2017-2021年北京初二（上）期中數(shù)學(xué)試卷匯編：整式

1/12017-2021北京初二（上）期中數(shù)學(xué)匯編整式一、單選題1．（2020·北京·北師大二附中海淀學(xué)校八年級期中）如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以An為頂點的底角度數(shù)是（）A．（12）n?75° B．（12）n﹣C．（12）n﹣1?75° D．（12）2．（2019·北京·人大附中八年級期中）二次三項式2x2﹣3x﹣1的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別是（）A．2，﹣3，﹣1 B．2，3，1 C．2，3，﹣1 D．2，﹣3，13．（2020·北京市第四十三中學(xué)八年級期中）圖①是一塊邊長為1，周長記為p1的正三角形（三邊相等的三角形）紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為12的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪如圖掉正三角形紙板邊長的12）后，得圖③，④，記第n（n≥3）塊紙板的周長為PnA．14n-1 B．14n二、填空題4．（2020·北京市第六十六中學(xué)八年級期中）多項式9a2x5．（2021·北京·清華附中八年級期中）如圖，已知∠MON=30°，點A1，A2，A3，???在射線ON上，點B1，B2，B3，???在射線OM上，△A1B1A2，△A6．（2021·北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)八年級期中）觀察以下等式：第1個等式：21第2個等式：23第3個等式：25第4個等式：27第5個等式：29?按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：___；（2）寫出你猜想的第n個等式：___（用含n的等式表示）．7．（2020·北京·大峪中學(xué)八年級期中）當(dāng)x分別取2017、2016、2015、?3、2、1時，計算分式1x28．（2021·北京市第五十七中學(xué)八年級期中）（1）如圖1所示，∠A+∠B（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為∠A+∠9．（2020·北京·101中學(xué)八年級期中）我們把正n邊形（n>3）的各邊三等分，分別以居中的那條線段為一邊向外作正n邊形，并去掉居中的那條線段，得到一個新的圖形叫做正n邊形的“擴(kuò)展圖形”，并將它的邊數(shù)記為an．如圖1，將正三角形進(jìn)行上述操作后得到其“擴(kuò)展圖形”，且a3=12，圖2、圖3分別是正五邊形、正六邊形的（1）已知a3=12，a4=20，a5=30（2）已知1a3=13-14，1a410．（2020·北京市昌平區(qū)亭自莊學(xué)校八年級期中）下面是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第5行從左向右數(shù)第3個數(shù)是_____，第n（n≥3且n是整數(shù)）行從左向右數(shù)第n-2個數(shù)是_______11．（2019·北京市昌平區(qū)馬池口中學(xué)八年級期中）觀察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+12．（2019·北京·人大附中八年級期中）請寫出一個只含字母x、y，系數(shù)為3，次數(shù)為4的單項式：_______________.13．（2018·北京市第一五九中學(xué)八年級期中）觀察下列等式：第1個等式：a1=31×2×22=1第2個等式：a2=42×3×23=1第3個等式：a3=53×4×24=1第4個等式：a4=64×5×25=1按上述規(guī)律，回答以下問題：（1）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an=_____=_____；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=_____．14．（2019·北京市昌平區(qū)十三陵中學(xué)八年級期中）用邊長為1cm的小正方形搭如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是_______cm（用含n的代數(shù)式表示）．三、解答題15．（2021·北京四中八年級期中）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．下面我們依次對(a+b)n展開式的各項系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三個數(shù)1，2（1）根據(jù)表中規(guī)律，寫出(a（2）寫出(a+b)1216．（2021·北京四中八年級期中）小明同學(xué)研究如下問題：從1,2,3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3）這n個整數(shù)中任取a1<a他采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．