高中數(shù)學熱點題型增分練專題19數(shù)列求和歸類教師版新人教A版選擇性必修第二冊

專題19數(shù)列求和歸類【題型一】公式法求和1（等差）【典例分析】．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用累乘法求出時，通過驗證也滿意，從而求出通項公式為，；（2）依據(jù)第一問得到數(shù)列為等差數(shù)列，進而利用等差數(shù)列求和公式進行求解.【詳解】（1）因為，，所以當時，，又滿意，綜上：，；（2）由（1）知：，；由等差數(shù)列求和公式可得：【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列求和公式：(1)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.【變式訓練】在等比數(shù)列中，，．(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)設的公比為，依據(jù)已知條件列出關于首項和公比q的方程組，求出首項和公比，依據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求解；(2)求出的通項公式，推斷其為等差數(shù)列，依據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解．【詳解】（1）設的公比為，依題意得，解得，因此．（2）∵，∴數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，故其前項和．【題型二】公式法求和2（等比）【典例分析】已知數(shù)列滿意，.(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的前12項和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由數(shù)列的通項公式可求出，從而得到，又由可知數(shù)列是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.故；（2）由數(shù)列的通項公式可得數(shù)列是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，然后依據(jù)等比數(shù)列求和求解即可.（1）解：由題意得：當時，①當時，②由②，即，③把③代入①，得故，且，，所以數(shù)列是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.故.（2）把①代入②，得，且所以數(shù)列是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，故，于是.【提分秘籍】基本規(guī)律等比數(shù)列有關公式：通項公式：an＝a1qn－1； (2)前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))（3）【變式訓練】在①，②，③數(shù)列為等比數(shù)列這三個條件中選出兩個，補充在下面的橫線上，并解答這個問題.問題：已知等比數(shù)列的前項和為，___________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若的前項和為，且，求的值.注：假如選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選條件①②：結合等比數(shù)列的通項公式將條件化為基本量和的關系，即可求解；選條件①③：依據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，可結合其性質(zhì)得到，再將條件化為基本量和的關系，再結合即可求解；選條件②③：依據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，可結合其性質(zhì)得到，與都化為基本量和的關系，解方程組即可求解.（2）依據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出，再利用分組求和即可表示出，即可建立方程求解.【詳解】（1）解：選條件①②：設數(shù)列的公比為，則，所以，所以.選條件①③：設數(shù)列的公比為，因為，數(shù)列為等比數(shù)列，所以，得，化簡可得，得.所以.選條件②③：設數(shù)列的公比為，因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，得，化簡可得，因為，所以.因為，所以，所以.（2）依據(jù)等比數(shù)列求和公式可得，利用分組求和，可得.所以，得.【題型三】倒序求和【典例分析】已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關于點對稱;(2)若，求；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設，，滿意，證明即可；（2）依據(jù)（1）中的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）證明：因為函數(shù)的定義域為，設，是函數(shù)圖像上的兩點，其中且，則有，因此函數(shù)圖像關于點對稱；（2）由（1）知當時，，①，②，①+②得，即.【提分秘籍】基本規(guī)律若函數(shù)f（x）有對稱中心，則數(shù)列f（n）的前n項和，可以借助對稱中心構建倒序求和。所以倒序求和，多是具有中心對稱的【變式訓練】設是函數(shù)的圖象上隨意兩點，且，已知點的橫坐標為．(1)求證：點的縱坐標為定值；(2)若且求；【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用中點坐標公式的表示，得到，然后代入求中點的縱坐標的過程，依據(jù)對數(shù)運算法則，可以得到常數(shù)；（2）利用（1）中所求，當時，，可以接受倒序相加法，求和即可.【詳解】（1）證明：設，因為，故可得，由知，故，故.故點的縱坐標為定值.（2）由（1）知。，兩式相加得：，故.【題型四】錯位相消【典例分析】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且滿意，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿意，記，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用與的關系，即可證明是等差數(shù)列（2）利用錯位相減法求得，可以證明【詳解】（1））當時，，得，當時，，又，兩式相減得，，整理得，∵，∴，∴數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列.（2）由（Ⅰ）可知，數(shù)列的通項公式為，故，∴①，②，①－②得，，故，∴.【提分秘籍】基本規(guī)律錯位相減法：形如an＝，用錯位相減法求解．思維結構結構圖示如下【變式訓練】數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)列通項與前n項和的關系求解；（2）利用錯位相減法求解.【詳解】（1）解：當時，，當時，，又，兩式相減得，，又，且，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以.（2）由（1）知：，則，，，.【題型五】正負相間求和【典例分析】已知等比數(shù)列的前項和為為常數(shù)）.