江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試題（含答案）

/江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試題注意事項(xiàng)答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1．本卷共4頁，包含選擇題（第1題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）．本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卷交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置．3．請?jiān)诖痤}卷上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其它位置作答一律無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.36 B.45 C.54 D.632.圓的圓心到直線的距離為（）A.0 B.1 C. D.3.數(shù)列中，，，則（）A.77 B.78 C.79 D.804.直線，，若兩條直線平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C.3 D.或35.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6.數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）A. B. C. D.7.已知，，，為其前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.8.已知正方形的邊長為2，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確是（）A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線與直線之間距離是D.直線，，，則10.下列命題中，正確的有（）A.數(shù)列中，“”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B.數(shù)列的通項(xiàng)為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C.等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則D.等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則11.已知圓與直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，直線，分別與圓切于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時(shí)，弦長為C.最短時(shí)，弦直線方程D.直線過定點(diǎn)12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A. B.C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點(diǎn)，，圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______14.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．15.設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值為__________．16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．20.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和記為．若，且存在不小于3的正整數(shù)，，使得．（1）若，，求值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．22.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是曲線，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，（異于原點(diǎn)）直線，的斜率分別為，，且，①證明：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②若，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．

江蘇省常熟市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試題1．本卷共4頁，包含選擇題（第1題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）．本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卷交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置．3．請?jiān)诖痤}卷上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其它位置作答一律無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.36 B.45 C.54 D.63【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后求和即可.【詳解】，所以，.故選：C.2.圓的圓心到直線的距離為（）A.0 B.1 C. D.【正確答案】D【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算.【詳解】由題意可得圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離為．故選：D．3.數(shù)列中，，，則（）A.77 B.78 C.79 D.80【正確答案】D【分析】利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，由，解得.故選：D4.直線，，若兩條直線平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C.3 D.或3【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，由可得且，解得，故選：C.5.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)直線的方程得到直線恒過定點(diǎn)，根據(jù)曲線的方程曲線表示半圓，然后結(jié)合圖形求的范圍即可.【詳解】直線恒過定點(diǎn)，曲線的方程可整理為，，所以曲線表示以為圓心，半徑為1的半圓，圖象如下所示：，為兩種臨界情況，由題意得，則，令圓心到直線的距離，解得，則，所以當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故選：A.6.數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心，根據(jù)，求出外心，再求出斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出歐拉線方程.【詳解】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.設(shè)外心，因?yàn)?，所以，解得，?，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.7.已知，，，其前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求答案.【詳解】由可得，已知，，所以，即是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，，，，，，，故選B.8.已知正方形的邊長為2，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，取點(diǎn)，探討滿足條件的點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合已知，求出兩條線段長度和的最小值作答.【詳解】依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，如圖，取點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，化簡整理得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，而點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，因此，顯然點(diǎn)在圓：外，則，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號，而，所以的最小值為.故選：D關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系，取點(diǎn)并求出滿足條件的點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線與直線之間的距離是D.直線，，，則【正確答案】ACD【分析】由直線斜率求出傾斜角判斷A；求出過原點(diǎn)的直線方程判斷B；求出平行線間距離判斷C；由兩直線垂直求出參數(shù)判斷D.【詳解】對于A，直線的斜率，則其傾斜角為，A正確；對于B，過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線還有過原點(diǎn)的，其方程為，B錯(cuò)誤；對于C，直線與直線，即間的距離，C正確；對于D，由，得，且，解得，D正確.故選：ACD10.下列命題中，正確的有（）A.數(shù)列中，“”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B.數(shù)列的通項(xiàng)為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C.等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則D.