他進(jìn)行了如下幾個探究：探究一：（1）從1，2，3這3個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？所取的2個整數(shù)1，21，32，32個整數(shù)之和345如上表，所取的2個整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？所取的2個整數(shù)1，21，31，42，32，43，42個整數(shù)之和345567如上表，所取的2個整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．（3）從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有_種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3）這n個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有_探究二：（1）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有__________種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥4）這n個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個探究三：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥5這n個整數(shù)中任取4個整數(shù)，這4個歸納結(jié)論：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3這n個整數(shù)中任取a1<a<n拓展延伸：從1，2，3，…，36這36個整數(shù)中任取_______________個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫出解答過程）17．（2019·北京市第五中學(xué)分校八年級期中）閱讀材料小明遇到這樣一個問題：求計算(??+2)(2??+3)(3??+4)所得多項式的一次項系數(shù)．小明想通過計算(??+2)(2??+3)(3??+4)所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法．他決定從簡單情況開始，先找(??+2)(2??+3)所得多項式中的一次項系數(shù)，通過觀察發(fā)現(xiàn)：也就是說，只需要x+2中的一次項系數(shù)1乘以2x+3中的常數(shù)項3，再用x+2中的常數(shù)項2乘以2x+3中的一次項系數(shù)2，兩個積相加1×3+2×2=7，即可得到一次項系數(shù)．延續(xù)上面的方法，求計算(??+2)(2??+3)(3??+4)所得多項式的一次項系數(shù)，可以先用x+2的一次項系數(shù)1，2x+3的常數(shù)項3,3x+4的常數(shù)項4，相乘得到12；再用2x+3的一次項系數(shù)2，x+2的常數(shù)項2,3x+4的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用3x+4的一次項系數(shù)3，x+2的常數(shù)項2，2x+3的常數(shù)項3，相乘得到18，最后將12,16,18相加，得到的一次項系數(shù)為46.參考小明思考問題的方法，解決下列問題：（1）計算（x+1）（4x+3）所得多項式的一次項系數(shù)為.（2）計算（x+1）（3x-2）（2x+5）所得多項式的一次項系數(shù)為.（3）若x2-3x+1是x418．（2018·北京四中八年級期中）如下表，方程1、方程2、方程3…是按照一定規(guī)律排列的一列方程．（1）猜想方程1的解，并將它們的解填在表中的空白處．序號方程方程的解（x116x1＝_________，x228x310x……………（2）若方程ax-1x-（3）請寫出這列方程中的第n個方程和它的解．19．（2020·北京·海淀實驗中學(xué)八年級期中）我們把正n邊形(n≥3)的各邊三等分，分別以居中的那條線段為一邊向外作正n邊形，并去掉居中的那條線段，得到一個新的圖形叫做正n邊形的“擴(kuò)展圖形”，并將它的邊數(shù)記為an，如圖1，將正三角形進(jìn)行上述操作后得到其“擴(kuò)展圖形”，且a3=12.圖3、圖4分別是正五邊形、正六邊形的(1)如圖2，在5×5的正方形網(wǎng)格中用較粗的虛線畫有一個正方形，請在圖2中用實線畫出此正方形的“擴(kuò)展圖形”；(2)已知a3=12,a4=20,a5=30，則圖4中a6=_____，根據(jù)以上規(guī)律，正n邊形的“擴(kuò)展圖形”的(3)已知1a3=13-20．（2018·北京·首師大附中一分校八年級期中）觀察下列各式（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…①根據(jù)以上規(guī)律，則（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=______．②你能否由此歸納出一般性規(guī)律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=______．③根據(jù)②求出：1+2+22+…+234+235的結(jié)果．

