勾股定理 第1-3課時 學(xué)案 數(shù)學(xué)八年級下冊人教版

17.1勾股定理(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解勾股定理的文化歷史背景，體驗勾股定理的探索過程.

2.會直接運用勾股定理進行簡單的計算.

重點：勾股定理的內(nèi)容和證明.

難點：探索和驗證勾股定理的過程.

預(yù)習(xí)導(dǎo)入

1.如圖1所示是格點圖，每個小正方形的邊長都為1,三個正方形P,Q,R的頂點都在

格點上.

(1)仔細觀察圖1中三個正方形，可以直接數(shù)出S正方彩產(chǎn)=AC2,S正方彩

:=BC2，S正方形R==AB2,這三個面積之間的關(guān)系是S正方)BR

(2)圖1中的AABC是____________三角形，直角邊是AC和,它的斜邊是

,由(1)知，AC2+BC2=()2.

圖1

2.根據(jù)1的結(jié)果猜想：在RtAABC中，ZC=90°,則直角邊BC,AC和斜邊AB滿足關(guān)

系式.

典例精講

典例1如圖2,這個圖案是趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的

“趙爽炫圖”：四個全等的直角三角形圍成一個大正方形.記

其中一個直角三角形為RtaABC,其直角邊長為a和b,斜邊

長為c,如圖2所示.根據(jù)圖2,回答下列問題：

(1)以AB為邊的正方形的面積為;

(2)RtZXABC的面積為;

(3)內(nèi)部小正方形的面積為;

(4)請根據(jù)“四個直角三角形的面積的和+小正方形的面積=

以AB為邊的大正方形的面積”推導(dǎo)出a,b,c之間的關(guān)系.

【變式延伸】

1.如圖3,“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，若圖中大正方形的面積為40,小

正方形的面積為5,則RtAABC的面積是.

2.如圖4,“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在RtZ\ABC中，AC=b,BC=a,

ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為40,小正方形的面積為5,則(a+b)?的值為().

A.75B.45C.35D.5

典例2在RtZ\ABC中，ZC=90",NA,ZB,NC的對邊分別為a,b,c,則

(1)如果a=6,b=8,那么c=；

(2)如果b=4,c=5>那么a=.

【變式延伸】

1.直角三角形的兩直角邊長分別為4,5,則第三邊長為().

A.3B.aC.8D.無法確定

2.在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,NA,ZB,NC的對邊分別為a,b,c,若a=l,

則c=.

四、階梯訓(xùn)練

A組

1.在RtZ\ABC中，ZA=90°,則下列各式不成立的是（）.

A.BC2=AB2+AC2

B.AB2=AC2=BC2

C.AB2=BC2-AC2

D.AC2=BC2-AB2

2.-■個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,下列說法正確的是（）.

A.斜邊長為25B.三角形周長為25

C.斜邊長為5D.三角形面積為12

3.在RtZkABC中,斜邊AB=1,則AB?+BC2+AC2的值是（）.

A.2B.4C.6D.8

4.如圖8,在下列橫線上填上合適的值：

5.如圖9,三個正方形中的兩個的面積Si=25,52=144,則另一個的面積S3為

6.在RtZ\ABC中，ZA,ZB,ZC的對邊分別為a,b,c.若a：b=3：4,c=15,求a,b的長.

7.如圖10,在△ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,CDJ_AB于點D,求

(1)Z\ABC的面積；

(2)CD的長。

BD

圖10

B組

8.如圖11,已知4ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜邊AC為直角邊，畫

第二個等腰Rt^ACD,再以Rt^ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt^ADE,…，依此

類推，則第2015個等腰直角三角形的斜邊長是.

9.勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一顆璀璨明珠，它的證明在數(shù)學(xué)上率創(chuàng)奇跡,下面介紹辛普松證法。

作邊長是a+b的正方形ABCD,把正方形ABCD劃分成如圖12①的幾個部分，則正方形ABCD

的面積可表示為;把正方形ABCD劃分成如圖12②的幾個部分,

則正方形的面積可表示為O

?.?正方形ABCD的面積相等，

/.=,即a2+b'c)

圖12

【參考答案】

17.1勾股定理（1）

預(yù)習(xí)導(dǎo)入

1.(1)1,1,2,S正方形p+S正方形Q；(2)直角,BC,AB,ABo

2.AC2+BC2=AB2.

