湖南省彬州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(教師版)_第1頁(yè)
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郴州市2023年上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)(試題卷)注意事項(xiàng):1.試卷分試題卷和答題卡.試卷共4頁(yè),有四大題,22小題,滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名?班次?準(zhǔn)考證號(hào)?考室號(hào)及座位號(hào)寫在答題卡和試題卷的封面上.3.考生作答時(shí),選擇題和非選擇題均須作在答題卡上,在試題卷上作答無效.考生在答題卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題.4.考試結(jié)束后,將試題卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題在給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1復(fù)數(shù)等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)所求復(fù)數(shù).【詳解】.故選:B.2.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合,最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由,即,解得,所以,又,所以.故選:A3.已知拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是6,則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義求解.詳解】由題可得,,點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為,根據(jù)拋物線的定義可知,點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是8,故選:C.4.已知數(shù)列中,且,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知數(shù)列為等比數(shù)列,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件求出的值,即可得解.【詳解】在數(shù)列中,且,則數(shù)列為等比數(shù)列,設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,可得,因此,,即.故選:D.5.“環(huán)境就是民生,青山就是美麗,藍(lán)天也是幸?!保S著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步,人們的環(huán)保意識(shí)日益增強(qiáng).某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為,排放前每過濾一次,該污染物的含量都會(huì)減少,當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過,若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放,那么在排放前需要過濾的次數(shù)至少為()參考數(shù)據(jù):,A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過濾n次后污染物的含量滿足,通過對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正整數(shù)的最小值.【詳解】過濾第一次污染物的含量減少,則為;過濾第兩次污染物的含量減少,則為;過濾第三次污染物的含量減少,則為;過濾第n次污染物的含量減少,則為;要求廢氣中該污染物的含量不能超過,則,即,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得,即,所以,因?yàn)?,所以,所以,又,所以,故排放前需要過濾的次數(shù)至少為次.故選:B.6.若非零向量滿足,則與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,求得,,求得,即可求解.【詳解】因?yàn)?,可得,即,所以,又因?yàn)?,可得,所以,設(shè)與的夾角為,可得,因?yàn)?,可得,即與的夾角為.故選:C.7.在數(shù)學(xué)中,有一個(gè)被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù).小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí),打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)2不相鄰,兩個(gè)8相鄰,那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為()A.36 B.48 C.72 D.120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】如果排列時(shí)要求兩個(gè)8相鄰,兩個(gè)2不相鄰,兩個(gè)8捆綁看作一個(gè)元素與7,1全排列,排好后有4個(gè)空位,兩個(gè)2插入其中的2個(gè)空位中,注意到兩個(gè)2,兩個(gè)8均為相同元素,那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有.故選:A.8.已知函數(shù),若,,,則、、的大小關(guān)系為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知,函數(shù)為上的偶函數(shù),且在上為增函數(shù),計(jì)算得出,,比較、、的大小關(guān)系,即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)任意的,,即函數(shù)的定義域?yàn)?,因?yàn)?,,即函?shù)為上的偶函數(shù),令,當(dāng)時(shí),,則,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),又外層函數(shù)為上的增函數(shù),故函數(shù)在上為增函數(shù),因?yàn)椋?,令,其中,則,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),則當(dāng)時(shí),,所以,,即,又,所以,,即.故選:D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:解答比較函數(shù)值大小問題,常見的思路有兩個(gè):(1)判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.二?多選題(共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.每小題至少兩個(gè)正確選項(xiàng),漏選得2分,錯(cuò)選不得分)9.下列說法正確的是()A.數(shù)據(jù)、、、、、、、的第百分位數(shù)是B.“事件、對(duì)立”是“事件、互斥”的充分不必要條件C.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則D.若隨機(jī)變量、滿足,則【答案】BC【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng);利用對(duì)立事件的定義結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷B選項(xiàng);利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng);利用方差的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),數(shù)據(jù)、、、、、、、共個(gè)數(shù),且,所以,數(shù)據(jù)、、、、、、、的第百分位數(shù)是,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),若事件、對(duì)立,則事件、一定互斥,反之,若事件、互斥,則事件、不一定對(duì)立,即“事件、對(duì)立”可推出“事件、互斥”,且“事件、對(duì)立”推不出“事件、互斥”,所以,“事件、對(duì)立”是“事件、互斥”的充分不必要條件,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),若隨機(jī)變量、滿足,則,D錯(cuò)故選:BC.10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象,若是偶函數(shù),則()A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上的最小值是【答案】BC【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換求出函數(shù)的解析式,根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求出的值,可得出函數(shù)的解析式,利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,可得到函數(shù)的圖象,則,因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),則,解得,因?yàn)椋?,,,則.對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)的最小正周期為,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)?,所以,函?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,D錯(cuò).故選:BC.11.如圖,在邊長(zhǎng)為的正方體中,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),則下列判斷正確的是()A.平面B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】證明平面平面,利用面面平行的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng);利用錐體的體積公式可判斷B選項(xiàng);求出三棱錐的外接球半徑,結(jié)合球體表面積公式可判斷C選項(xiàng);利用線面角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),連接、,在正方體中,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,因?yàn)槠矫?,平面,所以,平面,同理可證平面,因?yàn)椋?