2024北京中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 微專題 構(gòu)造直角三角形解決根號2、根號3倍的線段數(shù)量關(guān)系（課件）

微專題構(gòu)造直角三角形解決、倍的線段數(shù)量關(guān)系類型一構(gòu)造含45°的直角三角形(倍線段數(shù)量關(guān)系)例1如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，試猜想CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．例1題圖例1題解圖①【解法一】解：CF＝BE.證明：如解圖①，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，G∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠FEC＝∠EDB.在△FEG和△EDB中，∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝BE.在Rt△FGC中，∠FGC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝FG，∴CF＝BE.G例1題解圖①【解法二】解：CF＝BE.證明：如解圖②，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形BEG.例1題解圖②G由解法一知，∠FEC＝∠BDE.∵△BEG是等腰直角三角形，∴∠G＝45°＝∠C，EG＝BE.在△DEG和△EFC中，∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝EG＝BE.【解法三】解：CF＝BE.證明：如解圖③，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)向上作等腰直角三角形BEG，同時(shí)以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形CFH.例1題解圖③G由解法一知，∠FEC＝∠BDE.∵△BEG和△CFH是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠CHF＝45°，EG＝BE，F(xiàn)H＝CF，∴∠DGE＝∠EHF＝135°.H例1題解圖③GH在△DEG和△EFH中，∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG＝BE.例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接BE，若∠BED＝45°，求證：CE＝BE.【解法一】證明：如解圖①，過點(diǎn)B作BM⊥CE交CE的延長線于點(diǎn)M.M例2題解圖①∵∠ACB＝90°，∠AEC＝∠BMC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCM＝90°，∴∠CAE＝∠BCM.∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBM(AAS)，∴CE＝BM.∵∠BED＝45°，∴BE＝BM，∴BE＝CE，∴CE＝BE.M例2題解圖①【解法二】證明：如解圖②，在AE上截取EF＝CE，F(xiàn)例2題解圖②∵AE⊥CD，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，CE＝CF，∴∠AFC＝135°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＋∠BCE＝45°.∵∠BED＝45°，∴∠BCE＋∠CBE＝45°，∠CEB＝135°，∴∠ACF＝∠CBE，∠AFC＝∠CEB.∵AC＝BC，∴△ACF≌△CBE(AAS)，∴BE＝CF，∴CE＝BE.F例2題解圖②例2題解圖③【解法三】證明：如解圖③，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，BE為直角邊向下作等腰直角三角形BEF，連接AF，則BE＝EF＝BF，∠BEF＝90°，∠EBF＝∠EFB＝45°.∵∠BED＝45°，∴∠CEB＝135°.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，BC＝AB，F(xiàn)∴∠CBE＝∠ABF，，∴△BCE∽△BAF，∴，∠AFB＝∠CEB＝135°，∴CE＝AF，∠AFE＝90°.∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠BEF＝90°，∴∠AEF＝∠BED＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形，∴AF＝EF＝BE，∴CE＝BE.例2題解圖③F滿分技法解題思路：此類題主要是通過構(gòu)造全等或相似三角形，將探究的兩條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)等腰直角三角形中．構(gòu)造方法：方法一：以AB為邊構(gòu)造含45°的直角三角形．(1)含45°；滿分技法

(2)含90°直角．方法二：以BC為邊構(gòu)造含45°的直角三角形．(1)含45°；(2)含90°直角．滿分技法例3如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B＝90°，若∠A＝30°，試猜想CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解法一】例3題解圖①G∵∠A＝30°，∴∠C＝90°－∠A＝60°，解：BE＝CF.證明：如解圖①，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，方法二構(gòu)造含30°的直角三角形(倍線段數(shù)量關(guān)系)∴在Rt△FGC中，F(xiàn)G＝CF.∵∠DEF＝∠B＝90°＝∠FGE，∴∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠FEC＝∠BDE，在△FEG和△EDB中，∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝BE，∴BE＝CF.例3題解圖①G【解法二】例3題解圖②G解：BE＝CF.證明：如解圖②，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)向下作含30°角的直角三角形BEG，令∠G＝60°，∵∠A＝30°，∠DEF＝∠B＝90°，∴∠G＝∠C＝60°，∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，BE＝EG，∴∠FEC＝∠BDE，在△DEG和△EFC中，∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝EG，∴BE＝CF.例3題解圖②G【解法三】解：BE＝CF.證明：如解圖③，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)向上作含30°的直角三角形BEG，且∠BGE＝60°，同時(shí)以CF為邊向下作等邊三角形CFH，點(diǎn)H恰好在邊BC上．∵∠A＝30°，∠DEF＝∠B＝90°，∴∠BGE＝∠C＝60°，∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，BE＝EG，∴∠FEC＝∠BDE，∠DGE＝∠EHF＝120°，例3題解圖③GH在△DEG和△EFH中，∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG，∴BE＝CF.例3題解圖③GH例4如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接BE，若∠BED＝60°，求證：CE＝BE.【解法一】證明：如解圖①，過點(diǎn)B作BM⊥CE交CE的延長線于點(diǎn)M，∵∠ACB＝90°，∠AEC＝∠BMC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCM＝90°，∴∠CAE＝∠BCM.M例4題解圖①∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBM(AAS)，∴CE＝BM.∵∠BED＝60°，∴BM＝BE，∴CE＝BE.M例4題解圖①【解法二】證明：如解圖②，在CE左側(cè)作∠ECF＝30°交AE于點(diǎn)F，∵AE⊥CD，∴∠EFC＝60°，CE＝CF，∴∠AFC＝120°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＋∠BCE＝60°.∵∠BED＝60°，∴∠BCE＋∠CBE＝60°，∠CEB＝120°，∴∠ACF＝∠CBE，∠AFC＝∠CEB.∵