典例精講

【例1】(1)c2；(2)—ab；(3)(b-a)2；(4)c2=a2+b2

2o

1.9.2.A.

[例2](1)10；(2)3o

l.B.2.0。

階梯訓(xùn)練

l.B.

2.C.

3.A.

5

4.10;-o

2

5.169.

6.a=9,b=12.

7.(1)6；(2)—o

5

9.a2+b2+2ab,2ab+c2;a2+b2+2ab,2ab+c2.

17.1勾股定理（2）

五、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.用勾股定理解決簡單的實際問題.

2.能根據(jù)實際情景建立數(shù)學(xué)模型，樹立數(shù)形結(jié)合的思想.

重點：勾股定理的實際應(yīng)用.

難點：靈活應(yīng)用勾股定理解決實際問題.

六、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

1.根據(jù)圖1,寫出勾股定理的表達式

2.求出圖2中各直角三角形中未知的邊.

七、典例精講

典例1如圖3,長13m的梯子靠在墻上，梯子的底部離墻角5m,則梯子的頂端離地面的

距離AB=m.

圖3

【變式延伸】

1.如圖4,一個長5m的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上，這時A0的距離為4m,如果

梯子的頂端A沿墻下滑1m,m.

7.如圖5,為安全起見，幼兒園打算加長滑梯，將其傾斜角由45。降至30。.已知滑梯AB

的長為3m,點D,B,C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是,

典例2一個門框的尺寸如圖6所示，一塊長4m,寬3m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？請說

明理由.

【變式延伸】

1.小東拿著一根長竹竿進一個寬3米、高4米的長方形城門（假設(shè)把城門、竹竿置于同一

個平面內(nèi)），他先橫著拿不進去，又豎起來拿，結(jié)果竿比城門高0.5米，那么小東能把竹竿

拿進城門嗎？為什么？

2.有一根長70cm長的木棒要放在長、寬、高分別是50cm,40cm,30cm的木箱中，能放

進去嗎？請說明理由.

八、階梯訓(xùn)練

A組

1.小明在平地上以1.5米"少的速度向東走了80秒，接著以2米/秒的速度向南走了45秒,

這時他離開出發(fā)點（）?

A.180米B.150米C.120米D.100米

2.如圖7,一棵大樹在一次強臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下樹尖部分與樹頭距離為

4米，這棵大樹原來的高度為（

A.7米B.9米D.8米

3.釣魚島和中國臺灣屬于同--地質(zhì)構(gòu)造，按照國際法釣魚島屬于中國.釣魚島周圍海域石

油資源豐富，地域戰(zhàn)略十分重要.如圖8,圖中A為臺灣基隆，B為釣魚島，圖中網(wǎng)格單

4.生活經(jīng)驗表明：靠墻擺放梯子時，若梯子底端離墻約為梯子長度的1時，則梯子比較

3

穩(wěn)定.現(xiàn)有一長度為9m的梯子，當(dāng)梯子穩(wěn)定擺放時，它的頂端能到達8.5m高的墻頭嗎？

（填“能”或者“不能”）.

5.學(xué)完勾股定理之后，同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺，測算學(xué)校旗桿的高度.小明設(shè)計

了一個方案：將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子恰好到達旗桿底端.然后將繩子向外拉.當(dāng)

把繩子接上1米時，此時一端到達離旗桿底端5米處，如圖9所示.可以算出旗桿高度是

米.

6.如圖10,圖中小方格邊長代表1cm,一只螞蟻沿圖中所示的折線由A點爬到了C點,

則螞蟻一共爬行了cm.

圖10

7.某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點偏離欲到達處200m,結(jié)果他在水

中實際游了520m,你能根據(jù)上述情況求出河的寬度嗎？說說你的理由.

B組

8.如圖11,如果你在南京路和中山路交叉口，想去動物園（環(huán)西路與曙光路交叉口），沿街

道走的最近距離是?

