折疊問(wèn)題專題

PAGEPAGE3折疊問(wèn)題專題【軸對(duì)稱（折疊）思考層次全貌】1.全等變換：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等．2.對(duì)稱軸性質(zhì)：對(duì)稱軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分．3.組合搭配：矩形背景下常出現(xiàn)等腰三角形、兩次折疊常出現(xiàn)直角，60°角、折疊會(huì)出現(xiàn)圓弧等．4.作圖：核心是找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線（折痕），補(bǔ)全圖形．【要求】①讀一讀操作要領(lǐng)，按照操作要領(lǐng)去做題，思路受阻時(shí)回頭再看操作要領(lǐng)，做完題對(duì)照操作要領(lǐng)思考一步步是如何進(jìn)行操作的；②做題時(shí)，需要執(zhí)行讀題標(biāo)注（如目標(biāo)、條件），觀察特征，驗(yàn)證取舍等動(dòng)作．【第一次訓(xùn)練操作要領(lǐng)：遇折疊，考慮全等變換；找折痕（對(duì)稱軸），利用對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等轉(zhuǎn)移條件，表達(dá)線段長(zhǎng)，利用勾股定理（或相似、三角函數(shù)）建方程；做題時(shí)常借助背景圖形提供的角度、線段長(zhǎng)，對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)移、表達(dá)．ADMFNBEC【例題1】如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為M，則線段CNADMFNBEC分析思路：1.讀題標(biāo)注、轉(zhuǎn)化；正方形，折疊，中點(diǎn)，目標(biāo)，如右圖所示2.背景圖形；邊長(zhǎng)為8的正方形；3.分析條件，組合特征；折疊是全等變換 對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；E=D； +N=D+N=8，轉(zhuǎn)移，表達(dá) 設(shè)C=，則E=D= 4.求解目標(biāo)：勾股定理列方程在Rt△ 中，勾股定理列方程為 ，解得= C= cm．【配套小練習(xí)】練習(xí)1：如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊A=6cm，B=8cm，點(diǎn)D在BC邊上，將直角邊AC沿直線AD折疊，點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則線段CD的長(zhǎng)為 ．DEBFCC DEBFCB E A練習(xí)2如圖折疊長(zhǎng)方形的一邊A使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處若A=4cm，B=5cm，則EF的長(zhǎng)為 ．【第二次訓(xùn)練操作要領(lǐng)：①折疊屬于全等變換，找折痕，利用對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等轉(zhuǎn)移條件，表達(dá)線段長(zhǎng)，利用勾股定理建方程；②上述思路進(jìn)行不下去時(shí)，從“對(duì)稱軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線距離相等”，從折痕與背景圖形的交點(diǎn)處入手，結(jié)合所求目標(biāo)，連接對(duì)應(yīng)線段，表達(dá)求解；或者考慮“折痕”為對(duì)稱軸，“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分”，利用垂直平分（題目中會(huì)出現(xiàn)全等或相似）解題．（這兩條性質(zhì)可以逐一嘗試）【例題2】如圖，將長(zhǎng)為4cm，寬為2cm的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在FAMDEBNCCD邊的中點(diǎn)E處，壓平后得到折痕M，則線段FAMDEBNC分析思路：1.讀題標(biāo)注、轉(zhuǎn)化；長(zhǎng)方形，折疊，中點(diǎn)，目標(biāo)，如右圖所示2.背景圖形；長(zhǎng)為4，寬為2的長(zhǎng)方形，D=E=1，E是定點(diǎn)；3.分析條件，組合特征；折疊是全等變換 對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；上方：A=M，但MF所在的直角三角形無(wú)相關(guān)線段長(zhǎng)信息，求解不出來(lái)；下方B=E +N=B+N=4在Rt△ 求B（N，NC等），但跟目標(biāo)無(wú)關(guān)，先不進(jìn)行計(jì)算；4.求解目標(biāo)；方式一：考慮折疊性質(zhì)“對(duì)稱軸上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線距離相等，連接MB和M，則M=M，可以用來(lái)表達(dá)列方程求解；如圖所示轉(zhuǎn)移表達(dá) 設(shè)A=，則D= ；在Rt△ 中，M2 （用含x的代數(shù)式表示；在Rt△ 中，E2 （用含x代數(shù)式表示；建立方程為 ，解得= ，即A= ．方式二考慮折疊性“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分連接B則 被 垂直平分；如圖所示過(guò)點(diǎn)M作M⊥BC于點(diǎn)，則△MG∽△ ，且相似比為1:2，由CE的長(zhǎng)，可求GN的長(zhǎng)，結(jié)合A=B=B-G（BN可通過(guò)第3條中的分析求出）即可求出AM的長(zhǎng)．中間用到一個(gè)很重要的結(jié)論：“十字結(jié)構(gòu)”會(huì)出現(xiàn)全等或相似．而折疊中的直平分經(jīng)常會(huì)提供十字結(jié)構(gòu)，以下是一般的“十字結(jié)構(gòu)”的圖形和結(jié)論．A D DB A DF FA FB E C E