、平面,所以,平面平面,因?yàn)?,則平面,所以,平面,A對(duì);對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)槠矫妫?,則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,所以,,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為,故三棱錐的外接球半徑為,故其外接球的表面積為,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,所以,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,解得,設(shè)直線與平面所成角為,則,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),取最小值,此時(shí),取最大值,且,D對(duì).故選:ABD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)為偶函數(shù),且是的導(dǎo)函數(shù).則下列結(jié)論正確的是()A.是周期為2的周期函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意得到,結(jié)合,得到,可判定A錯(cuò)誤;由,兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)可得,可判定B正確;由由,得到成立,可判定C正確;根據(jù)題意求得,進(jìn)而判定D正確.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,所以,又由,可得,所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以A錯(cuò)誤;由,可得,兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù),可得,所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以B正確;由,可得成立,所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以C正確;由且,當(dāng)時(shí),可得,當(dāng)時(shí),可得,所以,當(dāng)時(shí),可得,當(dāng)時(shí),可得,所以,所以,因?yàn)楹瘮?shù)的周期為,所以,所以D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論拓展:有關(guān)函數(shù)圖象的對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論:(1)對(duì)于函數(shù),若其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(時(shí),為偶函數(shù)),則①;②;③.(2)對(duì)于函數(shù),若其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(時(shí),為奇函數(shù)),則①;②;③.(3)對(duì)于函數(shù),若其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則①;②;③.三?填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知雙曲線的焦距為4,則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程,得到焦距為,再由求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為4,所以,解得,又.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查由雙曲線的焦距求參數(shù)的問題,熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.14.在二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可確定n的值,繼而求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)等于0,求得r的值,即可求得答案.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,故二項(xiàng)式的展開式有7項(xiàng),則,故的通項(xiàng)公式為,令,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為:15.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離,利用勾股定理可求得直線截圓所得弦長(zhǎng).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,所以,直線截圓所得弦長(zhǎng)為.故答案為:.16.已知函數(shù)與的圖像上恰有兩對(duì)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意得,即有兩解,構(gòu)造,求導(dǎo)求單調(diào)性,求出值域,從而求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),所以時(shí)有兩解,即有兩解,所以有兩解,令,則,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在處取得極大值,,且時(shí),的值域?yàn)?時(shí),的值域?yàn)?,因此有兩解時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:四?解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟)17.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,若.(1)求角;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出的值,再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值;(2)利用正弦定理可求出的值,分析可知角為銳角,求出的值,利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的余弦公式可求得的值.【小問1詳解】解:因?yàn)?,由正弦定理可得,由余弦定理可得,因?yàn)椋裕?【小問2詳解】解:因?yàn)?,由正弦定理可得,因?yàn)?,則角為銳角,故,所以,.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析,(2)【解析】【分析】(1)求出,繼而寫出時(shí),,和已知等式相減結(jié)合的關(guān)系可得,即可證明結(jié)論;根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)結(jié)論可求出的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法可求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),.可得,整理得,從而,又,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為2等比數(shù)列.所以,故,也適合該式,綜上,數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由(1)得,所以,又,,,,兩式相減得.19.如圖,四棱錐中,為正三角形,,為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求面與面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明;(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求二面角的余弦值.【小問1詳解】取中點(diǎn),連接.為中點(diǎn),,又,為平行四邊形,.又為正三角形,,從而又平面,平面,又平面,平面平面.【小問2詳解】,又平面,平面.平面,.以為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè)為平面的法向量,為平面的法向量則令,得,令,得,即面與面的夾角的余弦值為.20.體育運(yùn)動(dòng)是增強(qiáng)體質(zhì)的最積極有效的方法,經(jīng)常進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)能增強(qiáng)身體機(jī)能和身心健康.為給民眾提供豐富的健身器材,某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的羽毛球,第一批占產(chǎn)量的,次品率為0.05;第二批占產(chǎn)量的,次品率為0.04.(1)從混合的兩批羽毛球中任取1個(gè),已知取到的是合格品,求它取自第一批羽毛球的概率;(2)從混合的兩批羽毛球中有放回地連續(xù)抽取3次,每次抽取1個(gè),記3次抽取中,抽取的羽毛球是第二批的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析;【解析】【分析】(1)設(shè)事件“任取一個(gè)羽毛球是合格品”,事件“產(chǎn)品取自第一批”,事件“產(chǎn)品取自第二批”,得到且互斥,結(jié)合全概率公式和貝葉斯公式,即可求解;(2)根據(jù)題意,得到的可取值為,求得相應(yīng)的概率,列出分布列,結(jié)合期望的公式,即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件“任取一個(gè)羽毛球是合格品”,事件“產(chǎn)品取自第一批”,事件“產(chǎn)品取自第二批”,則且互斥,由全概率公式可知,.由貝葉斯公式可知.【小問2詳解】根據(jù)題意,可知的可取值為.可得,,.所以隨機(jī)變量的分布列為:01230.2160.4320.2880.064所以期望為.21.已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的

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