專題1-2 相交線與平行線（考題猜想應(yīng)用思想方法解相交線與平行線問題的九種技巧題型）解析版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題1-2應(yīng)用思想方法解相交線與平行線問題的九種技巧題型平行線與相交線這一章是初一下學(xué)期的重點(diǎn)內(nèi)容，在這一章中涉及不少數(shù)學(xué)思想方法，比如方程思想、整體思想、分類討論思想等等。這些思想方法不僅在小題中能用到，在解答題中也很常見，特別是在壓軸題中，可能會(huì)將多種方法結(jié)合起來一起使用。題型技巧1：基本圖形（添加輔助線）法【方法點(diǎn)撥】當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的第三條直線

，如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線?！纠}1】．（2022春?林州市期末）如圖，，，則、和的關(guān)系是A． B． C． D．【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．【解答】解：延長交與，延長交于．在直角中，；中，，，，，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023春?長葛市期末）如圖，，于，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，．【分析】延長交于點(diǎn)，根據(jù)垂直定義可得，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答．【解答】解：延長交于點(diǎn)，，，是的一個(gè)外角，，，，，故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，垂線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，，，，若，則的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到，由條件推出，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．過作，延長交于，得到，推出，得到，因此，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過作，延長交于，

，∴，，，，，，，，，，，，．故答案為：【變式3】（22-23八年級(jí)上·浙江·開學(xué)考試）如圖，直線MN分別與直線AB和CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足∠1+∠2＝180°．(1)試判斷直線AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．(2)作∠AEF的平分線EG交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥EG交MN于點(diǎn)H．若∠DGH＝40°，求∠1的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)∠1＝80°【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的定義及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定；（2）由GH⊥EG，可得∠EGF＝50°，再由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠1的度數(shù)．【詳解】（1）解：，理由如下：∵∠2+∠CFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠CFE，∴；（2）∵GH⊥EG，∠DGH＝40°，∴∠EGF＝50°，∵，∴∠AEG＝∠EGF＝50°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEG＝100°．∴∠1＝80°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟記平行線的判定與性質(zhì)及注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是解題的基礎(chǔ)．題型技巧2：分離圖形法【方法點(diǎn)撥】在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)“三線八角”比較困難,可先將圖形進(jìn)行分離,即將圖形中與所需角、線無關(guān)的線遮擋起來,然后根據(jù)“三線八角”的基本圖形進(jìn)行辨認(rèn)和確定【例題2】（22-23七年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖，三角形的邊在直線上，直線平行于分別交，于點(diǎn)，則圖中共有內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)為．【答案】對(duì)【分析】本題考查內(nèi)錯(cuò)角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角的定義．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，由此即可得到答案．【詳解】解：內(nèi)錯(cuò)角有和，和，和，與，和，和，和，和，和，和，∴圖中共有內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)為對(duì)．故答案為：對(duì)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖所示的八個(gè)角中，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，同旁內(nèi)角有對(duì)．【答案】344【分析】本題主要考查了三線八角，同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角分別進(jìn)行分析可得答案．【詳解】解：同位角有與，與，與，共3對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角：與，與，與，與，共4對(duì)；同旁內(nèi)角：與，與，與，與，共4對(duì)；故答案為：3；4；4．【變式2】（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，圖中內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)．【答案】5【分析】本題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角的定義，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，據(jù)此求解即可．【詳解】解：與，與，與，與，與都是內(nèi)錯(cuò)角，∴圖中內(nèi)錯(cuò)角有5對(duì)，故答案為：5．【變式3】（2023九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）如圖，請(qǐng)結(jié)合圖形找出圖中所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．【答案】見解析【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義，即可得到答案．同位角：分別在兩條直張的同一側(cè)，并且都在第三條直線的同一旁，同位角類似于角度的平行平移得到的．內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線之間，并且分別在第三條直線的兩旁，類似于字形的頂點(diǎn)．