新教材2023年高中數(shù)學第5章三角函數(shù)綜合測試新人教A版必修第一冊

第五章綜合測試

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的）

1.若扇形的面積為16cm2,圓心角為2rad,則該扇形的弧長為（B）

A.4cmB.8cm

C.12cmD.16cm

［解析］由得16=；X24,A=4,所以/=a?E=8.

2.COS275°+COS215°+COS75°?cos15°的值是（A）

5季

A-4B-2

C-ID.

[解析]原式=sin2].50+COS215°+sin15°cos15°=l+-sin30°=-

<3JI八

sinl-。J?cosJi+。

3.已知角。終邊經(jīng)過點（3,-4）,則一%——---77-——「等于（C）

sinj，〈?cos受+。

44

A.B.

33

33

C.D.

44

4—res0?—cos0]

［解析］由已知，tan所求原式可化為

夕=一§'—sin9tan。

_3

=］

it

4.下列函數(shù)中，最小正周期為n,且圖象關(guān)于直線矛=/對稱的是（A）

0

A.尸sin（2x+~^jB.尸sin仔+~^

C.尸sin（2x-D.尸sin（2x-

JI

［解析］由最小正周期為兀，可排除B,再將x=為代入函數(shù)，可知A正確.

b

ji17

5.若0<4〈〒<￡〈兀，且cos0=--,sin（a+￡）=A，則sin。的值是（C）

z6y

5

B.27

1D.

c23

3-27

JI兀3兀17

［解析］由0<4<丁<￡〈兀，知丁+且cos￡=一鼻，sin（a+￡）=G，得

乙乙乙Ou

_4^2

sin￡=^~，cos(。+￡)

—9,

sinq=sin[(4+￡)—￡]

=sin(q+￡)cos￡—cos(a+￡)?sin￡=J.故選C.

O

6.已知d是實數(shù)，則函數(shù)f(x)=l+asinax的圖象不可能是(D)

9JI

［解析］本題用排除法，對于D選項，由振幅以〉1,而周期片南應(yīng)小于2”,與圖

中7>2兀矛盾.

7.y=sinf2^r——J—sin2x的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（B）

JIJIJI7JI

A.B.,

6I12-12

5兀13兀JI5JI

~12f~L2~

JI

sin[2JT——j—sin2x.兀.

［解析］ysin2^rcos~—cos2^rsin~—sin2x

JIJI\/JI其增區(qū)間是函數(shù)y=sin（2x+1］的減區(qū)

sin2^cos-+cos2^rsin-1=—sinl2^r+-

JIJIJI7JI

間，即2k式+于W2x+?W2A兀4-?'?A兀以+-^~,當k=0時，

4u

JI7JI

129~12

8.函數(shù)Mx）=6）一|sin2x|在0,早上零點的個數(shù)為（C）

A.2B.4

C.5D.6

一5

-Isin2x|在0,-n上的零點個數(shù)為5.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項

中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

4Ji

9.與角一飛一終邊相同的角是（CD）

Tl

r

10n

4n兀、4兀

［解析］與角一m終邊相同的角是2次“+一.，kez.令k=\,可得與角一1r終

O\JO

2兀4兀10兀

邊相同的角是飛-，令k=一l,可得與角一亍終邊相同的角是一「廠，故選CD.

10.下列結(jié)論正確的是（ABD）

4兀

A.一廠是第二象限角

B.函數(shù)廣（x）=|sinx|的最小正周期是兀

八?,sina+cosQ

C.右tana=3,貝廣:------------=4

sina—cosQ

JI

D.若圓心角為石的扇形的弧長為八則該扇形的面積為3n

4兀

［解析］根據(jù)象限角的范圍，一二為第二象限角，故A正確；因為函數(shù)了=$行矛的最

O

小正周期是2兀，所以函數(shù)廣（x）=|sinx|的最小正周期是兀，故B正確；若tan。=3,

sina+cosQtan。+1兀

sin十cos:an十=2,故C錯誤；若圓心角為式的扇形的弧長為n，則該扇

sinCL—cosatan<2—16

形的半徑為6,所以扇形的面積為S=3?口-6=3JI,故D正確.故選ABD.

