廣西桂林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（教師版）

桂林市2022～2023學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上答題（在本試卷上答題無(wú)效）.第Ⅰ卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選：B.2.下列各角中，與角的終邊相同的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫(xiě)出與與角的終邊相同的角的集合，根據(jù)集合即可求出結(jié)果.【詳解】與角的終邊相同的角的集合為，令，得到，故選項(xiàng)A正確，易知，不存在，使，故選項(xiàng)BCD均不正確.故選：A.3.下列幾何體中為臺(tái)體的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接判斷出各選項(xiàng)中幾何體的形狀，由此確定出臺(tái)體.【詳解】A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺(tái)，D：球，所以屬于臺(tái)體的只有棱臺(tái)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的辨識(shí)，難度較易.4.已知向量，，且，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)形式可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：C.5.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由的性質(zhì)知，為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于常考題型.7.已知是三條不同直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】A中，若，，由平行與同一平面的兩平面平行，可得，所以A正確；B中，若，，則與可能是異面直線(xiàn)，所以B錯(cuò)誤；C中，若，，則與可能平行，所以C錯(cuò)誤；D中，若，，則與可能相交，所以D錯(cuò)誤.故選：A.8.兩個(gè)粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為，，此時(shí)在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以在上的投影向量?故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量 B.單位向量的模為1C.零向量的模為0 D.共線(xiàn)向量是在同一條直線(xiàn)上的向量【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)相等向量、單位向量、零向量、共線(xiàn)向量的概念，對(duì)題目中的命題進(jìn)行分析、判斷即可.【詳解】對(duì)于A，長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，單位向量的模為，故B正確；對(duì)于C，零向量的模為，故C正確；對(duì)于D，方向相同或相反的向量叫共線(xiàn)向量，它們不一定在同一條直線(xiàn)上，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.是純虛數(shù) B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B，先計(jì)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)乘法法則計(jì)算后即可判斷.【詳解】對(duì)于A，是純虛數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.【答案】AB【解析】【分析】由最值求，由周期求，再由，可求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由題意可得，，故，又因?yàn)?，故，所以，所?對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足該函數(shù)取得最值的條件，A正確；對(duì)于B，時(shí)，，則是該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在不是單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AB12.已知正方體，則（）A.直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為 B.直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為C.直線(xiàn)與平面所成的角為 D.直線(xiàn)與平面所成的角為【答案】BCD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，由異面直線(xiàn)所成角可判斷A，B；直線(xiàn)與平面所成角可判斷C，D.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以直線(xiàn)與所成的角即為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線(xiàn)與所成的角為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，可得，直線(xiàn)與所成的角即為與所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，所以為等邊三角形，所以直線(xiàn)與所成的角為，故B正確；因?yàn)槠矫?，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，易得為等腰直角三角形，所以，故C正確.連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線(xiàn)與平面所成的角為，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：sin150°＝_____．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出答案.【詳解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.若向量和向量垂直，則__________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直數(shù)量積為列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得.故答案為：.15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問(wèn)題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為10米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為_(kāi)_________平方米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得扇形所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因徑長(zhǎng)為米，下周長(zhǎng)為米，即且，所以扇形所在圓的半徑為米，所以該扇形田的面積為平方米.故答案為：.16.已知的外接圓圓心為O，，若，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，由，可得，，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可得，，求得，從而可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，取中點(diǎn)，連接,因?yàn)榈耐饨訄A圓心為O，所以，則，.因?yàn)?，所以，，即，，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是能夠由，推出，，從而利用數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步求得，進(jìn)而利用基本不等式即可求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知，為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系求出，再利用正弦倍角公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用正弦的和角公式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑸榈诙笙藿?，所?故.【小問(wèn)2詳解】由（1），，所以.18.已知向量，滿(mǎn)足，，.（1）求；（2）求與的夾角；（3）求.【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積夾角公式，得到，從而可求出結(jié)果；（3）利用條件求出，即可求出結(jié)果.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，又，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，又，所以，故與的夾角.【小問(wèn)3詳解】，所以.19.如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:（1）平面AEC;（2）平面AEC⊥平面PBD．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)設(shè),連接,根據(jù)中位線(xiàn)可得,再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè),連接,如圖所示:因?yàn)镺,E分別為,的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面．【小問(wèn)2詳解】連接,如圖所示:因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以,因平面,平面,且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面．20.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，的面積，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件求出，再利用余弦定理求出，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得到，又因?yàn)?，所以，故，得到，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋拿娣e，所以，得到，在中，由余弦定理得，所以，故的周長(zhǎng)為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的取值集合；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2）函數(shù)的最大值為2，取得最大值時(shí)自變量的取值集合為.（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式求出函數(shù)的解析式即可求解；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】,所以函數(shù)的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，即，時(shí)函數(shù)取得最大值為2，所以函數(shù)的最大值為2，取得最大值時(shí)自變量的取值集合為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車(chē)道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車(chē)道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車(chē)，在其水平截面圖為矩形，它的寬為2.4米，車(chē)廂的左側(cè)直線(xiàn)與中間車(chē)道的分界線(xiàn)相交于、，記．（1）若大卡車(chē)在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好，且、也都在中間車(chē)道的直線(xiàn)上，直線(xiàn)也恰好過(guò)路口邊界，求此大卡車(chē)的車(chē)長(zhǎng)．（2）若大卡車(chē)在里側(cè)車(chē)道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意，此車(chē)都不越中間車(chē)道線(xiàn)，求此大卡車(chē)的車(chē)長(zhǎng)的最大值．（3）若某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了這兩個(gè)車(chē)道在這一路段的平均道路通行密度（輛/km），統(tǒng)計(jì)如下：時(shí)間7:007:157:307:458:00里側(cè)車(chē)道通行密度110120110100110外側(cè)車(chē)道通行密度110117.5125117.5110現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①②，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩車(chē)道選擇最合適的一種函數(shù)來(lái)描述早七點(diǎn)以后的平均道路通行密度（單位：輛/km）與時(shí)間（單位：分）的關(guān)系（其中為7:00后所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，例如7:30即分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式．【答案】（1）（2）（3）；【解析】【分析】（1）通過(guò)解直角三角形，分別求出，即可求得本題答案；（2）用表示，利用換元法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值，即可得到大卡車(chē)車(chē)長(zhǎng)的最大值；（3）先判斷里外車(chē)道對(duì)應(yīng)的模型，分別求出相應(yīng)的解析式即可.【小問(wèn)1詳解】作，垂足為，作，垂足為，因?yàn)?，所以，在中，，在中，?/p>