同旁內(nèi)角：在兩條直線之間，并且都在第三條直線的同一旁．【詳解】解：當(dāng)直線，被所截時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角有：與，與；同旁內(nèi)角有：與，與．當(dāng)直線，被所截時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角有：與；同旁內(nèi)角有：與．當(dāng)直線，被所截時(shí)，同位角有：與；同旁內(nèi)角有：與．當(dāng)直線，被所截時(shí)，同位角有：與；同旁內(nèi)角有：與．當(dāng)直線，被所截時(shí)，同位角有：與；同旁內(nèi)角有：與．【點(diǎn)睛】本題考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，熟練掌握它們的定義是解答本題的關(guān)鍵．題型技巧3：平移法【方法點(diǎn)撥】在看不出幾何圖形面積的計(jì)算方法時(shí)，通過把圖形的某一部分向某一方向平行移動(dòng)-定的距離，使圖形重新組合成可以看出計(jì)算方法的圖形，從而計(jì)算出圖形面積的解題方法叫做平移法?！纠}3】（22-23七年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖，某住宅小區(qū)內(nèi)有一長方形地塊，想在長方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路（圖中陰影部分），余下部分綠化，若小路的寬為2m，則綠化面積為？【答案】560【分析】將小路平移后綠化部分即是長，寬的長方形，根據(jù)長方形的面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：560．【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的平移現(xiàn)象，這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進(jìn)而列式求出答案．．【變式1】（23-24七年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）張三打算在院落里種上蔬菜，已知院落為東西長，南北寬的長方形為了行走方便，要修筑同樣寬的三條道路，余下的部分要種上蔬菜，若每條道路的寬均為，蔬菜的總種植面積是．

【答案】【分析】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，結(jié)合圖形平移的知識(shí)，畫出等效圖，利用長方形形面積公式解答，解題的關(guān)鍵是想法把種菜的部分轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形，然后根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式進(jìn)行解答．【詳解】解：結(jié)合圖形平移的知識(shí)，可將題目中的圖等效為下圖，則圖中空白處的面積為所求面積．

結(jié)合題中的信息，可得空白處的面積為，所以蔬菜的總種植面積為．故答案為：．【變式2】（23-24七年級(jí)下·甘肅定西·階段練習(xí)）星期天早晨，小剛和爸爸正在商量往樓梯上鋪地毯的事，如圖所示，爸爸：“小剛，你幫我算一下，從一層鋪到二層需要地毯幾米？”爸爸：（打斷小剛的話）“不量每階的高度和寬度，你想想有沒有辦法？”小剛：（思索）“有了，只需要量出樓梯的總高和總長度再相加，就行了．”你認(rèn)為小剛的方法可以嗎？說明理由．【答案】可以，理由見詳解；【分析】本題主要考查了平移的應(yīng)用，根據(jù)題意可知地毯的寬度是確定的，求出長即可，根據(jù)平移的性質(zhì)得到量出樓梯的總高和總長度相加得出答案；【詳解】解：可以，理由如下，由圖可得，地毯的總長為：，剛好是總長與總高的和，∴小剛的方法可以．【變式3】（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）為實(shí)現(xiàn)“綠色江夏·和諧江夏”，江夏區(qū)政府準(zhǔn)備開發(fā)城北一塊長為，寬為的長方形空地．(1)方案一：如圖1，將這塊空地種上草坪，中間修一條彎曲的小路，小路的左邊線向右平移就是它的右邊線．則這塊草地的面積為；(2)方案二：如圖2，將這塊空地種上草坪，修縱橫兩條寬的小路，則這塊草地的面積為；(3)方案三：修建一個(gè)長是寬的倍，面積為的籃球場，若比賽用的籃球場要求長在到之間，寬在到之間．這個(gè)籃球場能用做比賽嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)(3)這個(gè)籃球場能用做比賽，理由見解析【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，利用平方根解方程等知識(shí)．熟練掌握平移的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，利用平方根解方程是解題的關(guān)鍵．（1）由平移可知，小路的面積為，根據(jù)草地的面積為，計(jì)算求解即可；（2）由題意知，草地的面積為，計(jì)算求解即可；（3）設(shè)寬為，則長為，依題意得，，可求，根據(jù)，可知寬滿足要求；由，，可知長滿足要求；然后作答即可．【詳解】（1）解：由平移可知，小路的面積為，∴草地的面積為，故答案為：；（2）解：由題意知，草地的面積為，故答案為：；（3）解：這個(gè)籃球場能用做比賽，理由如下；設(shè)寬為，則長為，依題意得，，解得，，∵，∴寬滿足要求；∵，，∴長滿足要求；∴這個(gè)籃球場能用做比賽．題型技巧4：方程思想【方法點(diǎn)撥】方程思想主要應(yīng)用在有關(guān)角的度數(shù)的計(jì)算中，當(dāng)已知角之間的關(guān)系比較復(fù)雜或不容易表達(dá)時(shí)，利用方程思想可以使解題過程變得比較簡潔、清楚．【例題4】（23-24七年級(jí)上·湖南懷化·期末）以直線上點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線，使，將直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(1)如圖1，若直角三角形的邊放在射線上，則_______．(2)如圖2，將直角三角形繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得平分，說明所在射線是的平分線；(3)將直角三角形繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得．求的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)或．【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．（1）直接利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）利用角平分線的定義與余角的含義證明，可得結(jié)論；（3）設(shè)，則．分兩種情況：①如圖1，在內(nèi)部時(shí)，②如圖2，在的內(nèi)部時(shí)，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．故答案為：．（2）解：∵平分，∴．∵，∴，．∴．∴所在射線是的平分線．（3）解：設(shè)，則．有兩種情況：①如圖1，在內(nèi)部時(shí)，∵，，，∴，解得，即．∴；②如圖2，在的內(nèi)部時(shí)，∵，，，∴，解得，即．∵，所以．綜上，的度數(shù)為或．【變式1】（21-22七年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若．