廣東五校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024屆廣東五校高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡集合A，求出函數(shù)的定義域化簡集合B，再利用補(bǔ)集、并集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得或，即或，則，函數(shù)有意義，則，解得，則，所以.故選：C2.若對，恒成立，其中，，則（）A.3B.2C.0D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項式定理化簡等式右側(cè)得，從而求解即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：C.3.任給，對應(yīng)關(guān)系使方程的解與對應(yīng)，則是函數(shù)的一個充分條件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，，，則的范圍要包含.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對應(yīng)，，則，則的范圍要包含，故選：A．4.在正四棱錐中，分別為的中點，直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】連接，，根據(jù)得即為與所成的角，設(shè)，再根據(jù)幾何關(guān)系可求得，再根據(jù)，結(jié)合錐體體積求解即可.【詳解】連接，，如圖，設(shè)，由，得即為與所成的角，在中，易知，，解得.設(shè)，在中，①，因為，故，則在中，，即②，①②兩式相加求得，因為，解得.因為為的中點，故，因為，，所以三角形為等腰直角三角形，則在等腰直角三角形中，易求得到的距離即到底面的距離為，故到平面的距離為，，故所求三棱錐的體積為.故選：B5.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2022B.2023C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運算可得的方程的根為，進(jìn)而整理可得，取即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由題意可得：可得關(guān)于的方程的根為，故，整理得，即，令，可得，且2022為偶數(shù)，所以.故選：B.6.已知集合，若從U的所有子集中，等可能地抽取滿足條件“，”和“若，則”的兩個非空集合A，B，則集合A中至少有三個元素的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意分析集合A、B的特點，根據(jù)組合知識計算古典概型即可.【詳解】由，可得中沒有重復(fù)數(shù)字，由，則可得不為空集，則可將中10個數(shù)字分為5組，分別為2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，且每組數(shù)中的一個數(shù)如果在集合A中，另一個必在集合中，所以集合A中元素的個數(shù)小于等于集合中元素的個數(shù)，所以集合A中元素的個數(shù)可能為1，2，3，4，5，所以集合A的可能的個數(shù)為，所以.7.已知雙曲線的右焦點為F，過點F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求以及線段AB的中垂線的方程，進(jìn)而可求點D和，結(jié)合運算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則可得，則，設(shè)線段的中點，則，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，注意到雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.【點睛】方法定睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值（或范圍）．8.已知過點不可能作曲線的切線．對于滿足上述條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個不同的極值點，則a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求得的取值范圍，然后由進(jìn)行轉(zhuǎn)化，換元后通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)是曲線上的任意一點，，所以在點處的切線方程為，代入點得，，由于過點不可能作曲線的切線，則直線與函數(shù)的圖象沒有公共點，，所以函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值也即是最大值，則．對于滿足此條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個不同的極值點，等價于恒有兩個不同的變號零點，等價于方程有兩個不同的解．令，則，，即直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增．令，得．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．所以．因為，所以，所以．即實數(shù)a的取值范圍是．故選：A【點睛】求解切線有關(guān)問題，關(guān)鍵點有3個，第一個是要判斷已知點是在曲線上還是在曲線外；第二個是切點的坐標(biāo)，切點既在曲線上，也在切線上；第三個斜率，斜率可利用導(dǎo)數(shù)求得，也可以利用直線上兩點坐標(biāo)來求得.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則a的值可以是（）A.B.C.D.－1【答案】AD【解析】【分析】利用已知條件判斷的符號，求出不等式對應(yīng)方程的根，然后列出不等式求解即可．【詳解】關(guān)于的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，所以，因為時，不等式的解集中的整數(shù)有無數(shù)多個．不等式，對應(yīng)的方程為：，方程的根為：和；由題意知，，則，解得；當(dāng)時，不等式的解集是，解集中含有4個整數(shù)：0,1,2,3；滿足題意．當(dāng)時，不等式的解集是，解集中含有4個整數(shù)：,0,1,2；滿足題意．當(dāng)時，不等式的解集是,，此時，解集中含有5個整數(shù)：,0,1,2,3；不滿足題意．當(dāng)時，不等式的解集是,，，解集中含有整數(shù)個數(shù)多于4個，不滿足題意．綜上知，的值可以是和．故選：AD10.用長為3的鐵絲圍成，記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（）A.存在滿足成公差不為0的等差數(shù)列B.存在滿足成等比數(shù)列C.的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為D.