?嘉魚縣期末）閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以把多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x﹣2取任意一對互為相反數(shù)的值時，多項式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，當(dāng)x﹣2＝±1，即x＝3或1時，x2﹣4x+3的值均為0；當(dāng)x﹣2＝±2，即x＝4或0時，x2﹣4x+3的值均為3．我們給出如下定義：對于關(guān)于x的多項式，若當(dāng)x+m取任意一對互為相反數(shù)的值時，該多項式的值相等，則稱該多項式關(guān)于x＝﹣m對稱，稱x＝﹣m是它的對稱軸．例如，x2﹣4x+3關(guān)于x＝2對稱，x＝2是它的對稱軸．請根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）多項式x2+2x+1的對稱軸是；（2）將多項式x2﹣6x+5變形為（x+m）2+n的形式，并求出它的對稱軸；（3）若關(guān)于x的多項式2x2+4ax﹣1關(guān)于x＝﹣2對稱，求a的值．【分析】（1）配方，整理，根據(jù)定義回答即可；（2）加上9，同時再減去9，配方，整理，根據(jù)定義回答即可；（3）將2x2+4ax﹣1配成2（x+a）2﹣2a2﹣1，根據(jù)對稱軸的定義，對稱軸為x＝﹣a，根據(jù)對稱軸的一致性，求a即可．【解答】解：（1）x2+2x+1＝（x+1）2，∴多項式x2+2x+1的對稱軸是直線x＝﹣1，故答案為：x＝﹣1；（2）x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，∴對稱軸是直線x＝3；（3）2x2+4ax﹣1＝＝＝＝2（x+a）2﹣2a2﹣1當(dāng)x+a取任意一對相反數(shù)時，多項式2（x+a）2﹣2a2﹣1的值相等，∴多項式對稱軸是直線x＝﹣a，即a＝2．【點評】本題考查了配方法，熟練利用完全平方公式進行配方是解題的關(guān)鍵．分類討論思想4．（2022秋?平頂山期末）如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，AB＝16cm，BC＝8cm，動點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，到達點B時停止運動；動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度向點D運動．設(shè)運動的時間為ts．（1）當(dāng)t＝s時，以A、P、Q、E為頂點的四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)t為何值時，點P和點Q之間的距離為10cm．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出當(dāng)AP＝EQ時，四邊形APQE為平行四邊形求出即可；（2）設(shè)當(dāng)t秒時PQ＝10cm，利用勾股定理得出即可．【解答】解：（1）如圖，當(dāng)四邊形APQE為平行四邊形時，則AP＝EQ，∵AP＝3tcm，EQ＝（8﹣2t）cm，∴3t＝8﹣2t，解得，∴當(dāng)s時，以A、P、Q、E為頂點的四邊形APQE是平行四邊形；故答案為：；（2）設(shè)運動時間為ts，由題意得AP＝3tcm，CQ＝2tcm．①如圖1，當(dāng)點P在點Q的上方時，過點P作PM⊥CD于點M．在Rt△PMQ中，PM＝8cm，MQ＝16﹣3t﹣2t＝（16﹣5t）cm，PQ＝10cm，由勾股定理得PM2+MQ2＝PQ2，即82+（16﹣5t）2＝102，解得t＝2．②如圖2，當(dāng)點P在點Q的下方時，過點P作PN⊥CD于點N．在Rt△PNQ中，PN＝8cm，NQ＝2t﹣（16﹣3t）＝（5t﹣16）cm，PQ＝10cm．由勾股定理得PN2+NQ2＝PQ2，即82+（5t﹣16）2＝102，解得．由得符合題意．綜上得t＝2或．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理和一元二次方程的應(yīng)用等知識，熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【中考熱點聚焦】熱點1、一元二次方程的解法1．（2023?赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【分析】先把﹣1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023?臺灣）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（）A． B． C． D．【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，這里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，∴a的值為．故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟練運用公式法解答方程是解此題的關(guān)鍵．4．（2022?東營）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，則x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故選：D．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．5．（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【分析】方程開方轉(zhuǎn)化為一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，開方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．6．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．【分析】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為（x﹣1）（x﹣2），再利用積為0的特點求解即可．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．7．（2023?廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，x﹣1＝0，x﹣5＝0，x1＝1，x2＝5．【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．熱點2、一元二次方程根的判別式8．（2023?河南）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．9．（2023?錦州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≤且k≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得k≠0，根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得出Δ≥0，求出k的取值范圍即可得出答案．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有兩個實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤，∴k的取值范圍是k≤且k≠0，故選：D．【點評】此題考查了根的判別式，掌握一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列得不等式并計算即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數(shù)解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故選：D．【點評】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式，特別注意二次項系數(shù)不能為0．熱點3、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系11．（2023?瀘州）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個實數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A． B． C． D．【分析】先設(shè)出菱形兩條對角線的長，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長．【解答】解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，∵菱形的面積＝兩條對角線積的一半，∴ab＝11即ab＝22．∴由題意，得．∴菱形的邊長＝＝＝＝＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)，掌握菱形對角線與菱形的面積、邊長間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及等式的變形是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023?天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，應(yīng)掌握：設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，則，．熱點4、一元二次方程的應(yīng)用13．（2023?黑龍江）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（）A．5m B．70m C．5m或70m D．10m【分析】設(shè)小路的寬是xm，則余下的部分可合成長為（1