①當(dāng)三條射線、、構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)的值；②在射線，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當(dāng)，求的值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）根據(jù)題意求得OD與OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度數(shù)；（2）①分三種情況，列出方程，解方程即可得到答案；②先證明運(yùn)動(dòng)至外部．由，，可以得到，又因?yàn)槠椒?，則，從而求出，再求得，即可求得答案．【詳解】（1）解：依題意，當(dāng)時(shí)，射線運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為，∵，∴此時(shí)與重合，射線運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為，即，∴當(dāng)時(shí)，．（2）①若時(shí)，分下面三種情形討論：（i）如圖1，當(dāng)時(shí)，，∴，符合．（ii）如圖2，當(dāng)時(shí)，，∴，符合．（iii）如圖3，當(dāng)時(shí)，，∴，不在范圍內(nèi)，舍去．綜上所得或．②如圖4，∵，∴，，∴最大度數(shù)為，最大度數(shù)為．∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴運(yùn)動(dòng)至外部．此時(shí)，，，∴，∵平分，∴，∴，又，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、圖形的旋轉(zhuǎn)、角之間計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列方程．【變式2】（20-21七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）（1）一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半小，則這個(gè)角的度數(shù)為度（2）如圖，從點(diǎn)引出6條射線，且，、分別是的平分線．則的度數(shù)為度（3）鐘面上的時(shí)間是3點(diǎn)整，然后，時(shí)針與分針繼續(xù)正常行走，當(dāng)分針與時(shí)針的夾角成時(shí)，針指向3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，求此時(shí)刻是幾點(diǎn)幾分．【答案】（1）50；（2）40；（3）3點(diǎn)分或3點(diǎn)分【分析】（1）設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是x°，則它的余角為（90-x）°，補(bǔ)角為（180-x）°，然后依據(jù)這個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半少25°列方程求解即可．（2）設(shè)∠BOF=∠COF=x°，∠AOE=∠DOE=y°，∠COD=z°，根據(jù)角的和差列出方程即可求解；（3）分兩種情況列出方程求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是x°，則它的余角為（90-x）°，補(bǔ)角為（180-x）°．依題意得：90-x=（180-x）-25，解得x=50．∴這個(gè)角的度數(shù)是50°．故答案為：50°．（2）設(shè)∠BOF=∠COF=x°，∠AOE=∠DOE=y°，∠COD=z°，則根據(jù)題意得：，兩式相減得：z=40．即∠COD=40°．故答案為：40；（3）設(shè)此時(shí)是3點(diǎn)分若分針在時(shí)針的上方則有：解此方程得：若分針在時(shí)針的下方，則有：解此方程得：答：此時(shí)是3點(diǎn)分或3點(diǎn)分【點(diǎn)睛】本題主要考查的是余角和補(bǔ)角的定義，依據(jù)題意列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【變式3】（20-21七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，從點(diǎn)O引出6條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝120°，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF＝135°．（1）若∠BOF＝m，則∠AOE（用含m的代數(shù)式表示）；（2）求∠COD的度數(shù)．【答案】（1）()；（2）∠COD的度數(shù)為30°．【分析】（1）設(shè)∠AOE=n，∠COD=，則，由角平分線的性質(zhì)，可得，解方程組即可求解；（2）設(shè)∠COD=x，∠BOC+∠AOD=y，由角平分線的性質(zhì)，可得x+y=135°，圖中六個(gè)角之和為360°，可得x+y+120°=360°，聯(lián)立方程組解得x的值．【詳解】（1）設(shè)∠AOE=n，∠COD=，∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF=135°，∠AOB=120°，∴∠BOF=∠COF=∠BOC=m，∠AOE=∠DOE=∠AOD=n，∴，消去得：，∴，故答案為：()；（2）設(shè)∠COD=x，∠BOC+∠AOD=y，∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF=135°，∠AOB=120°，∴∠BOF=∠COF=∠BOC，∠AOE=∠DOE=∠AOD，∴，解得：x=30°，∴∠COD的度數(shù)為30°．【點(diǎn)睛】本題考查角與角之間的運(yùn)算，角平分線的定義，注意結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系，進(jìn)而列方程組求解．題型技巧5：轉(zhuǎn)化思想【方法點(diǎn)撥】當(dāng)一個(gè)角的度數(shù)不能直接求出時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為求它的補(bǔ)角、余角或與它相等的角，進(jìn)而求出這個(gè)角的度數(shù)．【例題5】（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在直線上，，．(1)求證：；(2)的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．（1）根據(jù)平角的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，得到，利用同位角相等兩直線平行即可；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)角平分線的定義，得到，最后利用平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴∴；（2）∵∴∵∴∵∴∴∵是的角平分線，∴∵∴∴．【變式1】．（2024春?成縣月考）如圖，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，平分交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【分析】由平角求出的度數(shù)，由角平分線得出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，平分，，，則的度數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．熟練掌握平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2024春?西華縣月考）如圖，已知與交于點(diǎn)，，．（1）求證：．