圓錐曲線的方程（八）講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時八知識點(diǎn)一根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的定值問題典例1、如圖，已知橢圓分別是長軸的左、右兩個端點(diǎn)，是右焦點(diǎn)．橢圓C過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線上有兩個點(diǎn)，且，連接交橢圓C于另一點(diǎn)P（不同于點(diǎn)），證明：三點(diǎn)共線．

隨堂練習(xí)：已知橢圓：（）過點(diǎn)，且焦距與長軸之比為.設(shè)，為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別與直線：相交于，兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線與的斜率之積為定值；（3）判斷三點(diǎn)，，是否共線，并證明你的結(jié)論.典例2、已知橢圓，由E的上?下頂點(diǎn)，左?右焦點(diǎn)構(gòu)成一個邊長為的正方形.（1）求E的方程；（2）過E的右焦點(diǎn)F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點(diǎn)A，B，C，D，若由點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形的面積是，求，的方程.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓的離心率與拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)的動直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，從原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求動點(diǎn)的軌跡方程；（3）點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，設(shè)直線與平行，且直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的面積為1，求直線的方程．典例3、橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．知識點(diǎn)二根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù),根據(jù)弦長求參數(shù)典例4、已知橢圓與的離心率相同，過的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓、的交點(diǎn)從上到下依次為、、、，且，求的值．

隨堂練習(xí)：已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點(diǎn)的橢圓恰好過兩點(diǎn)②設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)，且與軸不重合，直線交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于，判斷點(diǎn)的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線被橢圓截得的弦長等于短軸長，求的值.典例5、已知橢圓，過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若不過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且滿足，試探究：l是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

隨堂練習(xí)：已知為橢圓上一點(diǎn)，上、下頂點(diǎn)分別為、，右頂點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為橢圓上異于頂點(diǎn)的一動點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn).典例6、已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點(diǎn)M是第一象限內(nèi)圓周上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)時，求的面積；（3）對，的周長是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時八答案典例1、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意可知：，，橢圓C的方程為；（2）證明：設(shè)，由于，因此，，直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程得：，整理得：，設(shè)，代入直線的方程得，直線的斜率為，直線的斜率為，，所以三點(diǎn)共線．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）定值為，證明見解析；（3），，三點(diǎn)共線，證明見解析.解:（1）由題知：，所以橢圓：.（2）由題知：，存在，且不為零，設(shè)，，，則，即..所以直線與的斜率之積為定值.（3），，三點(diǎn)共線，證明如下：設(shè)直線：，則直線：，將代入直線，得：，，，設(shè)直線：，，設(shè)，則，解得，所以，即，所以，，所以，為公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.典例2、答案：（1）（2）與的方程分別為：，解：（1）由已知，，，所以E的方程為.（2）又題意中，，①若或斜率不存在，易知，不符合題意；②若斜率存在，設(shè)，和的方程聯(lián)立得：，，，，設(shè)，同理可得，所以解得，，所以與的方程分別為：，，隨堂練習(xí)：答案：（1）離心率為；拋物線的方程為（2）（3）解：（1）因，，故，從而橢圓的離心率為．且橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為．于是由橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，得，即．從而拋物線的方程為．（2）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件，且點(diǎn)，在直線上，可得．于是．即．故動點(diǎn)的軌跡方程為：．（3）由于，設(shè)直線方程為，，．由得，故．則．又點(diǎn)到直線的距離，故由，解得，從而．因此，直線的方程為．典例3、答案：（1）（2）解：（1），離心率為.（2）由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）由題知橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，所以，即，又，所以，所以橢圓的離心率.（2）設(shè)、，聯(lián)立得，所以，可得，，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離，所以，解得，因此，橢圓的方程為．典例4、答案：（1）；（2）．解:（1）設(shè)橢圓的方程為，焦距為，將代入的方程可得，解得.由題意得，解得，因此的方程為；（2）設(shè)、、、，由，得（或），與、相交，只需當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，由韋達(dá)定理可得，所以，與的中點(diǎn)相同，所以，，即，整理可得，解得，滿足條件.隨堂練習(xí)：答案：（1）;（2）.解:（1）選①：由已知，將代入橢圓方程得：故橢圓方程為：選②：由題設(shè)可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，∴，又，即，∴，則，∵，∴橢圓定義知：動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為定值4，∴的軌跡方程為.（2）聯(lián)立與橢圓方程可得：，且，若交點(diǎn)為，則，，∴直線被橢圓截得的弦長為，而短軸長為2，∴，解得.典例5、答案：（1）（2）直線過定點(diǎn)解：（1）由題意，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)椋瑑蛇吰椒?，化簡整理得，易知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，其中．由，得，，設(shè)，則，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，得，解得，滿足，所以直線l的方程為：，即直線過定點(diǎn)隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，整理得，解得?當(dāng)時，，與矛盾.所以，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的斜率為，則.因?yàn)椋山獾茫?因?yàn)?，所以，整理得，所以?所以，所以.令，得.所以，所以.所以.所以直線過定點(diǎn).典例6、答案：（1）（2）周長是定值，且定值為4解：（1）因?yàn)榻?jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，令，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由得：，所以，設(shè)，，則：，所以.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，所以，因?yàn)?，又，所以，同?所以，即的周長是定值，且定