可以完全覆蓋的最小圓的半徑為【答案】BCD【解析】【分析】利用余弦定理及等差中項結(jié)合條件可判斷A，利用等比中項的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷B，利用余弦定理及三角形面積公式可得三角形內(nèi)切圓半徑的最大值進(jìn)而判斷C，利用正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角形外接圓半徑的最小值判斷D.【詳解】依題意知，由余弦定理，得．對A，若成等差數(shù)列，則，所以，所以為常數(shù)列，故A錯誤；對B，若成等比數(shù)列，則，所以，即，所以當(dāng)為等邊三角形時成等比數(shù)列，故B正確；對C，由，得，解得或（舍），所以的面積的內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，故C正確；對D，由正弦定理可得：，其中為外接圓半徑，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，故D正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的CD項較難，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的內(nèi)切圓半徑及外接圓半徑，然后利用基本不等式及三角形的有關(guān)知識即得.11.已知拋物線的焦點為，點為拋物線上兩個位于第一象限的動點，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，延長交準(zhǔn)線于【答案】ACD【解析】【分析】易得拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，則，，求出的坐標(biāo)即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；結(jié)合B選項即可判斷C；結(jié)合A選項，求出，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，則，由，得，對于A，當(dāng)時，，則，，故A正確；對于B，當(dāng)時，可得，，則，設(shè)直線，把代入，可得，令，則，同理，則，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C，由B選項知，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，則，，，由選項A知，，，，故D正確．故選：ACD．【點睛】思路點睛：求三角形面積的比值可轉(zhuǎn)化為邊長的比值，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為相似比問題.12.已知函數(shù)，其中，則（）A.當(dāng)，，時，曲線既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形B.當(dāng)，，時，曲線要么是軸對稱圖形要么是中心對稱圖形C.當(dāng)，，時，曲線是中心對稱圖形D.當(dāng)，時，曲線可能是軸對稱圖形【答案】ABC【解析】【分析】A選項，等價于說明不存在實數(shù)，使，與為常數(shù)；B選項，即說明存在實數(shù)，使，與為常數(shù)；C選項，說明存在實數(shù)，使為常數(shù)；D選項，等價于說明不存在實數(shù)，使.【詳解】A選項，此時.則，.因，則不同時為0，則，則曲線不是軸對稱圖形；又，不同時為0，則不為常數(shù)，即曲線不是中心對稱圖形，故A正確；B選項，此時.則，.令，則，比較系數(shù)結(jié)合可得，則當(dāng)時，因，則，使，即時，曲線有對稱軸；當(dāng)時，，令，則時，因，則，使，即時，曲線有對稱中心；綜上，當(dāng)，，時，曲線要么是軸對稱圖形要么是中心對稱圖形，故B正確；C選項，此時.則，若曲線是中心對稱圖形，則為常數(shù)，即為常數(shù).則，則當(dāng)時，因，則，使，即當(dāng)，，時，曲線是中心對稱圖形，故C正確；D選項，此時.則.若曲線是軸對稱圖形，則，使或，與題設(shè)矛盾，故當(dāng)，時，曲線不可能是軸對稱圖形，故D錯誤.故選：ABC【點睛】結(jié)論點睛：設(shè)定義域為，圖象關(guān)于對稱；圖象關(guān)于對稱.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.在銳角三角形中角A、B、C的對邊分別為a，b，c，記，若，則___.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，然后對目標(biāo)式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化邊可得.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即.所以.故答案為：214.對于項數(shù)為10的數(shù)列，若滿足（其中為正整數(shù)，），且，設(shè)，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可得數(shù)列中相鄰兩項的差最大為，再根據(jù)數(shù)列的增減性計算即可.【詳解】因為，所以或，設(shè)，則數(shù)列中相鄰兩項的差最大為，要保證，則數(shù)列的項有增有減，假如中有個，增量最大為，則有項是減少的，則必有，所以，則或，取，取最大值，按最大連續(xù)增量計算，有，即中有最大值為，所以最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：說明數(shù)列中相鄰兩項的差最大為，數(shù)列的項有增有減，是解決本題的關(guān)鍵.15.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，都為偶函數(shù)，則______．【答案】520【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性，推出函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱以及關(guān)于點對稱，即可依次求得的值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，即可求得答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，即，則，即，故的圖象關(guān)于點對稱，且；又為偶函數(shù)，則，則，即，故的圖象關(guān)于點對稱，且，又將代入得，則；令，由可得，則；同理可得，則；因為，，所以，則；，由此可得組成了以0為首項，為公差的等差數(shù)列，故，故答案為：520【點睛】關(guān)鍵點睛：解答此類關(guān)于抽象函數(shù)的性質(zhì)類問題，要能綜合利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，比如函數(shù)的奇偶性和對稱性以及周期性等，解答本題的關(guān)鍵就在于要根據(jù)函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的對稱性，從而采用賦值法求值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而求解.16.