(1)求的值，并寫出數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知求、，由為等比數(shù)列求出，寫出通項公式；（2）由（1）寫出通項公式，由奇偶項和為定值，用并項求和法求.【詳解】（1）由，當時，.當時，.因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以適合，所以，（2）由，則所以【提分秘籍】正負相間求和：1.奇偶項正負相間型求和，可以相鄰的正負兩項結合構成“常數(shù)數(shù)列”。2.假如須要探討奇偶，一般狀況下，先求偶，再求奇。求奇時候，干脆代入偶數(shù)項公式，再加上最終的奇數(shù)項通項。【變式訓練】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）由（1）可得，再分類探討結合分組并項求和法求解即可【詳解】（1）設公比為，由題意得解得（2）當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，；．【題型六】裂項相消基礎【典例分析】已知等差數(shù)列中，，為其前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，，，若對一切成立，求最小正整數(shù)的值.【答案】(1);(2)5.試題解析：(1)∵等差數(shù)列中，，為其前項和，，∴，解得，，∴.(2)∵時，，當時，上式成立，∴，∴隨遞增，且，，，∴，∴最小正整數(shù)的值為5.【提分秘籍】基本規(guī)律基本規(guī)律裂項相消法：常用的裂項公式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)； ②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； 【變式訓練】已知公差不為0的等差數(shù)列滿意，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，并求使得成立的最小正整數(shù).【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】試題分析：(1)由題意求得首項和公差，據(jù)此可得通項公式為；(2)裂項求和得到關于實數(shù)n的不等式，求解不等式可得使得成立的最小正整數(shù)的值為26.試題解析：（1）是公差不為0的等差數(shù)列，設公差為，∵，，成等比數(shù)列，∴得，解得：或（舍去），∴.（2）∵即化簡得：，，使不等式成立的最細正整數(shù)為.【題型七】分組求和1：等差等比分組【典例分析】已知數(shù)列的首項，且滿意.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由遞推式變形得，從而利用等比數(shù)列的定義即可得證；（2）由（1）求得，再利用分組求和法與等比數(shù)列的前項和公式即可得解.【詳解】（1）因為數(shù)列的首項，且滿意，所以，即，又，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以.【提分秘籍】基本規(guī)律形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加（減）【變式訓練】已知正項等比數(shù)列滿意且是的等差中項，數(shù)列滿意．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)條件，列方程求出和，運用累加法求出；（2）令，對分類探討即可.【詳解】（1）設數(shù)列的公比為q，由條件得，即，解得或（舍），，累加得：，，又符合該式，所以；（2）令，則，又，則當時，，當時，，又當時，，當時，，時，，時，，.【題型八】分組求和2：裂項分組【典例分析】已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且滿意，，，成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)設等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意列出關于和的方程組求解即可；(2)依據(jù)題意可得，利用裂項相消和分組求和運算求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，即，整理得，解得，所以，∵，所以.（2）∵，∴，故.【提分秘籍】基本規(guī)律形如an＝，用分組+裂項求和法求和，分別求和而后相加減【變式訓練】已知公比大于1的等比數(shù)列滿意，，數(shù)列的通項公式為(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和Tn．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等比數(shù)列的通項公式化簡條件，求出等比數(shù)列的公比，由此可得數(shù)列的通項公式；(2)由(1)可得，利用裂項相消法和組合求和法求數(shù)列的前n項和Tn.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，則，由，，可得，即得，解得或（舍去），故，所以的通項公式為；（2）若，則，故，即，即所以.【題型九】分組求和3：正負相間分組【典例分析】已知數(shù)列的前n項和公式為．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項和；【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用之間的關系，求得的關系，依據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）依據(jù)（1）中所求，求得，對進行分類探討，結合等比數(shù)列的前項和公式，即可求得結果.【詳解】（1）數(shù)列的前n項和，，則當時，，即，當時，，解得，所以數(shù)列是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，當n為偶數(shù)時，，于是得，當n為奇數(shù)時，，所以.【提分秘籍】基本規(guī)律.形如，多可以通過奇偶取值，再各自求和，得到奇數(shù)項或者偶數(shù)項和【變式訓練】在等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）等比數(shù)列可求出首項、公比和通項，可得到數(shù)列的通項.（2），接受分組求和法求.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，則所以，故.（2）由(1)得，，.【題型十】分段數(shù)列求和【典例分析】.已知數(shù)列滿意(1)求的值；(2)求的前50項和．【答案】(1)2，(2)675【分析】（1）依據(jù)遞推公式依次求出2,3,4,5項即可；（2）先說明奇數(shù)項成等差，然后將和分為奇數(shù)項與偶數(shù)項的和分別求和即可.【詳解】（1）依據(jù)遞推公式可知：．（2）依據(jù)遞推公式知：當時，．于是，即．所以，是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；且【提分秘籍】基本規(guī)律有分段型（如），可奇偶各段各自求和。