浙江省杭州二中2025屆高一下數學期末調研模擬試題含解析

浙江省杭州二中2025屆高一下數學期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知變量與負相關，且由觀測數據算得樣本平均數，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是A． B．C． D．2．已知等比數列的前項和為，若，，則數列的公比()A． B． C．或 D．以上都不對3．點（4，0）關于直線5x＋4y＋21＝0的對稱點是（）．A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（－6，－8）4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．5．已知a，b，c為實數，則下列結論正確的是（）A．若ac＞bc＞0，則a＞b B．若a＞b＞0，則ac＞bcC．若ac2＞bc2，則a＞b D．若a＞b，則ac2＞bc26．在中，，則（）A． B． C． D．7．已知是等差數列的前項和，.若對恒成立，則正整數構成的集合是（）A． B． C． D．8．在等差數列中,，則（）A．5 B．8 C．10 D．149．若是一個圓的方程，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．10．某校有高一學生人，高二學生人，高三學生人，現教育局督導組欲用分層抽樣的方法抽取名學生進行問卷調查，則下列判斷正確的是（）A．高一學生被抽到的可能性最大 B．高二學生被抽到的可能性最大C．高三學生被抽到的可能性最大 D．每位學生被抽到的可能性相等二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關于的不等式的解集是，則______．12．已知中，，且，則面積的最大值為__________.13．在半徑為的球中有一內接正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直底面），當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是__________．14．已知數列滿足，則__________.15．已知數列是等差數列，記數列的前項和為，若，則________.16．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知兩個不共線的向量a，b滿足，，．（1）若，求角θ的值；（2）若與垂直，求的值；（3）當時，存在兩個不同的θ使得成立，求正數m的取值范圍.18．已知公差不為零的等差數列滿足：，且成等比數列．（1）求數列的通項公式．（2）記為數列的前項和，是否存在正整數，使得？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由．19．如圖，在三棱柱中（底面為正三角形），平面，，，，是邊的中點.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.20．已知圓以原點為圓心且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于、兩點，過、兩點分別作直線的垂線交軸于、兩點，求線段的長．21．已知數列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.（1）求數列{an}的通項公式：（2）若對任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求實數m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由于變量與負相關，得回歸直線的斜率為負數，再由回歸直線經過樣本點的中心，得到可能的回歸直線方程.【詳解】由于變量與負相關，排除A,B，把代入直線得：成立，所以在直線上，故選D.【點睛】本題考查回歸直線斜率的正負、回歸直線過樣本點中心，考查基本數據處理能力.2、C【解析】

根據和可得，解得結果即可.【詳解】由得，所以，所以，所以，解得或故選：C.【點睛】本題考查了等比數列的通項公式的基本量的運算，屬于基礎題.3、D【解析】試題分析：設點（4，0）關于直線5x＋4y＋21＝0的對稱點是，則點在直線5x＋4y＋21＝0上，將選項代入就可排除A,B,C,答案為D考點：點關于直線對稱，排除法的應用4、A【解析】

由以及，結合二倍角的正切公式，可得，根據三角形的內角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據面積公式可得答案.【詳解】因為，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據基本不等式得，即，當且僅當時，等號成立.所以.故選：A【點睛】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.5、C【解析】

本題可根據不等式的性質以及運用特殊值法進行代入排除即可得到正確結果．【詳解】由題意，可知：對于A中，可設，很明顯滿足，但，所以選項A不正確；對于B中，因為不知道的正負情況，所以不能直接得出，所以選項B不正確；對于C中，因為，所以，所以，所以選項C正確；對于D中，若，則不能得到，所以選項D不正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式性質的應用以及特殊值法的應用，著重考查了推理能力，屬于基礎題．6、B【解析】

根據向量的三角形法則進行轉化求解即可．【詳解】∵，∴，又則故選：B【點睛】本題考查向量加減混合運算及其幾何意義，靈活應用向量運算的三角形法則即可求解，屬于基礎題.7、A【解析】

先分析出，即得k的值.【詳解】因為因為所以.所以,所以正整數構成的集合是.故選A【點睛】本題主要考查等差數列前n項和的最小值的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解析】試題分析：設等差數列的公差為，由題設知，，所以，所以，故選B.考點：等差數列通項公式.9、C【解析】

