福建省師范大學附屬中學2025屆數(shù)學高一下期末經典試題含解析

福建省師范大學附屬中學2025屆數(shù)學高一下期末經典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數(shù)據(jù)，2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)相對于原數(shù)據(jù)()A．一樣穩(wěn)定 B．變得比較穩(wěn)定C．變得比較不穩(wěn)定 D．穩(wěn)定性不可以判斷2．在△ABC中，已知tan＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．函數(shù)，若方程恰有三個不同的解，記為，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項和滿足.若對任意正整數(shù)都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前n項和為，則A．140 B．70 C．154 D．777．如果數(shù)列的前項和為，那么數(shù)列的通項公式是（）A． B．C． D．8．已知、的取值如下表所示：如果與呈線性相關，且線性回歸方程為，則（）A． B． C． D．9．在中，若，則（）A． B． C． D．10．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．不能確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若圓弧長度等于圓內接正六邊形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為________.12．據(jù)兩個變量、之間的觀測數(shù)據(jù)畫成散點圖如圖，這兩個變量是否具有線性相關關系_____（答是與否）.13．數(shù)列的前項和,則的通項公式_____.14．已知函數(shù)，的最小正周期是___________.15．下列命題中：①若，則的最大值為；②當時，；③的最小值為；④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)16．已知,且關于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知關于的一元二次函數(shù)，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的二次項系數(shù)，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的一次項系數(shù).（1）若，，求函數(shù)有零點的概率；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.18．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：組號分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．19．設為正項數(shù)列的前項和，且滿足.（1）求的通項公式；（2）令，，若恒成立，求的取值范圍.20．為推動文明城市創(chuàng)建，提升城市整體形象，2018年12月30日鹽城市人民政府出臺了《鹽城市停車管理辦法》，2019年3月1日起施行.這項工作有利于市民養(yǎng)成良好的停車習慣，幫助他們樹立綠色出行的意識，受到了廣大市民的一致好評.現(xiàn)從某單位隨機抽取80名職工，統(tǒng)計了他們一周內路邊停車的時間t（單位：小時），整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布直方圖如下：（1）從該單位隨機選取一名職工，試估計這名職工一周內路邊停車的時間少于8小時的概率；（2）求頻率分布直方圖中a，b的值.21．已知函數(shù)，且.（1）求常數(shù)及的最大值；（2）當時，求的單調遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)均值定義列式計算可得的和，從而得它們的均值，再由方差公式可得，從而得方差．然后判斷．【詳解】由題可得：平均值為2，由，，所以變得不穩(wěn)定.故選：C.【點睛】本題考查均值與方差的計算公式，考查方差的含義．屬于基礎題．2、C【解析】

解：因為選C3、D【解析】

由方程恰有三個不同的解，作出的圖象，確定，的取值范圍，得到的對稱性，利用數(shù)形結合進行求解即可．【詳解】設

作出函數(shù)的圖象如圖：由

則當

時

,,

即函數(shù)的一條對稱軸為

，要使方程恰有三個不同的解，則

,

此時

,

關于

對稱，則

當

，即

，則

則

的取值范圍是，選D.【點睛】本題主要考查了方程與函數(shù)，數(shù)學結合是解決本題的關鍵，數(shù)學結合也是數(shù)學中比較重要的一種思想方法．4、C【解析】

先利用求出數(shù)列的通項公式，于是可求出，再利用參變量分離法得到，利用數(shù)列的單調性求出數(shù)列的最小項的值，可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】當時，，即，得；當時，由，得，兩式相減得，得，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，.，由，得，所以，數(shù)列單調遞增，其最小項為，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查利用數(shù)列前項和求數(shù)列的通項，其關系式為，其次考查了數(shù)列不等式與參數(shù)的取值范圍問題，一般利用參變量分離法轉化為數(shù)列的最值問題來求解，考查化歸與轉化問題，屬于中等題．5、A【解析】

由原式，明顯考查斜率的幾何意義，故上下同除以得，再畫圖分析求得的取值范圍，再用基本不等式求解即可．【詳解】所求式，上下同除以得，又的幾何意義為圓上任意一點到定點的斜率，由圖可得，當過的直線與圓相切時取得臨界條件．當過坐標為時相切為一個臨界條件，另一臨界條件設，化成一般式得，因為圓與直線相切，故圓心到直線的距離，所以，，解得，故．設，則，又，故，當時取等號．故，故選A．【點睛】本題主要考查斜率的幾何意義，基本不等式的用法等．注意求斜率時需要設點斜式，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求得斜率，在用基本不等式時要注意取等號的條件．6、D【解析】