參考答案1．C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第n個三角形中以An為頂點的底角度數(shù)．【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180°-∠B2＝∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12同理可得，∠EA3A2＝（12）2×75°，∠FA4A3＝（12）3∴第n個三角形中以An為頂點的底角度數(shù)是（12）n﹣1×75°故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)這兩個性質(zhì)求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，探索其規(guī)律．2．A【分析】根據(jù)單項式的系數(shù)定義和多項式項的概念得出即可．【詳解】二次三項式2x2﹣3x﹣1的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別是2，﹣3，﹣1，故選A．【點睛】本題考查了多項式的有關(guān)概念，能熟記多項式的項和單項式的次數(shù)和系數(shù)定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．3．C【詳解】解：P1=1+1+1=3，P2=1+1+12=52P3=1+12+12+14P4=1+

12+12+14×2+1…∴p3-p2=114-52=14=P4-P3=238-114=18…則Pn-Pn-1=12故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．4．9【分析】找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)次冪即可確定公因式．【詳解】解：系數(shù)的最大公約數(shù)是9，相同字母的最低指數(shù)次冪是a2∴公因式為：9故答案為：9【點睛】本題主要考查公因式的定義和確定方法；掌握其定義是解題的關(guān)鍵．5．

2a

2n﹣1a【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同樣的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此規(guī)律即可得到AnBn＝2n﹣1a．【詳解】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此類推可得△AnBnAn+1的邊長為AnBn＝2n﹣1a．故答案為：2a；2n﹣1a．【點睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形邊長的變化規(guī)律．6．

211=【分析】根據(jù)題意可知等式左邊的分子都為2，分母為2n-1，等式右邊第一個加數(shù)分子為1，分母為n，第二個加數(shù)分子為1，分母為n(2n-1)，由此問題可求解．【詳解】解：∵第1個等式：21第2個等式：23第3個等式：25第4個等式：27第5個等式：29∴第6個等式：211由以上規(guī)律可得第n個等式：22故答案為211=1【點睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到數(shù)字之間的基本規(guī)律．7．2017【分析】把1、2、3、?2015、2016、2017分別代入1【詳解】解：∵1x∴把1、2、3、?2015、2016、2017分別代入1x2+x得，11×2、12×3、1∴所得結(jié)果相加的和為1=1-=1-1故答案為：20172018【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．

360°

720°

1080°

360【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對頂角和三角形內(nèi)角和的知識，得∠E（2）連接AE，F(xiàn)E交AH于點M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對頂角的知識，得∠MAE+∠MEA=∠F【詳解】（1）如圖所示，連接AD，AF交DE于點M∵∠AMD=∠EMF，∴∠∴∠BAF+∠B+∠C故答案為：360°（2）如圖，連接AE，F(xiàn)E交AH于點M∴∠F+∠G∵∠AME∴∠∴∠∵∠BAM∴∠∴∠∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：720°∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：360°=360°×二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：720°=360°×2=360°×∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：360°×∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：360故答案為：720°，1080°，【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對頂角、數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．9．

42；

99．【分析】（1）根據(jù)a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6找出規(guī)律，即可求出結(jié)果；（2）先拆分，再抵消得到方程13﹣1n+1＝97【詳解】解：（1）∵a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴a6＝6×7＝42，故答案為：42；（2）∵1a3=13-14，∴13-14+14解得n＝99．經(jīng)檢驗，n＝99是原方程的解．故答案為：99．【點睛】此題考查了圖形的變化規(guī)律、分式加減、分式方程，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律是解題關(guān)鍵．10．

23，

n【分析】根據(jù)被開方數(shù)是連續(xù)的自然數(shù)寫出即可；根據(jù)每一行的最后一個數(shù)的被開方數(shù)是所在的行數(shù)乘比行數(shù)大1的數(shù)寫出第（n-1）的最后一個數(shù)，然后被開方數(shù)加上（n-2）即可．【詳解】解：第5行從左向右數(shù)第3個數(shù)是20+3=∵第（n-1）的最后一個數(shù)是(n∴第n（n≥3且n是整數(shù)）行從左向右數(shù)第n-2個數(shù)是(n故答案為：23；n2【點睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出被開方數(shù)是連續(xù)自然數(shù)并且每一行的最后一個數(shù)的被開方數(shù)是所在的行數(shù)乘比行數(shù)大1的數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．n【分析】觀察分析可得1+13=(1+1)11+2，2+14【詳解】解：根據(jù)題意得：1+13=(1+1)11+2發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來是n+故答案為：n【點睛】本題主要考查二次根式，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，觀察各式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出用n表示的等式即可．12．3x3y【分析】根據(jù)單項式系數(shù)和次數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：根據(jù)單項式系數(shù)和次數(shù)的定義，一個含有字母x、y且系數(shù)為3，次數(shù)為4的單項式可以寫為：3x3y．故答案為3x3y．【點睛】本題主要考查了單項式，要注意所寫的單項式一定要符合單項式系數(shù)和次數(shù)的定義．13．

