云南省昆明市2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試模擬試題（含答案）

/云南省昆明市2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試模擬試題考生注意：1.本試滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】化簡復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)概念可解得的值，從而得出結(jié)論.【詳解】由為純虛數(shù),則實(shí)部,虛部,解得,則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選:D.2.設(shè)全集，，，則圖中陰影部分對應(yīng)的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解一元二次不等式可求得集合，再由圖中陰影部分利用集合的基本運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】解集合對應(yīng)的不等式可得，即；易知圖中陰影部分對應(yīng)的集合可表示為，由可得，因此，即圖中陰影部分對應(yīng)的集合為.故選：D3.某市近幾年大力改善城市環(huán)境，全面實(shí)現(xiàn)創(chuàng)建生態(tài)園林城市計(jì)劃，現(xiàn)省專家組評審該市是否達(dá)到“生態(tài)園林城市”的標(biāo)準(zhǔn)，從包含甲、乙兩位專家在內(nèi)的8人中選出4人組成評審委員會，若甲、乙兩位專家至少一人被邀請，則組成該評審委員會的不同方式共有（）A.70種 B.55種 C.40種 D.25種【正確答案】B【分析】先計(jì)算全部的選法，再考慮甲、乙均不選的選法，利用間接法作差即可．【詳解】解：8人中選4人有種，甲、乙均不選有種，共有種．故選：B．4.已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，再由點(diǎn)為直線與曲線的公共點(diǎn)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)為直線與曲線的公共點(diǎn)，則，即，解得.故選：C.5.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】C【分析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過作于，根據(jù)拋物線的定義可知，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為.所以的最小值為.故選：C.6.若函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.[－5,1)B.(－5,1)C.[－2,1)D.(－2,1)【正確答案】C【分析】先求出函數(shù)的極值點(diǎn)，要使函數(shù)在區(qū)(,)內(nèi)存在最小值，只需極小值點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，且在端點(diǎn)處的函數(shù)值不能超過極小值．【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在(,)內(nèi)存在最小值，則，得．故選：C7.在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由等差數(shù)列的求和公式可求得的公差為，再由等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，可得：，所?故選：A.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，若，，則（）A.B.C.D.【正確答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義求出角的正弦值和余弦值，求出的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，由三角函數(shù)定義可得，，易知為第一象限角，不妨設(shè)，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，所以，，所以，.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若一組樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)，則用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)B.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則推斷與無關(guān)不成立，即認(rèn)為與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05C.若隨機(jī)變量和滿足，則，D.若隨機(jī)變量，且，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)判斷A，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷B，根據(jù)期望與方差的性質(zhì)判斷C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：若一組樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)，則用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對于B：因?yàn)椋杂邪盐湛膳袛喾诸愖兞颗c有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于，故B正確；對于C：若隨機(jī)變量和滿足，則，，故C錯(cuò)誤；對于D：若隨機(jī)變量，且，則，故D正確；故選：ABD10.已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在球O上，點(diǎn)M，N分別是AC，CD的中點(diǎn)，平面BCD，，，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形B.球O的表面積為C.直線BD與平面ABC所成角的正切值是D.點(diǎn)O到平面BMN的距離是【正確答案】ABD【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可得△ABC、△ABD、△DBC、△ACD為直角三角形，進(jìn)而判斷A；根據(jù)三棱錐外接球的結(jié)構(gòu)求出球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算即可判斷B；結(jié)合線面角的定義即可判斷C；根據(jù)三棱錐等體積法求出點(diǎn)O到平面BMN的距離，進(jìn)而得出平面BMN被球O所截的截面圓的半徑，利用圓的面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】AB⊥平面BCD，∴△ABC、△ABD為直角三角形，∵AB=1，BC=1，，由勾股定理得，，又∵BC=1，CD=2，則，∴△DBC、△ACD為直角三角形，故A正確；三棱錐A-BCD可看作由長、寬、高分別為2、1、1的長方體截得，O為AD的中點(diǎn)，球O的直徑為，故球O的表面積，故B正確；直線BD與平面ABC所成角的平面角為∠DBC，∴，所以C不正確；在Rt△ABC中，，在△ACD中，，又，∴△BMN為直角三角形，，設(shè)點(diǎn)O到平面BMN的距離為h，由于O到平面BMN的距離與C到平面BMN的距離相等，∴，則，則，解得，故D正確，故選：ABD．11.已知圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.直線的斜率范圍為D.以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為【正確答案】AC【分析】首先判斷點(diǎn)在圓外，則，即可判斷A，根據(jù)判斷B，設(shè)直線，利用點(diǎn)到直線距離公式得到不等式，解得的取值范圍，即可判斷C，求出以為直徑的圓的方程，兩圓方程作差即可求出公共弦方程.【詳解】圓的圓心，半徑，又，所以，即點(diǎn)在圓外，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線，根據(jù)題意可得點(diǎn)到直線的距離，解得，故C正確；設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，所以公共弦方程為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】使用基本不等式、的代換等方法一一判別即可.