湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案

參考答案：

一、1、解：選(A)提示：由y=/-(-九)，得f(y)=-x,故y=-f(x)是y=——(-%)

的反函數(shù)，即-f(x)=f(-x),由此可見y=f(x)是奇函數(shù)，

2、解：選(C),提示：/(1)=<,+ii-(<Q,/(-=ft+c>0,a>0,-^->1,如

圖，2a

從而b<0,2a+b<0,2a-b>0。又f(0)=c<0,故a-c>0,進(jìn)而

M-N=|a-b+c|+|2a+b|-|a+b+c|-|2a-b|=(a-b+c)+(a+b+c)-(2a+b)-(2a+b)-(2a-b)=-2(a-c)

<0AM<N

3、解：選(B),提示：由如下四圖可推得

4、解:選(A),提示:左邊=SinAcosA+sinAcosB+cosAsinB+sinBcosB

=—(Sin2A+sin2B)+sin(A+B)=sin(A+B)cos(A-B)+sin(A+B)

2

右邊=2sin[180o-(A+B)]=2sin(A+B)

故有sin(A+B)cos(A-B)+sin(A+B)=2sin(A+B)

BPsin(A+B)[cos(A+B)-A]=0

而sin(A+B)>0,故cos(A-B)=1,故A=B

又取A=B=30°,C=120°代入條件式，知滿足條件。

故4ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形。

5、

解，選｛D).提示:由中達(dá)定理，知

iinA+sinB--p>Q,--^>0,

,sitiAA加B=q>0.IMACO$A=q>0.

〃-2q=l

故0<g=.wnAcoiA.

故V力2_初20

.p<0KQ>0.p--/I+2q.

6、解：選(D),提示：設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為F(x,y),由于A、B為橢圓上的點(diǎn)，由

橢圓定義知|AC|+|AF|=|BC|+|BF|,則|BFHAF|=|AQ-|BC|,由|AC|=15,|BC|=13,得|BFHAF|=2,

故點(diǎn)F的軌跡為雙曲線的一部分。

二、7、解：8±,提示：X一定包含1,2,3這三個(gè)元素，而4,5,6三個(gè)數(shù)可屬于

X,也可不屬于X,每一個(gè)數(shù)有2種可能，故所求的不同的X共有23=8個(gè)。

■Ja2-x1

8、解：a>0,提示：必要性，若f\x)=—~=為奇函數(shù)，則a0(若不然，則f(x)

|x+a|-a

“2222

的定義域?yàn)榭占?，且由*——=~—可得|x+a|+|x—a|=2a,，a〉0.

\-x+a\-a\x+a\~a

-da2—x~

充分性，若a>0,則f(x)的定義域?yàn)閇—a,O)u(O,a],這時(shí)/(幻=”—,顯然f

x

(-X)=-f(x),f(X)為奇函數(shù)。

9、解：21，提示：在六塊地上種甲種蔬菜的塊數(shù)可以是0,1,2,3(最多只能為3)。

先把6=n(n=0,1,2,3)塊種上乙方蔬菜，再用n塊甲種蔬菜插到它們形成的含兩端在內(nèi)

的空檔中去，得到選用n塊種甲種蔬菜的方案種，令n=0,1,2,3,得共有方案數(shù)

為C；>+C：+C；+C；=21

10、解：0,提示：由f(0)=f3(0),知f(0)[1-f(0)][l+f(0)=0,因此，f(0)=0或

f(0)=1,或f(0)=-l；由f(1)=d(1),同理f(1)=0或1或-1；由f(-1)=f3(-1),

同理f(-1)=0或1或理但f(0),f(-1),f(-1)兩兩不等,故{f(0),f(1),f(-1)}={0,

1,-1},由此可見，f(0)+f(1)+f(-1)=0。

11、

解;2+打2提示:設(shè)=1,且|ud=r■，則N=W+1,故(w+l)(tv+l)-(u;+

l)-(w+l)=3.由此得產(chǎn)=4,廠=2.于是w=2(cos號(hào)+isin^)=1+/31,z=2+

■/3i.

12、

解：/2.提示:由10H—2xy-2y+1=0有x2+6.r-?y2~6y-2xy+9=a:2-4x+4

+?2-+4.即/(jr-2)2+(>-2)2=I工-y+31,即一=&，故e=戊.