JIJI7兀

11.已知G>0,?！捶?，若-和是函數(shù)F(x)=cos(Gx+0)的兩條相鄰的

266

JI

對稱軸，將尸/1(X)的圖象向左平移/個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則下列說法正

0

確的是(BD)

A.尸g(x)是奇函數(shù)

B.y=g(x)的圖象關(guān)于點1—十，0)對稱

一一...兀

C.尸g(x)的圖象關(guān)于直線X=”~對稱

D.尸g(x)的周期為2以

JI7

［解析］：￡=《~和萬=&兀是兩條相鄰的對稱軸，

00

(7吟

7=2X|-Ji——1=2幾,「?G=1.

f{x)=cos(x+0).

JI(nA(JI、JI

①若函數(shù)在x=不處取得最大值，則/rH=cos|—+^1=1,—+(i)=2k^,。=

JIJI(JIAJI

2A兀—丁當A=0時，(P=——,此時F(x)=cosx—0,將F(x)圖象向左平移二■個單位

66\076

「，TlTl\

得到g(x)=C0S卜+至一~=COSx.所以B正確.

JI

②若函數(shù)在x=高處取得最小值，則

6

舊=cos/+0)=—1,

JI

—+0=24?！猲，

6

7,5

0=2A兀一/兀，當A=1時，0=2?兀，

66

,JI

0不存在.

函數(shù)/'(X)的最小正周期為2”,故D正確，故選BD.

12.已知函數(shù)/'(x)=sinxcosx-cos^x,下列命題正確的是(BC)

A.f(x)的最小正周期為2n

B.Hx)在區(qū)間(0,上為增函數(shù)

3JI

C.直線x=『是函數(shù)F(x)圖象的一條對稱軸

O

D.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=羋sin2x的圖象向右平移g個單位長度得到

No

「ELLi/、11+cos2x\l2(c兀)1口小…，八兀、

［解析］f{x)=2sin2x-------2------=2sin^2jr—Tj-2?顯然人錯；入金(。，

時，2x——^\―",0I,函數(shù)_f(x)為增函數(shù)，故B正確；令2才一彳=5+"兀，kRZ,得

矛=1口+等，E,顯然為=等是函數(shù)F(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；g(x)=

oZo

乎?sin2x的圖象向右平移］■個單位得到y(tǒng)=J^?sin［2(x—■^，］=坐55(2工一1)的圖

象，故D錯.故選BC.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.計算sin330°+cos240°+tan180°=-1.

11

+O

----一-

［解析］原式=一sin30°—cos60°22

14.木雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)木雕精致細膩、氣韻生

動、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形木雕，可視為扇形。切截去同心扇形以8所得部分.已知

(24=0.6m,AD=\.4m,N4必=100°,則該扇環(huán)形木雕的面積為默JLm2.

O

100JiX0.6+1.42100JiX0.6291n

［解析］環(huán)形面積=5扇砌一S扇力加故答案

36036090°

.91

為麗”?

15.函數(shù)f(x)=sin(ox+。)(&>0,0G［0,2n))的部分圖象如圖所示,則f(2022)

—2,

7

/Ji\JIJI

由點(1,1)在函數(shù)圖象上，可得F(l)=sin%+0)=1,故1+0=2左幾十2(4￡2),

JI

所以0=2A兀+彳(A《Z),

JI

又0G［0,2n),所以0=1，

(JinA

故F(x)=sinLy^+Yj-

/、(2022兀吟(T吟3兀A/2

所以f(2022)=sin［-+司=sin(505兀+~^-J=—sin^^=-2,

16.函數(shù)F(x)=cos(Gx+j~x￡R,G>0)的最小正周期為兀，將p=F(x)的圖象

，兀、JI

向左平移0〈句個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則。的值為g.

［解析］F(x)的最小正周期為兀，.??G=2,???/1(x)=cos(2x+?)將力?左移0個單

位(0<。<蕓，得到g(x)=cos(2x+20+高的圖象，由于圖象關(guān)于原點對稱，.?.2

J［k313TJT

=k^i+—,(?￡2)解得0=f+三~(攵￡2).當A=0時，^=—

/Zoo

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)(1)已知角。的終邊經(jīng)過點尸(4a,—3a)(aW0),求2sina+

cosa的值；

(2)已知角。終邊上一點尸與x軸的距離與y軸的距離之比為34,求2sina+cosa

的值.