【詳解】對A，因?yàn)?，所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，A正確；對B，因?yàn)?，所以，結(jié)合A選項(xiàng)有，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B不正確；對C，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，C正確；對D，，由A選項(xiàng)有，則，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與的夾角為，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.【正確答案】【分析】直接根據(jù)向量的投影公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，則在方向上的投影為.故答案為.14.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為________.【正確答案】##【分析】取ED的中點(diǎn)為G，連接AG，F(xiàn)G，由已知條件可證得四邊形ABFG為平行四邊形，所以BF∥AG，所以∠EAG是AE與BF所成的角，在△AEG中，利用余弦定理可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，所以ED∥FC.取ED的中點(diǎn)為G，連接AG，F(xiàn)G，如圖，因?yàn)镋D＝2FC，所以DG＝FC，且DG∥FC，所以四邊形CDGF為平行四邊形，則FG∥CD且FG＝CD.又四邊形ABCD為正方形，所以CD∥AB，CD＝AB，所以FG∥AB且FG＝AB，所以四邊形ABFG為平行四邊形，則BF∥AG，所以∠EAG是AE與BF所成的角.由正方形ABCD的邊長為2，ED＝2FC＝2，可得，在△AEG中，由余弦定理得.故15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是_________．【正確答案】##【分析】利用雙曲線通徑長和與漸近線交點(diǎn)情況可得,,由和關(guān)系可求得，，由此可求得離心率．【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，直線為雙曲線的通徑，則由得，則，由得，則由得：即所以，所以離心率故16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)圖象的解析式為______．【正確答案】【分析】根據(jù)圖象求得，將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得，即可解決.【詳解】由題知，函數(shù)的部分圖象如圖所示，所以，即所以，所以，因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，將函?shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得，所以所得函數(shù)圖象的解析式為，故四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且.（1）求B的大??；（2）若△ABC為鈍角三角形，且，求△ABC的周長的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正余弦定理，將條件變形，求角的大?。唬?）根據(jù)正弦定理，將周長表示為三角函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，求周長的取值范圍.【小問1詳解】根據(jù)余弦定理可知，，所以，即，則,，所以；【小問2詳解】設(shè)，根據(jù)正弦定理可知，所以,，所以周長,因?yàn)?，所以，所以，所以的周長為.18.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）取計(jì)算，得到，得到證明.（2）確定，變換，利用裂項(xiàng)求和計(jì)算得到證明.【小問1詳解】，，．由，得，，所以，故，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】，故，所以．19.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某機(jī)構(gòu)從某地區(qū)抽取了500名近期購買新能源汽車的車主，調(diào)查他們的年齡情況，其中購買甲車型的有200人.（1）估計(jì)購買新能源汽車的車主年齡的平均數(shù)和中位數(shù).（2）將年齡不低于45歲的人稱為中年，低于45歲的人稱為青年，購買其他車型的車主青年人數(shù)與中年人數(shù)之比為.完成下列列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān)？青年中年合計(jì)甲車型其他車型合計(jì)（3）用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，再從中隨機(jī)抽取4人，記青年有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附.2.7063.8416.6357.879【正確答案】（1）（2）有的把握認(rèn)為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).（3）分布列見解析,.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算購買新能源汽車的車主年齡的平均數(shù)和中位數(shù);（2）根據(jù)分布列和已知條件求出購買甲車型和其他車型的青年、中年人數(shù)，可得列聯(lián)表，然后計(jì)算卡方，查表可作出判斷；（3）先計(jì)算各層所抽取人數(shù)，然后由超幾何分布概率公式求概率可得分布列，再根據(jù)期望公式可解.【小問1詳解】購買新能源汽車的車主年齡的平均數(shù)為,設(shè)購買新能源汽車的車主年齡的中位數(shù)為,【小問2詳解】由直方圖可知，購買甲車型的青年人數(shù)為人，中年人數(shù)為人，購買其他車型的青年人數(shù)為人，中年人數(shù)為人，于是的列聯(lián)表：青年中年合計(jì)甲車型12575200其他車型22575300合計(jì)350150500因?yàn)椋?，有的把握認(rèn)為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).【小問3詳解】用分層抽樣的方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，則青年有人，中年有人，所以的可能取值為1,2,3,4.，，，，所以的分布列為：X1234P所以.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是CD，PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAD．（2）若四棱錐的體積為32，的面積為4，求B到平面DEF的距離．【正確答案】（1）證明見解析；（2）3.【分析】（1）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，可得線線平行，根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)定理可得證；（2）由等體積法可求出B到平面DEF的距離.【小問1詳解】證明：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G．因?yàn)镚，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，ABCD是平行四邊形，所以．同理可得，平面.因?yàn)?，平面，所以平面平面PAD．因?yàn)槠矫鍱FG，所以平面PAD．【小問2詳解】因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以的面積是平行四邊形ABCD面積的．因?yàn)镕是PB的中點(diǎn)，所以三棱錐的高是四棱錐的高的．因?yàn)樗睦忮F的體積為32，所以三棱錐的體積為．設(shè)B到平面DEF的距離為d，因?yàn)榈拿娣e為4，所以，得，即B到平面DEF的距離為3．21.已知圓和定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）；（2）存在定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而得，所以有，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，再根據(jù)