n+2n(n+1)?2n+1

【分析】（1）由前四個等是可以看出：是第幾個算式，等號左邊的分母的第一個因數(shù)是就是幾，第二個因數(shù)是幾加1，第三個因數(shù)是2的幾加1次方，分子是幾加2；等號右邊分成分子都是1的兩項差，第一個分母是幾乘2的幾次方，第二個分母是幾加1乘2的幾加1次方；由此規(guī)律解決問題；（2）把這20個數(shù)相加，化為左邊的形式相加，正好抵消，剩下第一個數(shù)分裂的第一項和最后一個數(shù)分裂的后一項，得出答案即可．【詳解】(1)用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an=n+2n(n(2)a1+a2+a3+…+a20=11×2﹣12×22+12×22﹣13×23+13×23﹣1故答案為(1)n+2n(n+1)?(2)12﹣1【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，從簡單情形入手，找出一般規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．14．【詳解】解：第一次：1個小正方形的時候，周長等于1個正方形的周長，是1×4=4；第二次：3個小正方形的時候，一共有4條邊被遮擋，相當(dāng)于少了1個小正方形的周長，所搭圖形的周長為2個小正方形的周長，是2×4=8；第三次：6個小正方形的時候，一共有13條邊被遮擋，相當(dāng)于少了3個小正方形的周長，所搭圖形的周長為3個小正方形的周長，是3×4=12；…．找到規(guī)律，第n次：第幾次搭建的圖形的周長就相當(dāng)于幾個小正方形的周長是n×4=4n．所以第n個圖形的周長為4n．15．（1）a5+5a4【分析】（1）根據(jù)表中規(guī)律即可得；（2）根據(jù)表中規(guī)律寫出a+【詳解】解：（1）根據(jù)表中規(guī)律得，(a（2）a+故答案為：66．【點睛】本題考查了整式，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．16．探究一：（3）7；（4）(2n-3)；探究二：（1）4；（2）(3n-8)；探究三：(4n-15)，(an-a2+1)，7或29．【分析】探究一：（3）根據(jù)探究一的（1）和（2）可得結(jié)果；（4）結(jié)合（3）即可得到結(jié)果．探究二：（1）根據(jù)探究一的方法即可得結(jié)果．（2）結(jié)合以上（1），總結(jié)規(guī)律，即可得結(jié)果．探究三：根據(jù)探究一和探究二的方法即可得結(jié)果．歸納結(jié)論：根據(jù)探究一和探究二的方法即可得結(jié)果．拓展延伸：根據(jù)以上結(jié)論：當(dāng)n=36時，36a-a2+1=204，解方程即可得a的值．【詳解】解：根據(jù)探究一：（1）從1，2，3這3個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有3種不同的結(jié)果；（2）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有5種不同的結(jié)果；（3）∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，∴從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有7種不同的結(jié)果．故答案為：7；（4）根據(jù)探究一：從1，2，3這3個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有3種不的結(jié)果；從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有5種不同的結(jié)果；從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有7種不同的結(jié)果；所以從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3)這n個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有(2n-3)種不同的結(jié)果．故答案為：(2n-3)；探究二：（1）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和分別為：6，7，8，9，共有4種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥4)這n個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有(3n-8)種不同的結(jié)果．故答案為：4；(3n-8)；探究三：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥5）這n個整數(shù)中任取4個整數(shù)，這4個整數(shù)之和共有(4n-15)種不同的結(jié)果．故答案為：(4n-15)；歸納結(jié)論：從1，2，3，…，n(n為整數(shù)，且n≥3)這n個整數(shù)中任取a(1＜a＜n)個整數(shù)，這a個整數(shù)之和共有(an-a2+1)種不同的結(jié)果．故答案為：(an-a2+1)；拓展延伸：當(dāng)n=36時，36a-a2+1=204，解得a1=7，a2=29．所以從1，2，3，…，36這36個整數(shù)中任取7或29個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果．【點睛】此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律，解決問題是關(guān)鍵．17．（1）7；（2）1;（3）a=-6；b=-3【分析】（1）根據(jù)兩多項式常數(shù)項與一次項系數(shù)乘積的和即為所得多項式一次項系數(shù)求解即可（2）根據(jù)三個多項式中兩個多項式的常數(shù)項與另一個多項式一次項系數(shù)的乘積的和即為所得多項式的一次項系數(shù)求解即可（3）由x4+ax2+bx+2中4次項系數(shù)為1，常數(shù)項為2可設(shè)另一個因式為：【詳解】（1）1×4+1×3=7（2）1×（-2）×5+3×1×5+2×1×（-2）=1（3）∵x4+ax2+∴設(shè)另一個因式為：x則（x2+mx+2）（∴1×m-3×1=0

1×2+1×1+（-3）×m=a

-3×2+1×m=b解得：m=3；a=-6；b=