B E CAB≌△BCF △DC≌△ABF △AB∽△BCF【配套小練習(xí)】 練習(xí)3和練習(xí)4均要求用折疊的兩種性質(zhì)解題（每種圖中展示一種方法）練習(xí)3：如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將該紙片折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)'處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為'，折痕為M．若C3，則AM的長(zhǎng) ．AAMDB'AMDB'B N C B N C練習(xí)4：如圖，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為′點(diǎn)C落在′處若A=6A′=2則MN的長(zhǎng)為 BN的長(zhǎng)為 D C D CNBNBNC'BM MA A練習(xí)5：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，A=3，A=9，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為E，則EF的長(zhǎng)為 ．（要求用“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分”解題，有其余方法可自行嘗試）A E D A E DBFCBFBFCBFC練習(xí)6片ABCA=5B=10CD上有一點(diǎn)E=2AD上有一點(diǎn)P=3，過(guò)P作P⊥AD交BC于，將紙片折疊，使P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與PF交于Q點(diǎn)，與AD交于點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)是（）（要求用“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分”解題，有其余方法可自行嘗試）5 13 7． ．3 ． ．G2 4 2GQC F QE

A F DEDG P A B C練習(xí)7：如圖，將邊長(zhǎng)為12cm的正方形ABCD折疊，使得A點(diǎn)落在邊CD上的E點(diǎn)，然后壓平得折痕F若GF的長(zhǎng)為13cm段CE的長(zhǎng)為 ．【第三次訓(xùn)練操作要領(lǐng)：當(dāng)上述兩種思路都進(jìn)行不下去的時(shí)候考慮背景提供的條件，如長(zhǎng)方形中折疊會(huì)出現(xiàn)等腰三角形（以折痕為底）；（原理是：平行+角平分線出現(xiàn)等腰三角形）【例題3】用長(zhǎng)方形下的折疊會(huì)出現(xiàn)等腰三角形，快速求BF的長(zhǎng)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，A=3，A=9，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為E，則BF的長(zhǎng)為 ．BFCAMDEA BFCAMDEC' B N C題2進(jìn)行體現(xiàn)，并用此思路嘗試求AM的長(zhǎng)；為4cm為2cm的長(zhǎng)方形紙片ABCD點(diǎn)B落在CD邊的中點(diǎn)E處，壓平后得到折痕M，則線段AM的長(zhǎng)為 ．【配套小練習(xí)】練習(xí)8：如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，A=15cm，點(diǎn)E在AD上，且A=9cm，連接E，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線BE翻折點(diǎn)A恰好落在EC上的點(diǎn)A處則A'= cm．A E DA P BQB C O D C練習(xí)9片OABO=點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)A=2OAP沿OP點(diǎn)A落在點(diǎn)A長(zhǎng)PA交邊OC與點(diǎn)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)B落在邊OC上的點(diǎn)D處，則AB的長(zhǎng)為 ．AMDB'練習(xí)10：如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將該紙片折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)'處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為'，折痕為M．若C3，則AMAMDB'B N C【第四次訓(xùn)練】折疊作圖訓(xùn)練及計(jì)算求解①題目中給出已知的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直接作垂直平分線，找折痕；②題目中沒(méi)有直接給出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，而是給出對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足的條件；此時(shí)往往“折痕過(guò)定點(diǎn)”，題目往往會(huì)產(chǎn)生圓（圓?。?，通過(guò)作圓弧找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，再作垂直平分線找折痕．練習(xí)11：如圖，在矩形ABCD中，已知A=12A=8，如果將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AAD交于點(diǎn)，，那么MN的長(zhǎng)為 ．A D A DE EB C B C練習(xí)12：在矩形ABCD中，A=4B=3點(diǎn)P在線段AB上．若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上的A處，則AP的長(zhǎng)為 ．A D A DB C B C練習(xí)13如圖矩形ABCD中A=2A=6A=B=2點(diǎn)G是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿直線EG折疊．當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在四邊形ABEF對(duì)角線所在直線上時(shí)，求AC的長(zhǎng)為 ．A F G D A F G DB E C B E C練習(xí)14：如圖，矩形紙片ABCD中，A=8cm，B=20cm，O是BC的中點(diǎn)，沿過(guò)O的直線翻折.若點(diǎn)B恰好落在AD上，那么折痕的長(zhǎng)度為 .A D A DB O C B O C練習(xí)15：在矩形ABCD中，B=6C=8點(diǎn)P在線段AB上(不含端點(diǎn))任意一點(diǎn)．若將△PBC沿PC折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)′落在矩形ABCD對(duì)角線上時(shí)，BP的長(zhǎng)為 ．A D A DB C B C用你學(xué)到的內(nèi)容，嘗試用多種方法解題。形ABCD中A=12B=10點(diǎn)E是BC上一