2024屆上海長(zhǎng)寧區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023-2024學(xué)年上海長(zhǎng)寧區(qū)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷高三數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名、學(xué)校、班級(jí)等信息填寫清楚，并貼好條形碼．2．解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?、草稿紙上的答案一律不予評(píng)分．3．本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，，則.2.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則.3.不等式的解集為.4.設(shè)向量，，若，則.5.將4個(gè)人排成一排，若甲和乙必須排在一起，則共有種不同排法.6.物體位移和時(shí)間滿足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為.7．現(xiàn)利用隨機(jī)數(shù)表法從編號(hào)為00，01，02，，18，19的20支水筆中隨機(jī)選取6支，選取方法是從下列隨機(jī)數(shù)表第1行的第9個(gè)數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6支水筆的編號(hào)為.9522600049840128661751683968292743772366270966239258095643890890064828345974145829778149646089258.在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo).其值（單位：）定義為.其中為聲場(chǎng)中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為，為基準(zhǔn)值.若，則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為.9.若向量，，則在方向上的投影向量為_______．10．若“存在，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍．11.若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.12.設(shè)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）.A.；B.；C.；D..14．“”是“事件與事件互相獨(dú)立”（）.A．充分不必要條件；B．必要不充分條件；C．充要條件；D．既不充分也不必要條件.15.設(shè)點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置出發(fā)，沿單位圓按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角后到達(dá)點(diǎn)，然后繼續(xù)沿單位圓按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角到達(dá).若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）.A．；B．；C．；D．.16.豆腐發(fā)酵后表面長(zhǎng)出一層白絨絨的長(zhǎng)毛就成了毛豆腐.將三角形豆腐懸空掛在發(fā)酵空間內(nèi)，記發(fā)酵后毛豆腐所構(gòu)成的幾何體為.若忽略三角形豆腐的厚度，設(shè)，,，點(diǎn)在△內(nèi)部.假設(shè)對(duì)于任意點(diǎn)，滿足的點(diǎn)都在內(nèi)，且對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，滿足，則的體積為（）.A.；B.；C.；D..三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）從集合中任取3個(gè)元素，記這3個(gè)元素能成等差數(shù)列為事件，求事件發(fā)生的概率.18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，，求異面直線與所成的角的大?。?9．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)遵循阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理，即轉(zhuǎn)向時(shí)所有車輪中垂線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)向中心.如圖1，某汽車四輪中心分別為A、B、C、D，向左轉(zhuǎn)向，左前輪轉(zhuǎn)向角為，右前輪轉(zhuǎn)向角為，轉(zhuǎn)向中心為O.設(shè)該汽車左右輪距AB為米，前后軸距AD為米.（1）試用、和表示；（2）如圖2，有一直角彎道，M為內(nèi)直角頂點(diǎn)，EF為上路邊，路寬均為3.5米，汽車行駛其中，左輪A、D與路邊FS相距2米.試依據(jù)如下假設(shè)，對(duì)問(wèn)題*做出判斷，并說(shuō)明理由.假設(shè)：=1\*GB3①轉(zhuǎn)向過(guò)程中，左前輪轉(zhuǎn)向角的值始終為；=2\*GB3②設(shè)轉(zhuǎn)向中心O到路邊EF的距離為，若且，則汽車可以通過(guò)，否則不能通過(guò)；=3\*GB3③，.問(wèn)題*：可否選擇恰當(dāng)轉(zhuǎn)向位置，使得汽車通過(guò)這一彎道？圖1圖220．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.已知橢圓，、為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，直線與圓相切.（1）求△的周長(zhǎng)；（2）若直線經(jīng)過(guò)的右頂點(diǎn)，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，若，求證：直線與圓相切.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.