專題4.4正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)寶典（新高考專用）

第四章三角函數(shù)、解三角形專題4.4正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．考點(diǎn)一利用正弦定理、余弦定理解三角形考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).第一部分核心典例題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形1．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理知：得.故選：B2．在中，已知，則角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由及余弦定理的推論，得，因?yàn)?，所?故選：B.3．在中，邊長，，，則邊長（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，邊長，，，由正弦定理得，所以.故選：C4．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（

）.A． B． C． D．3【答案】A【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以.設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)?，所?故選：A5．在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，則的面積為.故選：A題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用6．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面積的最大值.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.∴.∴的最大值為.7．如圖，在中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)．（1）求的長；（2）若，求的值．【詳解】解：（1）在中，，整理得，即，所以或．（2）因?yàn)?，由?）得，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，得．在中，由正弦定理得，即，所以．8．在中，角所對的邊分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的最大值.【詳解】（1）由得，，或，所以或或；（2）由為銳角三角形，，根據(jù)正弦定理,所以,其中為銳角，.所以當(dāng)即時(shí)，有最大值1.所以的最大值為.9．在中，，，．(1)求；(2)若角為鈍角，求的周長．【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，由，得，解得?）因?yàn)?，為鈍角，所以，由得，整理得，解得或（舍），所以.所以的周長為.10．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且．(1)求的值；(2)若面積為，求邊上的高的最大值．【詳解】（1）∵，∴，，，∴，∵，∴.（2）由面積為得：，而，∴∵邊上的高為，∴，則，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，即的最小值為2．此時(shí)最大為．第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．中，，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)正弦定理可知，，則.故選：A2．在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B3．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，由，得，所?故選：C.4．的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?又，所以.因?yàn)椋?，?故選：A.5．冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象?△ABD（如圖乙），測得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，因?yàn)?，所以，在中，由得，故選：C6．在平行四邊形ABCD中，，，則該平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，在中，，所以，故平行四邊形ABCD的面積．故選：A．7．在中，已知，，若有唯一值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于，，且，因?yàn)?，若，則，由正弦定理可知，故為銳角，從而唯一，所以唯一，有唯一值，滿足要求，若，則，從而唯一，唯一，有唯一值，滿足要求，故選：D8．已知中，若，，的面積為，為邊的中點(diǎn)，則的長度是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以有，由余弦定理可知：，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，故選：B二、多選題9．平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則（

）A． B．銳角三角形C．的面積為 D．的外接圓半徑大于2【答案】CD【詳解】，所以，由正弦定理得，故A錯(cuò)誤；由余弦定理，得，所以角是鈍角，故B錯(cuò)誤；由，得，的面積為，故C正確；設(shè)的外接圓半徑為，則，故D正確.故選：CD10．已知在中，角A，B，所對的邊分別為且，，，則下列說法正確的是（

）A．或 B．C． D．該三角形的面積為【答案】BC【詳解】由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，由于，所以，所以，三角形的面積為，故BC選項(xiàng)正確，AD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題11．正四面體中，O為的重心，則．【答案】【詳解】解法一：如圖，不妨設(shè)正四面體的棱長為2，則，，∴．解法二：如圖，由三余弦公式，，顯然，，∴．12．在中，，，則的形狀為．【答案】等邊三角形【詳解】由正弦定理，所以，代入得，∴，所以，三角形為等邊三角形，故答案為：等邊三角形．四、解答題13．已知內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).(1)求；(2)若的面積為，求的值.【詳解】（1）原式化簡可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的內(nèi)角；（2），，，.14．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知.(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長.【詳