___—3d3

［解析］⑴+*=5|a|,.??當a>0時，r=5a,Asina=——cos

v5a5

4?2

a=7,.\2sina+cosa=——；

55

當水0時，r=—5a,

-3a34

sina=—-=~cosa=

-5a5f5

.*.2sina+cosa=—,

5

34

(2)當點尸在第一象限時，sinacosa=-,

55

3

2sina+cosa=2；當點P在第二象限時，sina=~,

5

42一3

cosa=2sina+cosa=-；當點夕在第三象限時，sina=cosa=—

555

41

7，2sina+cosa=~2；

5

342

當點夕在第四象限時，sina=-cosa=-,2sina+cosa=--

555

JI

18.(本小題滿分12分)在①兩個相鄰對稱中心的距離為了，②兩條相鄰對稱軸的距離

JI_

為了，③兩個相鄰最高點的距離為口，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并對

其求解.

問題：函數(shù)f(x)=cos(0x+0)［。>0,o<0〈5］的圖象過點(0，且滿足.

當—時，求sina的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第

一個解答計分.

［解析］選①②：由題意得：f(x)的最小正周期7=2xg=m,則結(jié)合

乙I691

1,JIJI

3>0,解得:3=2,因為圖象過點0,5,所以cos0=5，因為0〈0〈丁，所以0=下,

\LJJ乙乙O

所以f(x)=cos(2x+"j,因為?1■)=-*,所以cos(。+1■)=一亭，因為ae

兀、兀，兀5兀

0,句，所以Tsina=

五、兀~|(JIAJI(兀、兀

1Ha+Tj-Tj=sinL°+yjcosg-cos(a+yjsiny

^21,V2V3V2+V6

=2乂/2*2=4

2兀

選③：由題意得：Hx)的最小正周期7="，則小亓二11，結(jié)合。>°，解得：。=2,

lJIJI

H,所以cos0=5，因為0〈0〈萬，所以4>=在,所以『(X)=

2x+[),因為JI,因為aefo,1

cos，所以cos|a+—亞,所以a

2

JIJI5兀JI

+e,所以sina+2?sina=sin■一

Y3

sin(a+-^-jcos——cos|a+-Isin

32

3JI,

19.(本小題滿分12分)已知cosa—sin，且兀＜求

sin2a+2sin2a

1—tana的值。

3^2日…18cri,

［解析］因為cos4一sina=-j!—,所以l—2sinacosa=—,所以2sin<7cosa

525

7

25'

又ae|m故sina+cosci=~\Jl+2sin<7cosa

4"

5

sin2Q+2sirj2a

所以一

1—tanQ

2sinacosa+2sin2acosa

cosa—sina

_2sincicosQcosa+sinQ

cosQ-sina

_25I528

=?污

5

20.(本小題滿分12分)已知/'(x)=/sin(0x+0)?！?,?！?,的圖象過點

彳?，0),且圖象上與點P最近的一個最低點是《一丁，一2).

(1)求/"(X)的解析式；

(2)若(a+，，=?!，且。為第三象限的角，求sina+cos。的值.

［解析］(1)根據(jù)題意可知，4=2,—I―d，=彳，

=兀，解得3=2.

G)

又石力=0,二.sin伍義2+。）=0,而［0|＜半

兀，兀、

（!＞=——./.=2sinl2JT——I.

（nA33

⑵由《。+司=§可得，2sin2a=-,

3

即Qrtsin2Q

16

???a為第三象限的角,

2L（本小題滿分12分）某帆板集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓，該海濱區(qū)域的海浪高度

P（米）隨著時間寅0W方W24,單位：時）呈周期性變化，每天時刻力的浪高數(shù)據(jù)的平均值如

下表：

乂時）03691215182124

y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.51.0

（1）作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）從y=at-\-b,y=/sin（g1+。）+6；y=4tan（公力+。）中選一個合適的函數(shù)模

型，并求出該模型的解析式；

（3）如果確定在一天內(nèi)的7時到19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排

恰當?shù)挠柧殨r間.

［解析］（1）散點圖如圖所示.

W米

⑵由⑴知選擇y=Asin{cot+@）+方較合適.

令冷0,口＞0,|0|＜兀.

由圖知，4=0.4,6=1,7=12,

把Z=0,尸=1代入p=0.4sin（it+。）