若函數(shù)與滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為嚴(yán)格減函數(shù)，，且函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線，求證：是上的嚴(yán)格增函數(shù).參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.；2.；3.；4.2；5.12；6.80；7．14；8.130；9.；10．；11.；12..11解：，因?yàn)?，所以在上是?yán)格減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)槲沂?，所?2解：設(shè)，因?yàn)?，所以所以得二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.A；14.C；15.D；16.B16解：該幾何體由一下幾部分組成：一個(gè)底面與平行高為2的三棱柱；底面為半徑為1的半圓，高分別3、4、5的三個(gè)圓柱；一個(gè)半徑為1的球.所以該幾何體的體積為三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）從集合中任取3個(gè)元素，記這3個(gè)元素能成等差數(shù)列為事件，求事件發(fā)生的概率.解：（1）因?yàn)?，所以，…?.2分得，…….4分所以.…….6分（2）隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，……..3分事件所含樣本點(diǎn)分兩類，公差為的有4個(gè)，公差為的有2個(gè)，……..6分所以事件發(fā)生的概率.…….8分18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，，求異面直線與所成的角的大?。?）證明：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，…….2分因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，…?4分因?yàn)槠矫?，所?…….6分（2）由（1）知平面，作，因?yàn)?，所以，進(jìn)而可以、、分別為軸、軸和軸正方向，建立坐標(biāo)系，…..3分因?yàn)?，，所以可設(shè)，，，，…..6分因?yàn)椋O(shè)異面直線與所成的角為，則，所以……8分19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)遵循阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理，即轉(zhuǎn)向時(shí)所有車輪中垂線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)向中心.如圖，某汽車四輪中心分別為A、B、C、D，向左轉(zhuǎn)向，左前輪轉(zhuǎn)向角為，前右輪轉(zhuǎn)向角為，轉(zhuǎn)向中心為O.設(shè)該汽車左右輪距AB為米，前后軸距AD為米.（1）試用、和表示；（2）如圖2，有一直角彎道，M為內(nèi)直角頂點(diǎn)，EF為上路邊，路寬均為3.5米，汽車行駛其中，左輪A、D與路邊FS相距2米.試依據(jù)如下假設(shè)，對(duì)問(wèn)題*做出判斷，并說(shuō)明理由.假設(shè)：=1\*GB3①轉(zhuǎn)向過(guò)程中，左前輪轉(zhuǎn)向角的值始終為；=2\*GB3②設(shè)轉(zhuǎn)向中心O到路邊EF的距離為，若且，則汽車可以通過(guò)，否則不能通過(guò)；=3\*GB3③，.問(wèn)題*：可否選擇恰當(dāng)轉(zhuǎn)向位置，使得汽車通過(guò)這一彎道？解：（1）由已知，，…….2分所以，，……..4分進(jìn)而.……..6分（2）以EF和FS分別為軸和軸建立坐標(biāo)系，則.，，……..2分設(shè)，，，，……..4分由，得，進(jìn)而，由，得，…….6分所以當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)汽車可以通過(guò)彎道.答：選擇恰當(dāng)轉(zhuǎn)向位置，汽車可以通過(guò)彎道.…….8分20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.已知橢圓，、為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，直線與圓相切.（1）求△的周長(zhǎng)；（2）若直線經(jīng)過(guò)的右頂點(diǎn)，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，若，求證：直線與圓相切.解：（1）設(shè)橢圓的聚焦為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，則，，所以，……..2分所以，得△的周長(zhǎng)為.……..4分（2）橢圓的右頂點(diǎn)為，所以可設(shè)直線的方程為，……..2分因?yàn)閳A與直線相切，所以，……..4分解得，直線的方程為.…….6分（3）設(shè)，，因?yàn)?，所以，…?2分當(dāng)時(shí)，，由，得，，直線方程為，與圓相切，…….4分當(dāng)時(shí)，直線的方程為則原點(diǎn)到直線的距離為，…….6分因?yàn)椋?，所以．此時(shí)直線與圓相切．……8分21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.若函數(shù)與滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為嚴(yán)格減函數(shù)，，且函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線，求證：是上的嚴(yán)格增函數(shù).證明：（1）函數(shù)為偶函數(shù).……2分因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以，得，所以為偶函數(shù).………4分（2）解：設(shè)因?yàn)槭巧系膰?yán)格增函數(shù)，所以，進(jìn)而，所以，，設(shè)，，則與均為上的嚴(yán)格增函數(shù)，…….3分，恒成立因?yàn)?，，所以，得，?dāng)時(shí)，恒成立，所以.