等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則【正確答案】AD【分析】利用必要不充分條件的意義判斷A；利用遞增數(shù)列列出不等式求解判斷B；利用等比中項(xiàng)意義求出判斷C；利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合前項(xiàng)和公式計(jì)算判斷D.【詳解】對于A，是公比為2的等比數(shù)列，則有，反之，當(dāng)，若，數(shù)列不是等比數(shù)列，因此“”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件，A正確；對于B，，為單調(diào)遞增數(shù)列，則，，即，而數(shù)列單調(diào)遞減，即，因此，B錯(cuò)誤；對于C，令等比數(shù)列的公比為，依題意，顯然，而，因此，C錯(cuò)誤；對于D，等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和為分別為，，所以，D正確.故選：AD11.已知圓與直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，直線，分別與圓切于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時(shí)，弦長為C.最短時(shí)，弦直線方程為D.直線過定點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)面積公式得到當(dāng)時(shí)四邊形的面積最小，然后求面積；B選項(xiàng)，利用等面積的思路求；C選項(xiàng)，根據(jù)，得到為以為直徑的圓上的點(diǎn)，然后根據(jù)圓的方程求弦所在直線的方程；D選項(xiàng)，設(shè)，借助圓的方程得到直線的方程為，然后求定點(diǎn).【詳解】由題意得四邊形PAMB的面積，，因?yàn)?，，所以?dāng)長度最小時(shí)，四邊形的面積最小，最小為點(diǎn)到直線的距離，所以，所以四邊形的面積最小值為，故A正確；由圓的性質(zhì)得，由A選項(xiàng)可得，最短時(shí)，四邊形的面積最小，，所以，故B錯(cuò)；由題意得，，所以為以為直徑的圓上的點(diǎn)，所以直線為兩圓公共弦所在的直線，，直線：，即，聯(lián)立得，所以最短時(shí)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立得，所以弦所在直線的方程為，故C正確；設(shè)，則，即，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立得，所以直線的方程為，將代入得，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)可知其是以為周期的周期數(shù)列，由此可判斷A，B；根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，采用累加法可判斷C；由斐波那契數(shù)列定義可推導(dǎo)得到，累加即可判斷D.【詳解】斐波那契數(shù)列：，則，即數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，，，，，，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以，，，，所以，又，所以，故D正確，故選：BCD.解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，確定其數(shù)列前后項(xiàng)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而驗(yàn)證得到新定義的數(shù)列為周期數(shù)列.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點(diǎn)，，圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______【正確答案】【分析】設(shè)圓心為，由，列方程解出和，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心在直線上，設(shè)，設(shè)圓的半徑為，由圓過點(diǎn)，，有，則，解得，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故14.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)對稱點(diǎn)的求法求得正確答案.【詳解】設(shè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故15.設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)直線方程得到，，，根據(jù)勾股定理得到，然后根據(jù)不等式求最值即可.【詳解】直線可得，直線可整理為，令，解得，所以，因?yàn)椋灾本€與直線垂直，則，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為.16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值為__________．【正確答案】##0.75【分析】先通過遞推公式求出的通項(xiàng)公式，代入求出的通項(xiàng)公式，最后代入轉(zhuǎn)化為恒成立問題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，兩邊同除可得，又因?yàn)闀r(shí)，所以，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即，所以，代入不等式可得，即，令，則，所以，因?yàn)椋?，所以恒成立，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以，即的最大值為，故關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列的恒成立問題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過作差法來判斷單調(diào)性.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．【正確答案】（1）（2）4【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角為得到直線的方程，然后與邊上的中線所在的直線方程聯(lián)立得到點(diǎn)；（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，然后利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，又的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．因?yàn)锽C邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)A，由與聯(lián)立，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．小問2詳解】依題意可設(shè)直線的方程為，則．因?yàn)椋?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以面積的最小值為．18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式計(jì)算；（2）利用分組求和方法計(jì)算.【小問1詳解】依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，即，所以，所以，，所以，即．【小?詳解】因?yàn)?，所以，所以?9.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或．【分析】（1）先判斷三角形的形狀為等腰直角三角形，則圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑為斜邊的一半可以得到圓的方程；（2）先根據(jù)弦長求出弦心距，再考慮直線斜率是否存在，分別判斷直線是否符合要求，最后得到兩條直線方程.【小問1詳解】因，，，所以，，所以，所以，又因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點(diǎn)，即圓心，半徑，所以的方程為；【小問2詳解】因?yàn)閳A的半徑為2，當(dāng)直線截圓的弦長為時(shí)，圓心到直線的距離為，①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)直線斜率不存在，直線為，與圓心的距離為1，滿足條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時(shí)直線的方程為，即，綜上可知，直線的方程為或．20.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【正確答案】20.；21.①；②．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比中項(xiàng)進(jìn)行求解；（2）①先計(jì)算的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求解；②代入，得到對一切恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再求的最小值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】依題意得，解得，，即．【小問2詳解】①，，，，所以．．②由（1）易求得，所以不等式對一切恒成立，即轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，令，則，又，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以，且，則．所以實(shí)數(shù)的最大值為．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和記為．若，且存在不小于3的正整數(shù)，