2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題12 菱形的存在性問題（學(xué)生版）

專題12菱形的存在性問題一、知識(shí)導(dǎo)航作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，故菱形存在性問題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)解決問題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．

看個(gè)例子：如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，求D點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q）．（1）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C，再確定D點(diǎn)．（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)BA=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）．（3）AC=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．以上只是兩種簡單的處理方法，對(duì)于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法．二、典例精析如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA=2，OC=6，連接AC和BC．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）先考慮M點(diǎn)位置，即由A、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形：①當(dāng)CA=CM時(shí)，即CM=CA=，M點(diǎn)坐標(biāo)為、，對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為、．②當(dāng)AC=AM時(shí)，即AM=AC=，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．③當(dāng)MA=MC時(shí)，勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為、、（2，0）、．如下圖依次從左到右．三、中考真題演練1．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況