2025屆河北省保定市第七中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2025屆河北省保定市第七中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，且，則的值是（）A． B． C． D．2．在中，，，為的外接圓的圓心，則（）A． B．C． D．3．直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．64．設(shè)α,β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知則的值為（）A． B． C． D．6．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，己知A=60°，，則B=（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不對7．已知函數(shù)，若對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．設(shè)有直線m、n和平面、.下列四個命題中，正確的是()A．若m∥,n∥,則m∥nB．若m,n,m∥,n∥,則∥C．若，m,則mD．若，m，m,則m∥9．已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)=-f(-x)，且當(dāng)x∈(-∞，0]時，成立，若則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a10．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.12．已知球?yàn)檎拿骟w的外接球，，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的取值范圍為____________________．13．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________14．如圖中，，，，M為AB邊上的動點(diǎn)，，D為垂足，則的最小值為______；15．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知,,，則______．16．如圖所示，已知點(diǎn)，單位圓上半部分上的點(diǎn)滿足，則向量的坐標(biāo)為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．?dāng)?shù)列an，n∈N*各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S（1）求證數(shù)列Sn2為等差數(shù)列，并求數(shù)列（2）設(shè)bn=24Sn4-1，求數(shù)列bn的前n18．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的最大值、最小值.19．已知偶函數(shù).（1）若方程有兩不等實(shí)根，求的范圍；（2）若在上的最小值為2，求的值.20．已知的三個頂點(diǎn)為.（1）求過點(diǎn)且平行于的直線方程；（2）求過點(diǎn)且與、距離相等的直線方程.21．如圖，已知矩形中，，，M是以為直徑的半圓周上的任意一點(diǎn)（與C，D均不重合），且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時，求與所成的角

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

對兩邊平方，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

利用正弦定理可求出的外接圓半徑.【詳解】由正弦定理可得，因此，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求三角形外接圓的半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

直接利用斜率相等列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析：當(dāng)滿足l?α,l⊥β時可得到α⊥β成立，反之，當(dāng)l?α,α⊥β時，l與β可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要條件考點(diǎn)：充分條件與必要條件點(diǎn)評：命題：若p則q是真命題，則p是q的充分條件，q是p的必要條件5、B【解析】

直接利用兩角和的正切函數(shù)化簡求解即可．【詳解】tan（α+β），tan（β），則tan（α）＝tan（（α+β）﹣（β））．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6、A【解析】

利用正弦定理求出的值，再結(jié)合，得出，從而可得出的值。【詳解】由正弦定理得，，，則，所以，，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所適用的基本情形，同時在求得角時，利用大邊對大角定理或兩角之和不超過得出合適的答案，考查計(jì)算能力，屬于中等題。7、A【解析】

首先設(shè)，將題意轉(zhuǎn)化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【詳解】，恒成立，等價于，恒成立.令，對稱軸為.即等價于，即可.當(dāng)時，得到，解得：.當(dāng)時，得到，解得：.當(dāng)時，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了二次函數(shù)的最值問題，分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8、D【解析】

當(dāng)兩條直線同時與一個平面平行時，兩條直線之間的關(guān)系不能確定，故A不正確，B選項(xiàng)再加上兩條直線相交的條件，可以判斷面與面平行，故B不正確，C選項(xiàng)再加上m垂直于兩個平面的交線，得到線面垂直，故C不正確，D選項(xiàng)中由α⊥β，m⊥β，m，可得m∥α，故是正確命題，故選D9、B【解析】

根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)的奇偶性，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合已知條件，判斷出的單調(diào)性，結(jié)合的奇偶性比較出的大小關(guān)系.【詳解】由于，所以為奇函數(shù).構(gòu)造函數(shù)，依題意，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上遞減.由于，所以為偶函數(shù)，故在上遞增..，.由于，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查比較大小的方法，屬于中檔題.10、B【解析】

，，分別為，，的根，作出，，的圖象與直線，觀察交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系．【詳解】由題意可得，，分別為，，的根，作出，，,的圖象,與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，由圖象可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