（2）若，，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得，從而證出，得出結(jié)論；（2）先求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)論即可．【解答】（1）證明：，，，，；（2）解：，且，，由（1）得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，牢記平行線的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．【變式3】（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知．(1)與平行嗎？請(qǐng)說明理由．(2)若平分，于點(diǎn)A，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，兩直線垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由可得，進(jìn)一步可推得，即可證明；（2）由角平分線的定義可得，結(jié)合（1）的結(jié)論可推得，根據(jù)兩直線垂直的定義可得，由此即得答案．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵平分，，∴，∵，∴，∵，∴，∴。題型技巧6：數(shù)形結(jié)合思想【方法點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合即是通過將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來解題，促使抽象思維與形象思維的和諧復(fù)合，通過對(duì)幾何圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決?！纠}6】（22-23七年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖，，平分，平分，點(diǎn)E在的延長線上，連接，．下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理與性質(zhì)定理．根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理結(jié)合角平分線的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴；故A、C正確，不符合題意；∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故D正確，不符合題意；∵，，∴，故B錯(cuò)誤，符合題意；故選：B．【變式1】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）閱讀下列推理過程，在括號(hào)中填寫依據(jù)．已知：如圖，點(diǎn)D、E分別在線段上，，，交于點(diǎn)F，平分，求證：平分．

證明：平分（已知）．∴（________）．∵（已知），∴（________）．∴（等量代換）．∵（________），∴（________）．且（________）．∴（等量代換）．∴平分（________）．【答案】角平分線的定義；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線的定義【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，有關(guān)角平分線的證明，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得，再由，可得，從而得到，然后根據(jù)，可得，，從而得到，即可求證．【詳解】證明：∵平分（已知）∴（角平分線的定義）∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴（等量代換）∵（已知）∴（兩直線平行，同位角相等）且（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴（等量代換）∴平分（角平分線的定義）故答案為：角平分線的定義；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線的定義．【變式2】（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，已知直線、被直線所截，平分，求的度數(shù)．將該題解題過程補(bǔ)充完整：解：（

）____________平分（已知）____________（已知）（

）（

）______【答案】平角的定義；∠2；；；50；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；130【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)求角的過程，一步步把求解的過程補(bǔ)充完整即可．【詳解】解：（平角的定義），平分（已知），（已知）（同位角相等，兩直線平行）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）故答案為：平角的定義；∠2；；；50；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；130【變式3】（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·期中）如圖，已知兩點(diǎn)分別是上的兩動(dòng)點(diǎn)，分別平分和，射線的反向延長線與射線相交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，作的角平分線交射線于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，為線段和上的兩定點(diǎn)，若將沿翻折，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足，，請(qǐng)求出與的關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，理解題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，根據(jù)是的外角得，又因?yàn)槭堑耐饨堑玫?，進(jìn)而推出結(jié)論；（2）根據(jù)均為的外角，可得，再由平分的角平分線，所以，即可得結(jié)論；（3）設(shè)由內(nèi)角和定理，則，同理，得到，從而，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義可得，由內(nèi)角和定理，即可得結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)，∵分別平分，∴，∵是的外角，∴，∵，即，∴，又∵是的外角，∴，即，∴，當(dāng)時(shí)，；（2）解：∵均為的外角，∴，，∴，∵，∴，∵平分的角平分線，∴，，∵，∴，即；（3）解：設(shè)，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由折疊可得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．題型技巧7：分類討論思想【方法點(diǎn)撥】在本章中，過一點(diǎn)作已知直線的垂線與過一點(diǎn)作已知直線的平行線等問題中，當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)，需要對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論．在有關(guān)角的計(jì)算問題中，還常對(duì)某條射線在角的內(nèi)部或外部進(jìn)行分類討論．【例題7】．（2024春?沭陽縣月考）探究問題：已知，畫一個(gè)角，使，，且交于點(diǎn)．