分段型，還包括符號型（如），周期型（如）等等【變式訓練】已知數(shù)列的前項和為，且滿意，等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)，作差即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項公式，再設數(shù)列的公差為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項公式；（2）依據(jù)通項公式推斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到的通項公式，再用分組求和法計算可得.【詳解】（1）解：因為，當時，解得，當時，所以，即，所以，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；設數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以.（2）解：因為，即數(shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列單調(diào)遞減，，，，，，，，，，，，，所以當時，當時，所以，所以.【題型十一】裂項相消拔高1：f（x）型裂項【典例分析】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項和為，且數(shù)列也為等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，，成等差數(shù)列，，解得，，經(jīng)檢驗，所以數(shù)列為等差數(shù)列，.（2），，設數(shù)列的前項和為，則.【提分秘籍】基本規(guī)律1.形如，可列為型。其中，分子a-b是隱藏比較深的分母相減結果，須要留意構造出這種形式。2.假如分子次冪比較高，可以先分別常數(shù)，再構造分母之差的形式?！咀兪接柧殹浚阎棓?shù)列的前項和為，滿意.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列，求數(shù)列前項和的值.【答案】(1);(2).試題解析：（1)當時，即,解得,①②①-②：，所以，即，因為是正項數(shù)列，所以，即，其中，所以是以為首相，1為公差的等差數(shù)列，所以.(2)因為，所以，所以，所以.【題型十二】裂項相消拔高2：指數(shù)型裂項【典例分析】已知數(shù)列滿意，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，若對于隨意的，均有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，則，兩式相除得：.當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，∴.（2）由（1）知，則，∴，由恒成立，則.【提分秘籍】基本規(guī)律形如指數(shù)型，其中f（n）可構造為，化為。留意構造過程中指數(shù)冪的運算【變式訓練】已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，.（1）求和的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和，求；（3）若數(shù)列的前項積為，求.（4）數(shù)列滿意，，其中，，求.【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）介紹見解析.【詳解】（1），則，解得，故，，即，，解得或（舍去），，故.（2）故.（3），故；（4），即.培優(yōu)第一階——基礎過關練1．（2024·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，依據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當或時，．【整體點評】（2）法一：依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：依據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．2．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，明顯對于也成立，∴的通項公式；（2）∴3．（·湖北·高考真題（文））已知數(shù)列和滿意：，，，，且是以為公比的等比數(shù)列.（1）證明：；（2）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求和：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用列方程，結合已知條件進行化簡，由此證得.（2）求得、，由此求得，進而證得數(shù)列是等比數(shù)列.（3）利用分組求和法，結合對進行分類探討，由此求得.【詳解】（1）∵是以為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴.（2）∵，∵數(shù)列，，，…和數(shù)列，，，…均是以為公比的等比數(shù)列，故，，∴.故是首項為5，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2），得，，∴.當時，；當時，，∴.4．（2024·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列滿意，記的前n項和為，若對隨意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結合與的關系，分探討，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結論；（2）由結合的結論，利用錯位相減法求出，對隨意恒成立，分類探討分別參數(shù)，轉化為與關于的函數(shù)的范圍關系，即可求解.【詳解】（1）當時，，，當時，由①，得②，①②得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽視狀況；（2）恒成立分別參數(shù)時，要留意變量的正負零探討，如（2）中恒成立，要對探討，還要留意時，分別參數(shù)不等式要變號.5．（2024·全國·高考真題（文））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿意．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導函數(shù)法設，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算實力，是一道中檔題，其中證明不等式時接受作差法，或者作商法要依據(jù)式子得結構類型靈敏選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一干脆作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；方法二依據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優(yōu)解；方法三接受構造數(shù)列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.培優(yōu)其次階——培優(yōu)拔尖練1．（2024·陜西漢中·模擬預料（文））已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）將化簡一下用基本量表示出來解方程可得，進而求出通項公式；（2）將代入后，作為一組分組表示出來可得前項和.【詳解】（1）由可得，即，設等差數(shù)列的公差為，則，解得.（2）由（1）可得，.2．（20