高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專(zhuān)題18等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質(zhì)學(xué)生版新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

專(zhuān)題18等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質(zhì)【題型一】等比數(shù)列前n項(xiàng)積【典例分析】已知等比數(shù)列滿(mǎn)意，記，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【提分秘籍】基本規(guī)律可以類(lèi)比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)積：1.n=1，得a12.n時(shí)，所以【變式訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和之積為，設(shè)等差數(shù)列的公差為d、等比數(shù)列的公比為q，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2..已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．記，下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公比為 B．C．存在最大值，但無(wú)最小值 D．【題型二】與通項(xiàng)和Sn有關(guān)的正負(fù)比較【典例分析】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a1+a2＞0，則a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，則a1+a2＞0C．若a1＞0，則S2021＞0 D．若a1＞0，則S2020＞0【變式訓(xùn)練】1.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則（，2，3．…）B．若，則（，2，3．…）C．若，則（，2，3，…）D．若，則（，2，3，…）2.等比數(shù)列各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，公比為，給出以下三個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，且，則；③若，則．其中全部正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列肯定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【題型三】等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)【典例分析】設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【提分秘籍】基本規(guī)律比數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：(1)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an＝a1qn-1，通項(xiàng)an為指數(shù)函數(shù)：即an＝a1qx-1；(2)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn＝，Sn為型線(xiàn)性指數(shù)函數(shù)【變式訓(xùn)練】1.設(shè)是等比數(shù)列，則“對(duì)于隨意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.．在等比數(shù)列中，已知，，則數(shù)列為（

）．A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無(wú)法確定單調(diào)性3.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【題型四】等比數(shù)列與范圍【典例分析】已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為，則可能的一個(gè)值是（

）A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.涉及到首項(xiàng)和公比的不等式（組）關(guān)系。2.一般狀況下，不等式組可以參考“線(xiàn)性規(guī)劃”學(xué)問(wèn)【變式訓(xùn)練】1.為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則公比的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，則：“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)積為32，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型五】等比數(shù)列最值【典例分析】已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．【變式訓(xùn)練】1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則取最大值時(shí)，n的值為（

）A．8 B．8或9 C．9 D．172.等比數(shù)列中，若，則（

）A．與都有最小值B．與都有最小值C．當(dāng)時(shí)有最小值，有最大值D．當(dāng)時(shí)與都有最大值3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)意，則的最小值為（

）A．

B．3

C．4 D．12【題型六】恒成立求參【典例分析】已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B．2 C．3 D．【提分秘籍】基本規(guī)律數(shù)列恒成立，可以參考函數(shù)恒成立形式：n為自然數(shù)(1)a≥f(n)恒成立?a≥f(n)max；(2)a≤f(n)恒成立?a≤f(n)min.【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，將數(shù)列的前4項(xiàng)去掉其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)的依次恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)隨意的，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知數(shù)列滿(mǎn)意，且，，其前n項(xiàng)和為，若對(duì)隨意的正整數(shù)n，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，若對(duì)于隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型七】等比數(shù)列復(fù)合型：“下標(biāo)數(shù)列”【典例分析】已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，n的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則A． B． C． D．2.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)，公比，則數(shù)列的前8項(xiàng)的和為（

）A． B．C． D．3.數(shù)列滿(mǎn)意，，，若，則k=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型八】遞推公式構(gòu)造等比型【典例分析】若數(shù)列和滿(mǎn)意，，，，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列滿(mǎn)意，且，，則（

）A． B． C． D．2.已知數(shù)列滿(mǎn)意，，則（

）A． B． C． D．3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【題型九】遞推：二階等比數(shù)列【典例分析】數(shù)列的首項(xiàng)，且，令，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【提分秘籍】基本規(guī)律形如為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特別狀況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，如變式1【變式訓(xùn)練】1..已知數(shù)列中滿(mǎn)意，，若前n項(xiàng)之和為，則滿(mǎn)意不等式的最小整數(shù)n是（

）A．2008 B．2014 C．2021 D．20222.通過(guò)以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類(lèi)似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．1083..已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿(mǎn)意，其前項(xiàng)和為，則滿(mǎn)意不等式的的最小正整數(shù)值為（