已知等邊的邊長為2，將其繞著邊旋轉(zhuǎn)角度，使點旋轉(zhuǎn)到位置.記四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為，當(dāng)四面體的表面積最大時，__________；__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】第一空：通過圖形關(guān)系得到的面積為定值，當(dāng)時，面積最大，進(jìn)而得到；第二空：通過設(shè)的中點為，得到，即為四面體的外接球球心；通過線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而計算四面體體積，結(jié)合等體積法求得內(nèi)切球半徑，即可得到答案.【詳解】易得的面積為定值，又因為，顯然當(dāng)時，面積最大，即四面體的表面積最大，此時；當(dāng)四面體的表面積最大時，易知四面體的表面積最大值為，如圖，設(shè)的中點為，易知，所以，即為四面體的外接球球心，四面體的外接球半徑，因為，且，所以，即，因為，平面，，所以平面，四面體的體積為，又因為，所以，解得，所以.故答案為：；【點睛】思路點睛：本題考查棱錐表面積求法與球的內(nèi)切、外接問題.通過圖形關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合相關(guān)的公式進(jìn)而求解表面積；外接球常找出球心即可解得外接球半徑，而內(nèi)切球半徑往往通過等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列與的前項和分別為和，且對任意，恒成立.（1）若，，求；（2）若對任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）利用求通項公式，再求證是首項、公差均為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求；（2）由題設(shè)易得，等比數(shù)列前n項和公式求，進(jìn)而可得，裂項相消法化簡已知不等式左側(cè)，得恒成立，進(jìn)而求最小值.【小問1詳解】由題設(shè)，且，而，顯然也滿足上式，故，由，又，所以是首項、公差均為2的等差數(shù)列.綜上，.【小問2詳解】由，，則，所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.所以，則，，而，所以，所以對都成立，所以，故，則正整數(shù)的最小值為3.18.在銳角△中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求△內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正切函數(shù)的和差角公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由正弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，故【小問2詳解】由正弦定理：故因為在銳角△中，所以，得，所以．19.為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式和古典摡型的概率計算公式，即可看求解；（2）由題意求得，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；【小問2詳解】解：由題可知，，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點.20.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，，，，．（1）當(dāng)點N為線段AD的中點時，求證：直線平面EFN；（2）當(dāng)點N在線段AD上時（包含端點），求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的表達(dá)式，進(jìn)行合理變形，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得余弦的最值，即可求得答案.【小問1詳解】證明：因為點N為線段AD的中點，且，所以，因為，且四邊形ABCD為正方形，故，所以，而平面，故平面；【小問2詳解】設(shè)正方形ABCD的中心為O，分別取的中點為，設(shè)點H為線段AD的中點，由（1）知四點共面，且平面，連接平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由題意可知四邊形為等腰梯形，故,平面，故平面，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則，又，故，設(shè)到底面的距離為h，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，且，故，又，故，則，，，設(shè)，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，故，令，則，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，即平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值得取值范圍為.【點睛】難點點睛：本題考查了線面垂直的證明以及空間面面角的向量求法，解答的難點在于求出平面夾角的余弦值之后，要對其表達(dá)式進(jìn)行變形，從而結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得余弦的最值，從而得到其取值范圍.21.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).（1）證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點；（2）求函數(shù)零點個數(shù).【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）二次求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理得到在區(qū)間上存在唯一極大值點；（2）結(jié)合第一問，分三種情況進(jìn)行討論，求得的零點個數(shù).【小問1詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，且，令，，所以，，令，，則，當(dāng)時，，所以，即在上單調(diào)遞減，又，，，則存在，使得，即存在，使得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以為的唯一極大值點，故在區(qū)間上存在唯一極大值點；【小問2詳解】由（1）知，，，①當(dāng)時，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以存在，使得，所以當(dāng)，時，，