如圖所示,取PB的中點(diǎn)O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半徑R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12、【解析】

在平面中，過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦長何時最長，何時最短，類比在空間中，過球內(nèi)一點(diǎn)的球的大圓面積最大，與此大圓垂直的截面小圓面積最小.利用正四面體的性質(zhì)及球的性質(zhì)求正四面體外接球的半徑、小圓半徑，確定答案.【詳解】因?yàn)檎拿骟w棱長為AB=3，所以正四面體外接球半徑R=.由球的性質(zhì)，當(dāng)過E及球心O時的截面為球的大圓，面積最大，最大面積為；當(dāng)過E的截面與EO垂直時面積最小，取△BCD的中心，因?yàn)闉檎拿骟w，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以過E且與EO垂直的截面圓的半徑r為，截面面積為.所以所求截面面積的范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力，邏輯推理能力，空間組合體的關(guān)系，正四面體、球的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于難題.13、【解析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對遞推式化簡變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．14、【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出的值，然后利用換元法求解出對應(yīng)的最小值即可.【詳解】如圖所示，設(shè)，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設(shè)，，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬能公式”：，.15、30°【解析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角對大邊排除一個答案.【詳解】即或，故，故故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，沒有利用大角對大邊排除一個答案是容易發(fā)生的錯誤.16、【解析】

設(shè)點(diǎn)，由和列方程組解出、的值，可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由，得，解得，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時要將一些條件轉(zhuǎn)化為與向量坐標(biāo)相關(guān)的等式，利用方程思想進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，an【解析】

（1）由題得Sn2-Sn-12=1(n≥2)，即得數(shù)列Sn2為首項(xiàng)和公差都是1【詳解】（1）證明：∵2anSn-an整理得，Sn又S1∴數(shù)列Sn2為首項(xiàng)和公差都是∴S又Sn>0∴n≥2時，an=S∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）解：∵bn∴Tn=1-1∵n∈N*依題意有23>1故所求最大正整數(shù)m的值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查項(xiàng)和公式求通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1），（2）【解析】

（1）首先利用三角函數(shù)恒等變換將化簡為，再求其單調(diào)增區(qū)間即可.（2）根據(jù)，求出，再求的最值即可.【詳解】（1），.的單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?所以.當(dāng)時，，當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同時考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，熟練掌握三角函數(shù)的公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19、（1）；（2）或.【解析】

（1）由偶函數(shù)的定義，利用，求得的值，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解實(shí)數(shù)的范圍；（2）利用換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的閉區(qū)間上的求法，分類討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，即，所以，故，所以，即方程的解為一切實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)?，且，所以原方程轉(zhuǎn)化為，令，，所以所以在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，當(dāng)時，使成立的有兩個，又由知，與一一對應(yīng)，故當(dāng)時，有兩不等實(shí)根；（2）因?yàn)椋?，所以，令，則，令，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即在上是增函?shù)，所以，設(shè)，則.（i）當(dāng)時，的最小值為，所以，解得，或4（舍去）；（ii）當(dāng)時，的最小值為，不合題意；（iii）當(dāng)時，的最小值為，所以，解得，或（舍去）.綜上知，或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及換元法和分類討論思想的應(yīng)用，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.20、(1)；(2).【解析】

（1）先由兩點(diǎn)寫出直線BC的方程，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出目標(biāo)直線的方程；（2）過點(diǎn)B且與直線AC平行的直線即為所求，注意垂直平分線不過點(diǎn)B，故舍去.【詳解】（1）由、兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得，因?yàn)榇笾本€與直線BC平行，故其斜率為由點(diǎn)斜式方程可得目標(biāo)直線方程為整理得.（2）由、點(diǎn)的坐標(biāo)可知，其中點(diǎn)坐標(biāo)為又直線AC沒有斜率，故其垂直平分線為，此直線不經(jīng)過點(diǎn)B，故垂直平分線舍去；則滿足題意的直線為與直線AC平行的直線，即.綜上所述，滿足題意的直線方程為.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，屬基礎(chǔ)題.21、（1）證明