2023屆山東省煙臺(tái)市重點(diǎn)名校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其前n項(xiàng)和，若（），則（）A．30 B． C． D．624．已知圓：，圓：，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．5．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．6．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．7．設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．8．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．9．已知集合，，則（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A． B． C． D．11．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．12．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.14．函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)；③不等式的解集為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．15．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，設(shè)，且，則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.16．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是_____，_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.18．（12分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.19．（12分）已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．20．（12分）某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(zhǎng)（單位：）分別為隨機(jī)變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（Ⅰ）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長(zhǎng)在區(qū)間的概率；（Ⅱ）記該地區(qū)蜻蜓的翼長(zhǎng)為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請(qǐng)你根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長(zhǎng)在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可）.注:若，則，，.21．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：萬(wàn)臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬(wàn)臺(tái)）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應(yīng)填n≤1．故選B點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點(diǎn)考試的概率更大．此種題型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤．2、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

根據(jù)，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公式，最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，因此.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，故的最大值為，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對(duì)稱性，求出所求式子的最大值．5、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C，當(dāng)時(shí)，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A,C，當(dāng)正數(shù)越來越小，趨近于0時(shí)，，所以函數(shù)，故排除選項(xiàng)B,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識(shí)別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.6、C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因?yàn)?

所以

,

，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.7、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題．8、A【解析】

由得,然后分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因?yàn)?所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.9、B【解析】

求出集合，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．11、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；B.，值域?yàn)?，奇函?shù)，排除；C.，值域?yàn)椋婧瘮?shù)，滿足；D.，值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù)，排除；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.12、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，則所求項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、①③【解析】

利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結(jié)合，進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對(duì)于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對(duì)于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，分別是、、、、，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題．15、【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線的定義可得，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義及其性質(zhì)，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.16、【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模．【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，連接、交于點(diǎn)，并連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，，利用空間平行線的傳遞性可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）推導(dǎo)出平面，并計(jì)算出，由此可得出到平面的距離為，即可得解.【詳解】（1）連接，連接、交于點(diǎn)，并連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可得，.平面，平面，因此，平面；（2）由于在底面的投影為，平面，平面，，為正三角形，且為的中點(diǎn)，，，平面，且，因此，到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用正弦定理對(duì)已知代數(shù)式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理求解余弦值；（2）根據(jù)余弦定理求出b＝1或b＝3，結(jié)合面積公式求解.【詳解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，∴cosC；（2）把a(bǔ)＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，∵cosC，C為三角形內(nèi)角，∴sinC，∴S△ABCabsinC3×bb，則△ABC的面積為或．【點(diǎn)睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形，關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用余弦定理求解邊長(zhǎng)，根據(jù)面積公式求解面積.20、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的，所以，代入數(shù)值運(yùn)算即可；（Ⅱ）可判斷均值應(yīng)為，再結(jié)合（1）和題干備注信息可得，進(jìn)而求解；（Ⅲ）求得，該分布符合二項(xiàng)分布，故，列出分布