）A． B．10 C． D．【題型十】等比數(shù)列文化應(yīng)用題【典例分析】2019年11月11日是石室中學(xué)周年校慶日，學(xué)校數(shù)學(xué)愛(ài)好者社團(tuán)組織“解題迎校慶，我愛(ài)”的活動(dòng).其中一題如下：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此類(lèi)推.若該數(shù)列前項(xiàng)和為，則求滿(mǎn)意，且是的倍數(shù)條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)為A．10 B．12 C．21 D．60【變式訓(xùn)練】1.習(xí)近平總書(shū)記在黨的二十大報(bào)告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教化，加快建設(shè)高質(zhì)量教化體系，發(fā)展素養(yǎng)教化，促進(jìn)教化公允，加快義務(wù)教化優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范高校學(xué)生會(huì)為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原安排第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時(shí)確定變更派遣安排，詳細(xì)規(guī)則為：把原安排擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的隨意相鄰兩項(xiàng)與（，2，）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3902.集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類(lèi)活動(dòng)的最美表現(xiàn)之一”.取一條長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作始終接著下去，直至無(wú)窮.由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線(xiàn)段的數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限狀況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱(chēng)為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和不小于，則的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．9 B．8 C．7 D．63.為響應(yīng)國(guó)家加快芯片生產(chǎn)制造進(jìn)程的號(hào)召，某芯片生產(chǎn)公司于2020年初購(gòu)買(mǎi)了一套芯片制造設(shè)備，該設(shè)備第1年的修理費(fèi)用為20萬(wàn)元，從第2年到第6年每年修理費(fèi)用增加4萬(wàn)元，從第7年起先每年修理費(fèi)用較上一年上漲25%．設(shè)為第n年的修理費(fèi)用，為前n年的平均修理費(fèi)用，若萬(wàn)元，則該設(shè)備接著運(yùn)用，否則從第n年起需對(duì)設(shè)備進(jìn)行更新，該設(shè)備需更新的年份為（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．?dāng)?shù)列滿(mǎn)意，且，則（

）A．4 B． C． D．2．已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或53．設(shè)等比數(shù)列中，，，則（

）A．16 B．32 C．12 D．184．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且，則（

）A．128 B．127 C．126 D．1255．已知等比數(shù)列中，，且，那么的值是（

）.A．15 B．31 C．63 D．646．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還.”意思是：有一個(gè)人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最終一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里7．在等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．868．?dāng)?shù)列中，，，若，則（

）A．10 B．9 C．11 D．89．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)的倒數(shù)之和為，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是（

）A．以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1．已知，若3是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．92．小明同學(xué)在課外閱讀中看到一個(gè)趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題“在64個(gè)方格上放米粒：第1個(gè)方格放1粒米，第2個(gè)方格放2粒米，第3個(gè)方格放4粒米，第4個(gè)方格放8粒米，第5個(gè)方格放16粒米，……，第64個(gè)方格放粒米．那么64個(gè)方格上一共有多少粒米？”小明想：第1個(gè)方格有1粒米，前2個(gè)方格共有3粒米，前3個(gè)方格共有7粒米，前4個(gè)方格共有15粒米，前5個(gè)方格共有31粒米，……．小明又發(fā)覺(jué)，，，，，，……．小明又查到一個(gè)數(shù)據(jù)：粒米的體積大約是1立方米，全球的耕地面積大約是平方米，，．依據(jù)以上信息，請(qǐng)你幫小明估算，64個(gè)方格上全部的米粒覆蓋在全球的耕地上厚度約為（

）A．0.0012米 B．0.012米 C．0.12米 D．1.2米3．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．正項(xiàng)數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（

）A． B．[3，9] C． D．[3，15]5．已知數(shù)列滿(mǎn)意，則（

）A． B． C． D．6．在數(shù)列中.，是其前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，恒有、、成等比數(shù)列，則___________7．等比數(shù)列的公比，且，則使＞成立的正整數(shù)n的取值范圍為_(kāi)___．8．已知是等比數(shù)列，公比大于1，且，．記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前30項(xiàng)的和的值為_(kāi)_____．9．將數(shù)列與的全部項(xiàng)放在一起，按從小到大的依次排列得到數(shù)列，則______．10．已知數(shù)列?滿(mǎn)意:?，則數(shù)列?的前?項(xiàng)和?為_(kāi)______培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．已知數(shù)列?滿(mǎn)意:?，則數(shù)列?的前?項(xiàng)和?為_(kāi)______2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)利為，若，，1成等比數(shù)列，且，則的公差的取值范圍為_(kāi)_____．3．已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中成等差數(shù)列，則__________．4．已知數(shù)列滿(mǎn)意，設(shè)，為數(shù)列前n項(xiàng)和，若（為常數(shù)），則最小值為_(kāi)_________.5．?dāng)?shù)列中，，，若不等式對(duì)全部的正奇數(shù)恒成立