高一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程編稿老師蔡秀梅一、學(xué)習(xí)目的1.了解圓的定義，理解并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.2.掌握用待定系數(shù)法求圓的方程.3.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化.4.體會(huì)求軌跡方程的方法與思想.二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過圓的一般方程求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件求圓的方程.難點(diǎn)：根據(jù)已知條件求圓的方程.三、考點(diǎn)分析本節(jié)內(nèi)容是圓的方程，有關(guān)圓的題目，多以選擇題、填空題的形式重點(diǎn)考察其標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，難度不大；有時(shí)，也將圓的方程作為解答題考察.1.圓的定義：平面到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是圓的半徑.2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：認(rèn)為圓心，（）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3.圓的一般方程：（），圓心坐標(biāo)為（），半徑為.特別地，當(dāng)時(shí)，表達(dá)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，不表達(dá)任何圖形.4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)則；；.知識(shí)點(diǎn)一：圓的方程例1.（1）求通過點(diǎn)P（1，3），Q（－2，2），且圓心在直線上的圓的方程.（2）求圓心在直線l：上，且與坐標(biāo)軸相切的圓的方程.【思緒分析】題意分析：求圓的方程關(guān)鍵是求出圓心坐標(biāo)和半徑.解題思緒：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，由已知條件構(gòu)造方程組求解；或求出線段PQ的垂直平分線方程，與直線的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心坐標(biāo).（2）圓與坐標(biāo)軸相切，說(shuō)明圓心到坐標(biāo)軸的距離相等，即都等于圓的半徑，由此可列出圓心坐標(biāo)所滿足的方程，解方程可得圓心坐標(biāo)和半徑.【解答過程】（1）解法一：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則有，解得：，所以，所以所求圓的方程為.解法二：根據(jù)條件可知圓心一定在線段PQ的垂直平分線上，由直線的點(diǎn)斜式方程可求得線段PQ的垂直平分線方程為，由已知圓心也在直線：上，所以由方程組解得圓心坐標(biāo)為（1，－2），以下解法同解法一.（2）設(shè)圓心為，由于圓與坐標(biāo)軸相切，所以，圓心在已知直線上，所以有，所以，解得，當(dāng)時(shí)，＝4，所求圓的方程為；當(dāng)時(shí)，＝1，所求圓的方程為.【題后思考】由已知條件構(gòu)造出圓心坐標(biāo)和半徑的方程組，是求圓的方程的關(guān)鍵.例2.求過點(diǎn)A（－2，1），B（0，－1），C（－2，－3）的圓的方程.【思緒分析】題意分析：運(yùn)用圓的一般方程求解.解題思緒：設(shè)出圓的一般式方程，分別把三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，構(gòu)成方程組，解此方程組即可得出所求結(jié)果.【解答過程】設(shè)所求圓的方程為，由于A、B、C三點(diǎn)在圓上，所以有，解此方程組得：，所求圓的方程為.【題后思考】本題也可以先求出圓心和半徑進(jìn)而列出圓的方程，但不如這種方法簡(jiǎn)捷.例3.（1）求與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程.（2）求方程表達(dá)圓的充要條件.【思緒分析】題意分析：（1）所求圓與已知圓的半徑相同，故只需求出圓心坐標(biāo)即可求解.（2）本題的關(guān)鍵是貫徹運(yùn)用二元二次方程表達(dá)圓的充要條件.解題思緒：（1）先求出已知圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再求出該圓圓心關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).（2）直接代入得關(guān)于的不等式，解不等式即可.【解答過程】（1）圓的方程可化為，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，所以所求圓的方程為.（2）∵或.【題后思考】（1）由圓的一般方程要可以準(zhǔn)確求出圓心坐標(biāo)和半徑，既可以用配方法將其轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程求解，也可以直接套用公式求解.（2）并不是所有形如的方程都表達(dá)圓，用這樣的方程表達(dá)圓的充要條件是.【知識(shí)小結(jié)】當(dāng)已知條件與圓心、半徑有關(guān)時(shí)，求圓的方程時(shí)，把方程設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)方程更簡(jiǎn)便；對(duì)于圓的一般方程要會(huì)求圓心坐標(biāo)和半徑；此外還要掌握用二元二次方程表達(dá)圓的充要條件為.知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的綜合問題例4.動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為1：2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明該軌跡是什么曲線.【思緒分析】題意分析：動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件在已知條件中已明確給出，只需把它用坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，并化簡(jiǎn)整理即可.解題思緒：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別用兩點(diǎn)間的距離公式表達(dá)MO、MA的長(zhǎng).【解答過程】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（），由已知，，，兩邊平方并整理得：，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以（－1，0）為圓心，以2為半徑的圓.【題后思考】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（）滿足的方程，當(dāng)已知條件中明確給出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件時(shí)，只需把條件用坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，并化簡(jiǎn)整理即可.