工72

三、13、解：（I）作BH_LBF，從而EHB是二面角E-BF-B的平面角。（2分）

....BF-BB.a.?EBV5,,

在RtAEBH中，由BB|=2BF=a,知nrr=--------=-^,tanZEHrrBri=——=二，故

B、FV5BH2

V5A/5

NEaB=arcta」，即二面角B-BF-E的大小為arcta」（4分）

22

（H）因B1E=BF=DE=DF,EF為公共邊，故\DEF^\B{EF,F^EF=（6

分）

g11

設(shè)點(diǎn)D到|且|B|EF的距后為h,由VB「DEF=%一用防，侍4sApEF-BB]=—Sg聲，h,

故h=BB產(chǎn)a,即點(diǎn)D到平面&EF的距離為a。（8分）

（III）設(shè)EF與BD交于G,連BIG。

因?yàn)镋F_LBD,EFBB,,所以EFJ_面BBQE，面&EF_L面BBjDID,在面BD|內(nèi)作BK

1_B|G于K,延長(zhǎng)后交DD|于M,由兩平面垂直的性質(zhì)定理知BMJ_面B〕EF,即在DDI

上存在適合條件的點(diǎn)M。（10分）

在平面BD1中，因

AB\BGSbBDM,故晅=弛~,又BG=^a,,B=42a,,B,=a,故M

BGDM412

為DDi的中點(diǎn)。

（12分）

14、解：（I）由條件得，a+3=—,aP=-1（2分）

2

不妨設(shè)X]Vx2,則0>4（xrQ）（X2-B）=4x1X2-4（QX2+Bx]）+4aB=4*涇-2

（a+B）（X1+X2）+4aB+2（a-B）（X1-X2）>4乂兇?2（。+8）（X|+X2）+4。0=4X]X2

-t（X1+X2）-4

故4x]X2-t（X1+X2）-4<0（5分）

t-J產(chǎn)+16門t++16

（ID依據(jù)意,~'4-'8~~4—

_QQ

所以/（a）=..°,f（〃=-°--,&f（a）?于（0）=-AY0（7分）

V/2+16-/yjr+l6+t

又任取X],x2e\a,且％Yx2,則

i6崢部導(dǎo)7

由（I）知，/&）一/（x2卜0,f（x）在區(qū)間a,0上是增函數(shù)。（9

分）

故源x="夕"Qfmin=/1a）Y0（11分）

g（t）=以B）-/（?）=1f（/3）I+"（a）mA/|/（^）|-|/（a）|=2

Q

當(dāng)且僅當(dāng)/（/?）-f（a）=2,即t..—=2,亦即t=0時(shí)取等號(hào)。

"+16+E

故g（t）的最小值為2。（13分）

15、

解：由4.2-%.嚴(yán)（力?3）a..[+2）4?明?[=（川+2）

（rt+1）（<2N-a.7）=…+2）?/x+1）?rr…4?3?（az-...............4'

故%口包?（々「a”（"3一6）+???+（/-%7）

=1+2!+3!+???+力!（n^l）...............8'

由于5=1.8=3,心=9,44=33.5=153■此時(shí)153被9整除..............10’

當(dāng)m35時(shí)而06時(shí)"！被9整除，于是當(dāng)根＞5時(shí)，.被9整

除，故所求的n的最小值為5（13分）

16、解：J］輸入m,J?輸入n時(shí)，輸出結(jié)果記為f(m,n),設(shè)f(m,n)=k,則f(1,1)

=1.f(m,n+1)=f(m,n)+2,f(m+1,1)=2f(m,1)(2分)

(I)因?yàn)閒(l,n+1)=f(1,n)+2,故f(l,1),f(1,2),…，f(1,n),…組成以

f(1,1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列。

所以，f(l,n)=f(1,1)+2(n-1)=2n-1；(5分)

(II)因?yàn)閒(m+1,1)=2f(m,1),故f(1,1),f(2,1),f(m,1)…組成以f

(L1)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

所以，f(m,1)=f(1,1)?2m-1=2m-1,(8分)

(III)因?yàn)閒(m,n+1)=f(m,n)+2,故f(m,1),f(tn,2),…，f(m.n).…組成

以f(m,1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列。

所以，f(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2'n-l+2n-2,f(2002,9)=22001+16(13分)

17、解：(I)連MT、MA、MB,顯然M、T、A三點(diǎn)共線，且|乂人卜|乂1'|=陵1'|=285。

又|MT|=|MB|,故|MAHMB|=2cos6,其中AB=2sin6,

故點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為28S。的雙曲線的靠近焦點(diǎn)B的一支

(II)顯然|MN|的最小值f(。)即為如圖所示的|MT|(N和T重合)。

|MT|=|MA|-|AT|

=sin6+cos。-2cos6=sin6-cos6,

故f{0}=sin6-8s6=V2sin(6-?),----.A

由.yey■，知oye—7y7,由此得oy/(e)