2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（廣東專用）專題04 特殊平行四邊形中全等相似與最值問題（教師版）

PAGE1PAGE專題04特殊平行四邊形中全等相似與最值問題通用的解題思路：一、四邊形與全等相似1.三角形與全等之六大全等模型：（1）一線三等角模型（2）手拉手模型（3）半角模型（4）倍長(zhǎng)中線模型模型（5）平行線中等模型（6）雨傘等模型2.三角形與相似之四大相似模型：（1）A字模型（2）8字模型（3）手拉手模型（4）一線三等角模型二、四邊形線段最值問題（1）將軍飲馬模型兩定一動(dòng)模型一定兩動(dòng)模型兩線段相減的最大值模型（三點(diǎn)共線）（2）費(fèi)馬點(diǎn)模型：將△APC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。1．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，①若，過作交于點(diǎn)，求證：；②若時(shí)，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）或或【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案為：．（2）∵在菱形中，，∴，，則，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平行四邊形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，則，，∴∴，∵，∴∴∴∴設(shè)，則，，，∴解得：或，即或，②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，，∵∴∴，∴∴，∵∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，∴，，∴，則，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)不可能在邊上，綜上所述，的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，設(shè)BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD?MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF?EM==，記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即；①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此時(shí)=，∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為；②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+CH==12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型一特殊平行四邊形中全等相似計(jì)算1．（2024·廣東汕頭·一模）（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，①若，過作交于點(diǎn)，求證：；②若時(shí)，則______．（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．【答案】（1）①見解析；②20；（2）【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，結(jié)合已知條件，即可證明；由①可得，根據(jù)，即可求解；根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；【詳解】證明：①四邊形是矩形，則∴∴又，∴又，∴；②由①可得∴又∴；（2）∵在菱形中，，∴，∴∵∴∴∴∴∵，∴又∴∴∴；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東惠州·一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出如下問題：已知正方形，E為對(duì)角線上一點(diǎn)．【感知】（1）如圖1，連接，．求證：；【探究】（2）如圖2，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G．①求證：；②若G為的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】（3）如圖3，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G，．求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解；②；（3）證明見解析【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出，進(jìn)而判斷出即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)F作于H，先求出，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可求出答案；（3）在中，由勾股定理得，由（1）知，，由（2）知，，可證明，則．【詳解】解：（1）∵是正方形的對(duì)角線，∴，∵∴，∴（2）①∵四邊形是正方形，∴∴由（1）知，∴∴，∵∴，∴∵∴②如圖，過點(diǎn)F作于H，∵四邊形為正方形，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴由（2）①知，∴∴在與中，∵∴，∴，∴在中，由勾股定理得；（3）∵，∴，在中，，，由（1）知，，由（2）知，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解（2）的關(guān)鍵．3．（2024·廣東深圳·二模）（1）如圖1，在正方形中，E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交于F．求證：．（2）如圖2，在矩形中，，E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．若，求的值．（3）在菱形中，如圖3，，點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)E作交直線于點(diǎn)F．請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)_________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或．【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)：（1）作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，證明，即可；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)，可得，從而得到，，即可求解；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E靠近點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N；當(dāng)點(diǎn)E靠近點(diǎn)C時(shí)，即可求解．【詳解】（1）證明：作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∵四邊形是正方形，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)E靠近點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∵點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)E靠近點(diǎn)C時(shí)，同理可得，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴．綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．故答案為：或．4．（2024·廣東汕頭·一模）綜合與實(shí)踐課上，夢(mèng)班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組對(duì)圖形中兩條互相垂直的線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí)，遇到以下問題，請(qǐng)你逐一加以解答：(1)操作判斷如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，且，若，則的長(zhǎng)為；如圖2，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，且，若，則的長(zhǎng)為；(2)遷移探究如圖3，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，試證明:；(3)拓展應(yīng)用如圖4，在矩形中，，，平分交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)H，交矩形的邊于點(diǎn)G．當(dāng)F為的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)5，4(2)見解析(3)或【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)O，過點(diǎn)G作于點(diǎn)J，過點(diǎn)E作于點(diǎn)K，利用正方形的性質(zhì)證明四邊形和四邊形都是矩形，再利用矩形的性質(zhì)證明，即可得到第一空格答案；設(shè)交于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，證明，可得，即得第二空格答案；（2）過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證，得到，再證，得到，即可證得答案；（3）先證，然后分和兩種情況求解，情況一，點(diǎn)G在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，先證，求得，再證明和，求出，從而得到的長(zhǎng)；情況二，點(diǎn)G在上，用類似的方法即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)交于點(diǎn)O，過點(diǎn)G作于點(diǎn)J，過點(diǎn)E作于點(diǎn)K，四邊形是正方形，，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，，，又，，，，故答案為：5；如圖2，設(shè)交于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，，四邊形是矩形，，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，又，，，，，，故答案為：4；（2）證明：如圖3，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則，，，，，又，，，，，，，，；（3）解：四邊形是矩形，，，，平分，，，，分兩種情況：①如圖4，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G在上，，，，，，又，，，，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，則，，，，，，，，，，，，；②如圖5，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G在上，，同①得，，，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)I，同①得，，，，，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形是解題的關(guān)鍵．題型二特殊平行四邊形中線段最值問題1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，①求的長(zhǎng)度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證即可；（2）①先確定當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最大，并畫出圖形，在中求出的長(zhǎng)，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過P作于S，過點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，確定，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最大，如圖所示：

此時(shí)，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，

由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)最小，由題意，，，，，過點(diǎn)L作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.2．（