根據即可求出結果.【詳解】據題意，得，所以.【點睛】本題考查圓的一般方程，屬于基礎題型.10、D【解析】

根據分層抽樣是等可能的選出正確答案.【詳解】由于分層抽樣是等可能的，所以每位學生被抽到的可能性相等，故選D.【點睛】本小題主要考查隨機抽樣的公平性，考查分層抽樣的知識，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用二次不等式解集與二次方程根的關系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與系數的關系，得到和的值，得到答案.【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以關于的方程的解是，由根與系數的關系得，解得，所以.【點睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關系，屬于簡單題.12、【解析】

先利用正弦定理求出c=2,分析得到當點在的垂直平分線上時，邊上的高最大，的面積最大，利用余弦定理求出，最后求面積的最大值.【詳解】由可得，由正弦定理，得，故，當點在的垂直平分線上時，邊上的高最大，的面積最大，此時.由余弦定理知，，即，故面積的最大值為.故答案為【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.13、【解析】

根據正四棱柱外接球半徑的求解方法可得到正四棱柱底面邊長和高的關系，利用基本不等式得到，得到側面積最大值為；根據球的表面積公式求得球的表面積，作差得到結果.【詳解】設球內接正四棱柱的底面邊長為，高為則球的半徑:正四棱柱的側面積：球的表面積：當正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差為：本題正確結果：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關問題的求解，關鍵是能夠根據外接球半徑構造出關于正棱柱底面邊長和高的關系式，利用基本不等式求得最值；其中還涉及到球的表面積公式的應用.14、【解析】

數列為以為首項，1為公差的等差數列?！驹斀狻恳驗樗杂炙詳盗袨橐詾槭醉棧?為公差的等差數列。所以所以故填【點睛】本題考查等差數列，屬于基礎題。15、1【解析】

由等差數列的求和公式和性質可得，代入已知式子可得．【詳解】由等差數列的求和公式和性質可得：＝，且，∴.故答案為：1．【點睛】本題考查了等差數列的求和公式及性質的應用，屬于基礎題．16、1.【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【點睛】本題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】

（1）由題得，再寫出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等價于在有兩解，結合三角函數分析得解.【詳解】（1）由題得所以角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，結合三角函數圖象可得，，即，又因為，所以.即m的范圍.【點睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標表示，考查向量的模的計算，考查三角函數圖像和性質的綜合應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.18、（1）（2）存在，最小值是．【解析】

（1）利用等比中項的性質列方程，將已知條件轉化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數列的通項公式.（2）首先求得數列的前項和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】（1）設等差數列的公差為（），由題意得化簡，得．因為，所以，解得所以，即數列的通項公式是（）．（2）由（1）可得．假設存在正整數，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【點睛】本小題主要考查等比中項的性質，考查等差數列通項公式的基本量計算，考查等差數列前項和公式，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）由，為的中點，可得，又平面，可得，即可證明平面，結合平面，即可證明平面平面；（2）設點到平面的距離為，由等體積法，，即，求解即可.【詳解】（1）證明：，為的中點，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，平面，平面，.，，，.設點到平面的距離為，由，得，即，，即點到平面的距離為.【點睛】本題考查了面面垂直的證明，考查了利用等體積法求點到面的距離，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）計算原點到直線的距離，作為圓的半徑，從而可得出圓的方程；（2）計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可計算出，過點作，垂足為，求出直線的傾斜角為，再利用銳角三角函數的定義可求出.【詳解】（1）把直線化為一般式，即，到直線的距離為，圓的半徑為，圓的方程為；（2）直線的一般方程為，點到直線的距離為，圓的半徑為，則，過點作，垂足為，．又的傾斜角為，，．因此，線段的長為．【點睛】本題考查圓的方程的求解，同時也考查了直線截圓所得弦長的計算，涉及了銳角三角函數的定義的應用，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}【解析】

（1）由已知，根據遞推公式可得，，……，，所有式子累加可得；（2）在（1）得出的基礎之上解不等式可得實數的取值范圍.【詳解】（1）由已知，根據遞推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，由累加法得，當n≥2時，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，