340/重慶路

圖11

10.如圖12,A,B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線ACB行駛,

現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線行駛.已知AC=10km,NA=30°,ZB=45°,則隧道開

通后，汽車從A地到B地比原來少走多長的路？（結(jié)果精確到0.1km,參考數(shù)據(jù)：\1.41）

【參考答案】

17.1勾股定理（2）

預(yù)習(xí)導(dǎo)入

l.a2+b2=c2.

①AC=8;②AC=1,BC=V3&B=>/2o

典例精講

【例1】12.1.1.2.3>/2?

【例2】連接AC,則AC與AB,BC構(gòu)成直角三角形。

根據(jù)勾股定理得AC=4AB2+BC2=QIS?+2.52=代<3。

故薄木板不能從門框內(nèi)通過.

1.能，理由略。2.能，理由略。

階梯訓(xùn)練

I.B.

2.D.

3.A.

4.不能。

5.12.

6.(5+V5jo

7.河寬480m,理由略。

8.

9.340.

10.3.4km。

17.1勾股定理（3）

九、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會利用勾股定理證明直角三角形全等的判定定理一一HL,能在數(shù)軸上表示出無理數(shù);

2.能運用勾股定理作出長度是無理數(shù)的線段，能在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點.

3.進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

重點：HL定理的證明和在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點.

難點：探索在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法過程.

十、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

1.如圖1,在RtAABC和RtAEDF中，BC=DF=2cm,AC=EF=7cm,貝UAB=cm,

ED=cm.由此可以得出結(jié)論：△，判定的依據(jù)是

圖1

2.2=1+1,BP（V2）2=12+12,若以和為直角三角形的兩直角邊長，則斜邊

長為及；13=9+4,BP（V13）2=（）2+（）:若以和為直角三角

形的兩直角邊長，則斜邊長為舊：同理，以（填正整數(shù)）為直角三角形

的兩直角邊長，則斜邊長為Jid.

十一、典例精講

典例1如圖2,ZA=ZB=90°，點E是AB上的一點，且AD=BE,Z1=Z2.

求證：Z\ADE也△BEC.

圖2

【變式延伸】

1.如圖3,AD〃BC,ZA=90°,點E是AB上的一點，且AD=BE,Z1=Z2.

證明：ADEC是等腰直角三角形.

2.如圖4,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD_LMN于D,BE±MN

于E.

求證：DE=AD+BE.

典例2我們在學(xué)習(xí)“實數(shù)”時，畫了這樣一個圖，即“以數(shù)軸上的單位長為'1'的線段作

一個正方形，然后以原點。為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交x軸于點A”，請根據(jù)

圖形解答下列問題：

（1）A點表示的數(shù)是多少？

（2）請類比上面的作法在數(shù)軸上畫出表示右的點B（請保留作圖痕跡）.

【變式延伸】

1.在數(shù)軸上作出表示W(wǎng)的對應(yīng)點（提示：+E）.

1.在數(shù)軸上作出表示2百的對應(yīng)點（提示：2代病="2+22,或者先作出石的線

段)?

十二、階梯訓(xùn)練

A組

1.如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（-2,3）,以點。為圓心，以0P的長為半

徑畫弧，交X軸的負半軸于點A,則點A的橫坐標(biāo)介于（）.

A.-4和-3之間B.3和4之間C.-5和-4之間D.4和5之間

2.等邊三角形ABC中，AB=1,則AB所對應(yīng)的高CD的值是（）.

3.下列能使兩個直角三角形全等的條件是（）.

A.一個銳角對應(yīng)相等B.兩個銳角對應(yīng)相等

C.一條邊對應(yīng)相等D.兩條邊對應(yīng)相等

4.如圖7,數(shù)軸上點A表示的數(shù)是

B

-20(0)2A

圖7

5.如圖8,D為RtaABC中斜邊BC上的一點，且BD=AB,過點D作BC的垂線，交AC于E,

若AE=12cm,則DE的長為cm.

6.如圖9,在數(shù)軸上畫出表示一加及‘區(qū)的點.

-4-3-2-101234

圖9

7.如圖