利用等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質，即可求出結果.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，.故選D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和的求法和等差數(shù)列的性質，屬于基礎題.7、D【解析】

利用計算即可.【詳解】當時，當時，即，故數(shù)列為等比數(shù)列則因為，所以故選：D【點睛】本題主要考查了已知來求，關鍵是利用來求解，屬于基礎題.8、A【解析】

計算出、，再將點的坐標代入回歸直線方程，可求出的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本的中心點，則有，解得，故選：A.【點睛】本題考查回歸直線方程中參數(shù)的計算，解題時要充分利用回歸直線過樣本的中心點這一結論，考查計算能力，屬于基礎題.9、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．10、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質與冪函數(shù)性質可得．【詳解】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則它在上是減函數(shù)，所以．故選：B．【點睛】本題考查冪函數(shù)的性質，考查偶函數(shù)性質，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

根據(jù)圓的內接正六邊形的邊長得出弧長，利用弧長公式即可得到圓心角.【詳解】因為圓的內接正六邊形的邊長等于圓的半徑，所以圓弧長所對圓心角的弧度數(shù)為1.故答案為：1【點睛】此題考查弧長公式，根據(jù)弧長求圓心角的大小，關鍵在于熟記圓的內接正六邊形的邊長.12、否【解析】

根據(jù)散點圖的分布來判斷出兩個變量是否具有線性相關關系.【詳解】由散點圖可知，散點圖分布無任何規(guī)律，不在一條直線附近，所以，這兩個變量沒有線性相關關系，故答案為否.【點睛】本題考查利用散點圖判斷兩變量之間的線性相關關系，考查對散點圖概念的理解，屬于基礎題.13、【解析】

根據(jù)和之間的關系,應用公式得出結果【詳解】當時,；當時,；∴故答案為【點睛】本題考查了和之間的關系式,注意當和時要分開討論,題中的數(shù)列非等差數(shù)列.本題屬于基礎題14、【解析】

先化簡函數(shù)f(x)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為【點睛】本題主要考查和角的正切和正切函數(shù)的周期的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、①②【解析】

根據(jù)均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【詳解】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立均為負數(shù)時也成立.故答案為①②【點睛】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關鍵.16、【解析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因為關于的方程有實數(shù)根，所以，即，設與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是【點睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應用等，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）依次列出所有可能的情況，求出滿足的情況總數(shù)，即可得到概率；（2）列出不等關系，表示出平面區(qū)域，求出滿足表示的區(qū)域的面積，即可得到概率.【詳解】（1）由題可得，，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的二次項系數(shù)，從集合中隨機取一個數(shù)作為此函數(shù)的一次項系數(shù)，記為，這樣的有序數(shù)對共有，9種情況；函數(shù)有零點，即滿足，滿足條件的有：，6種情況，所以其概率為；（2），滿足條件的有序數(shù)對，，即平面直角坐標系內區(qū)域：矩形及內部區(qū)域，面積為4，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即滿足，，，即，平面直角坐標系內區(qū)域：直角梯形及內部區(qū)域，面積為3，所以其概率為.【點睛】此題考查古典概型與幾何概型，關鍵在于準確得出二次函數(shù)有零點和在區(qū)間上是增函數(shù)，分別所對應的基本事件個數(shù)以及對應區(qū)域的面積.18、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學生數(shù)，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來自第四組的事件個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應分別抽取3人、2人、1人設第3組的3位同學為A1、A2、A3，第4組的2位同學為B1、B2，第5組的1位同學為C1，則從6位同學中抽2位同學有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學至少有1位同學入選的概率為＝點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.19、（1）（2）【解析】

（1）代入求得，根據(jù)與的關系可求得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得結果；驗證后可得最終結果；（2）由（1）可得，采用裂項相消的方法求得，可知，從而得到的范圍.【詳解】（1）由題知：，……①令得：，解得：當時，……②①-②得：∴，即是以為首項，為公差的等差數(shù)列經驗證滿足（2）由（1）知：即【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、裂項相消法求和，關鍵是能夠利用與的關系證得數(shù)列為等差數(shù)列，從而求得通項公式，屬于常規(guī)題型.20、（1）；（2），.【解析】

（1）由頻率分布表即可得解；（2）由頻率分布直方圖中小矩形的高為頻率與組距的比值，觀察頻率分布表的數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】解：（1）記“從該單位隨機選取一名職工，這名職工該周路邊停車的時間少于8小時”為事件A，則；（2）由頻率分布表可得