2022年全國一卷五省優(yōu)創(chuàng)名校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．2．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當時，平面 D．當m變化時，直線l的位置不變3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或4．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．6．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．69．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．10．的展開式中，滿足的的系數(shù)之和為（）A． B． C． D．11．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是線段的中點，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．12．設(shè)實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________．14．設(shè)全集，，，則______.15．如圖，在正四棱柱中，P是側(cè)棱上一點，且.設(shè)三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為________.16．已知兩點，，若直線上存在點滿足，則實數(shù)滿足的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.18．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線：.（1）當時，求與的交點的極坐標；（2）直線與曲線交于，兩點，線段中點為，求的值.19．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{}的前項和為，求使成立的的最小值．21．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對角線交于點且（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大?。?/p>

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．2、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.3、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用的前項和求出數(shù)列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.5、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．6、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.7、A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

先求出，再由，利用向量數(shù)量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因為，所以有，得，故選：C.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式，向量垂直的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題目.9、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.10、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數(shù)乘以中的系數(shù)，然后相加可得．【詳解】當時，的展開式中的系數(shù)為．當，時，系數(shù)為；當，時，系數(shù)為；當，時，系數(shù)為；故滿足的的系數(shù)之和為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關(guān)鍵．11、D【解析】

過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因為，，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．12、C【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直線在y軸的截距加上1，根據(jù)圖像知，當x+y=2時，且x∈-13,1時，故選：C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.14、【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

設(shè)正四棱柱的底面邊長，高，再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解：設(shè)正四棱柱的底面邊長，高，則，即故答案為：【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點時，的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果．【詳解】解：直線，點，，直線上存在點滿足，的軌跡方程是．如圖，直線與圓有公共點，圓心到直線的距離：，解得．實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數(shù)，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用即可得的直角坐標方程；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，利用韋達定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）又直線與曲線：存在兩個交點，因此.聯(lián)立直線與曲線：可得則聯(lián)立直線與曲線：可得，則即18、（1），；（2）【解析】

（1）依題意可知，直線的極坐標方程為（），再對分三種情況考慮；（2）利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長即可得到答案.【詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標方程為（），當時，聯(lián)立解得交點，當時，經(jīng)檢驗滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當時，無交點；綜上，曲線與直線的點極坐標為，，（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，得，可知，，所以.【點睛】本題考查直線與曲線交點的極坐標、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面和平面的法向量坐標，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點，∴，∵平面且，∴平面，以為原點，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點，因為四邊形為平行四邊形，所以為中點，又因為四邊形為菱形，所以為中點，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【點睛】本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.20、（1）；（2）的最小值為19.【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組求出首項、公差，即可寫出等差數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和化簡，利用裂項相消法求和，解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數(shù)列的公差設(shè)為，，，可得，，解得，，則；(2)，，前n項和為，即，可得，即，則的最小值為19.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和，裂項相消法求和，屬于中檔題21、（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【詳解】（1）①，當時，，，當時，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎(chǔ)題.22、（1）；（2）.【解析】

(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,設(shè)底面正方形邊長為再求解與平面的法向量,繼而