例5.已知點(diǎn)，E為線段BD的中點(diǎn)，求點(diǎn)E的軌跡方程.【思緒分析】題意分析：（1）由已知條件可知點(diǎn)D的軌跡方程，把點(diǎn)D的坐標(biāo)用點(diǎn)E的坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，然后代入點(diǎn)D的軌跡方程.（2）運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)可推出，故可知點(diǎn)E的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的圓.解題思緒：（1）設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo).（2）由圖形可得OE為△ADB的中位線.【解答過程】解法一：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由于E為線段BD的中點(diǎn)，所以有，，，即，整理得：.解法二：連接OE，則OE為△ADB的中位線，所以，由圓的定義可知，點(diǎn)E的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的圓，方程為.【題后思考】本題的兩種解法分別用到了求軌跡方程的相關(guān)方法和定義法.例6.假如實(shí)數(shù)滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值.【思緒分析】題意分析：運(yùn)用的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決.解題思緒：的幾何意義為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率；的幾何意義為設(shè)，則表達(dá)直線在軸上的截距；的幾何意義表達(dá)圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.【解答過程】（1）表達(dá)圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，過原點(diǎn)作圓的兩條切線，則切線的斜率分別為0和，所以的最大值為，最小值為0.（2）設(shè)，則表達(dá)直線在軸上的截距，作圓的兩條斜率為的切線，這兩條切線的截距分別為2和6，所以的最大值為6，最小值為2.（3）表達(dá)圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由于圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，所以的最大值為9，最小值為1.【題后思考】本題使用代數(shù)式的幾何意義求解比較直觀.易錯(cuò)點(diǎn)是誤認(rèn)為是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.例7.已知圓C：上兩點(diǎn)滿足：①關(guān)于直線對(duì)稱；②，求直線的方程.【思緒分析】題意分析：由圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可知圓心在這條直線上，故斜率的值可求，進(jìn)而由.解題思緒：設(shè)出所求直線方程，代入圓方程，用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于所求的方程.【解答過程】由圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可知圓心在這條直線上，所以有，解得，則直線的斜率為，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，代入圓的方程整理得：，所以，，所以解得或，經(jīng)檢查，成立.所以所求直線PQ的方程為或.【題后思考】本題中由是解此類型題常用的結(jié)論；求出的值后，應(yīng)驗(yàn)證是否成立.【知識(shí)小結(jié)】在本講中，我們學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.在求圓的方程時(shí)，可根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)姆匠糖蠼?解決有關(guān)圓的最值問題時(shí)，運(yùn)用代數(shù)式的幾何意義求解比較簡(jiǎn)便.在解答有關(guān)圓的綜合問題時(shí)，結(jié)合圓的性質(zhì)求解是關(guān)鍵；求圓的方程時(shí)，假如已知條件與圓心、半徑有關(guān)，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，假如與圓心、半徑無(wú)直接關(guān)系，則使用圓的一般方程求解.（答題時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1.圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程是（）A. B.C. D.2.點(diǎn)（1，1）在圓的內(nèi)部，則的取值范圍為（）A. B. C.或 D.3.已知直線的方程為，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.64.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)，它與點(diǎn)A（3，0）連線的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.5.通過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.6.已知圓，則的最大值為（）A.9 B.14 C. D.二、填空題7.已知點(diǎn)A（－4，－5），B（6，－1），則以線段AB為直徑的圓的方程是.8.已知圓過原點(diǎn)且與軸相切，則應(yīng)滿足的條件是.9.圓心在直線上的圓與軸交于點(diǎn)A（0，－4），B（0，－2），則圓的方程是.10.直線與圓相交于點(diǎn)A、B，弦AB的中點(diǎn)為（0，1），則直線的方程為.三、解答題11.求與軸相切于點(diǎn)（5，0），并在軸上截得的弦長(zhǎng)為10的圓的方程.12.方程表達(dá)圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程.13.已知圓和直線相交于兩點(diǎn)，若，求的值.

一、選擇題1.A解析：圓心的坐標(biāo)為（－2，0），則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.2.A解析：由已知，解得.3.B解析：圓心到直線的距離，最小值為5－1＝4.4.C解析：設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則.5.A解析：圓的圓心為（－1，0），直線的斜率為1，故所求直線的方程為即.6.D解析：圓心為（－2，1），半徑為3，圓心到原點(diǎn)的距離為，所以的最大值為.二、填空題7.解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得圓心坐標(biāo)為（1，－3），由兩點(diǎn)間的距離公式得半徑為.8.且解析：由已知：.9.解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3），所以圓心坐標(biāo)為（2，－3），則半徑為.10.解析：圓心為