六年級(jí)奧數(shù)第27講-同余法解題（學(xué)）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：六年級(jí)課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：

授課主題第27講一一同余法解題

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理(加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，

教學(xué)目標(biāo)

和同余定理)，及中國剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)El少1果早

知識(shí)梳理

一、帶余除法的定義及性質(zhì)

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b#0)，若有a+b=q……r,也就是a=bXq+r,

0<r<b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：

(1)當(dāng)尸=0時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商

(2)當(dāng)rwO時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商

二、三大余數(shù)定理：

1.余數(shù)的加法定理

a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。

當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

2.余數(shù)的乘法定理

a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。

3.同余定理

若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：a三b(modm),

左邊的式子叫做同余式。

同余式讀作：a同余于b,模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：

若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被m整除

用式子表示為：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是整數(shù)，即m1(a-b)

三、中國剩余定理

1.中國古代趣題

韓信點(diǎn)兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1

人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則

兵有多少？

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小

公倍數(shù)為這些數(shù)的積)，然后再加3,得9948(人)。

2.核心思想和方法

對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中

的問題為例，分析此方法：

今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？

題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3,5,7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2,3,2.那么我們首先構(gòu)

造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1,并且還是5和7的公倍數(shù)。

先由5x7=35,即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2,不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的

，，下一個(gè)"倍數(shù)35*2=70是否可以，很顯然70除以3余1

類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1,同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。

最后再構(gòu)造除以7余1,同時(shí)又是3,5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：

2x70+3x21+2x45土和3,5,7]=233-和3,5,7],其中k是從1開始的自然數(shù)。

也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的

數(shù)。

例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，

那么我們可以計(jì)算2x70+3x21+2x45-2x[3,5,7]=23得到所求

如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”，

我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。

典例分析a

一、帶余除法的定義和性質(zhì)

例1、兩數(shù)相除，商4余8,被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415,則被除數(shù)是.

例2、用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933,求這2個(gè)

自然數(shù)各是多少？

例3、一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個(gè)兩位數(shù).

二、三大余數(shù)定理的應(yīng)用

例1、一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與

余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？

例2、被13除所得的余數(shù)是多少？

例3、777…77除以41的余數(shù)是多少？

1996個(gè)7

例4、求所有的質(zhì)數(shù)P,使得4獷+1與6P2+］也是質(zhì)數(shù).

例5、甲、乙、丙三數(shù)分別為603,939,393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)

所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少？

三、余數(shù)綜合應(yīng)用

例1、設(shè)2〃+1是質(zhì)數(shù)，證明：f，2?,…，〃2被2〃+1除所得的余數(shù)各不相同.

例2、從1,2,3,n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13,則n的最大值為多少？

例3、已知n是正整數(shù)，規(guī)定〃!=lx2xxn,令相=l!xl+2!x2+3!x3++2007!x2007,則整數(shù)m除以2008

的余數(shù)為多少？

例4、有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031,第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10,第二個(gè)

數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8,求兩個(gè)三位數(shù)的和。

例5、設(shè)2009?項(xiàng)的各位數(shù)字之和為A,A的各位數(shù)字之和為8,8的各位數(shù)字之和為C,C的各位數(shù)字之和

為。，那么。=?

四、中國剩余定理

例1、一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條件的數(shù).

例2、一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？

例3、一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,問滿足條件的最小自然數(shù)為多少？

例4、在200至300之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中，最小的能被3整除，中間的能被7整除，最大的能被

13整除，那么這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是多少？

例5、一個(gè)數(shù)除以3、5、7、11的余數(shù)分別是2、3、4、5,求符合條件的最小的數(shù).

P(Practice-0riented)一——實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練

課堂狙擊

1、有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù).

2、求3皿7的最后兩位數(shù).

3、試求不大于100,且使3"+7"+4能被11整除的所有自然數(shù)n的和.

4、將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位1234567891011121320072008,

試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù).

5、Ix3x5xX1991的末三位數(shù)是多少？

6、有一個(gè)數(shù)，除以3余2,除以4余1,問這個(gè)數(shù)除以12余幾?

＞課后反擊

1、一個(gè)兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)。

2、求143給除以7的余數(shù).

3、若。為自然數(shù)，證明則儂加一。^).

4、將自然數(shù)1,2,3,4……依次寫下去，若最終寫到2000,成為12319992000,那么這個(gè)自然數(shù)除以99

余幾？

5、一個(gè)大于10的數(shù)，除以3余1,除以5余2,除以11余7,問滿足條件的最小自然數(shù)是多少？

6、對(duì)任意的自然數(shù)n,證明A=2903"—803"-464"+261"能被1897整除.

直擊賽場…

1、（南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營試題）22期與20032的和除以7的余數(shù)是

2、（全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）六張卡片上分別標(biāo)上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個(gè)數(shù)，甲取3

張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另一個(gè)人的2倍，則丙手中卡

片上的數(shù)是.（第五屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競賽初賽）

3、（奧數(shù)網(wǎng)杯）已知a=200820082008,問：a除以13所得的余數(shù)是多少？

2008個(gè)2008

4、（“華杯賽"試題）3個(gè)三位數(shù)乘積的算式abcxbcaxcab=234235286（其中a>Z?>c）,在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)

右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的嬴是多少？

5、（華杯賽試題）如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（不到100個(gè)），小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針

方向，每隔兒孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔.他又

試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有

多少個(gè)孔嗎？

S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)

重點(diǎn)回顧

一、帶余除法的定義及性質(zhì)

二、三大余數(shù)定理:

1.余數(shù)的加法定理

2.余數(shù)的乘法定理

3.同余定理

四、中國剩余定理

1.中國古代趣題

2.核心思想和方法

名師點(diǎn)撥3

棄九法原理

在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一

個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是

這樣進(jìn)行的：

例如：檢驗(yàn)算式1234+1898+18922+678967+178902=889923

1234除以9的余數(shù)為1

1898除以9的余數(shù)為8

18922除以9的余數(shù)為4

678967除以9的余數(shù)為7

178902除以9的余數(shù)為0

這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2

而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。