與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）我們發(fā)現(xiàn)與有兩種位置關(guān)系：如圖1與圖2所示．圖1中與數(shù)量關(guān)系為；圖2中與數(shù)量關(guān)系為；請(qǐng)選擇其中一種情況說明理由．（2）若兩個(gè)角的兩邊互相平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，求出這兩個(gè)角的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到與與關(guān)系即可得到答案；（2）根據(jù)角度關(guān)系及（1）的關(guān)系直接求解即可得到答案．【解答】解：（1）圖1中，，，，，，，，在圖2中，，，，，；（2）由（1）得，如圖1，，一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，或，解得：，或，，如圖2，，，解得：，這兩個(gè)角的度數(shù)是：，、和．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022春?茂南區(qū)期中）已知，畫一個(gè)角，使，，且交于點(diǎn)．探究與的數(shù)量關(guān)系．（1）我們發(fā)現(xiàn)與存在某種數(shù)量關(guān)系，如圖1所示，那么圖1中與有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（2）你認(rèn)為與還有其他數(shù)量關(guān)系嗎？若有，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并在圖2中畫出一個(gè)滿足這個(gè)數(shù)量關(guān)系的．若沒有，請(qǐng)說明理由．（3）若兩個(gè)角的兩邊互相平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，請(qǐng)求出這兩個(gè)角的度數(shù)．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，推理可得結(jié)論；（2）先判斷有沒有關(guān)系，再畫出圖形；（3）分兩種情況討論，列出方程求解即可．【解答】解：（1）．理由：，，，．（2）有．如圖所示：．（3）①若兩個(gè)角相等時(shí)，設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為，則：，．所以兩個(gè)角都是；②若兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為，則：，．所以一個(gè)角是，另一個(gè)角是．答：這兩個(gè)角是、或、．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和一元一次方程．掌握平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．若兩個(gè)角的兩邊互相平行，這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【變式2】．（2024春?桐鄉(xiāng)市校級(jí)月考）如圖，已知直線，，分別是，上的點(diǎn)，點(diǎn)在直線，內(nèi)部，且，．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，射線繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．當(dāng)時(shí)，試探究與的位置關(guān)系，并說明理由．（3）在（2）中，射線繞點(diǎn)同時(shí)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)得出，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)小于時(shí)，當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)大于時(shí)，分別討論，即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)作，，，．，，；（2），理由如下，射線繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，又，；（3）如圖所示，當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)小于時(shí)，，，，，，，，，又，，，解得：，如圖所示，當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)大于時(shí)，，，，，，，，，，，又，，，解得：，綜上可知，的值為7或19．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是平行線判定定理的應(yīng)用．【變式3】．（2023春?義烏市月考）如圖1，點(diǎn)在直線上，，將一個(gè)含有角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，較長的直角邊在射線上，較短的直角邊在直線的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．（1）圖1中與互補(bǔ)的角有．（2）當(dāng)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)處，另一端點(diǎn)在射線上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)以每秒度的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)以每秒度的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)．試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的整個(gè)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得與這兩個(gè)角中，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意時(shí)的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．你的答案是：．【分析】（1）利用補(bǔ)角的定義進(jìn)行解答．（2）根據(jù)垂直的定義建立方程求解即可．（3）分類討論：①時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③時(shí)，分別根據(jù)或列方程求解．【解答】解：（1），，，圖1中與互補(bǔ)的角有和．故答案為：和．（2）分兩種情況討論：①如圖4，當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)過的角度等于，，．②如圖5，當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)過的角度等于，，，故旋轉(zhuǎn)的時(shí)間或秒．（3）存在．的旋轉(zhuǎn)速度是旋轉(zhuǎn)速度的3倍，，設(shè)，則，，，分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，若，則，（不合題意，舍去），若，則，不合題意，舍去，②時(shí)，，，若，則，，，若，，，，③當(dāng)時(shí)，，，若，則，，，若，則，，，故答案為：或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)角、垂直的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．題型技巧8：建模思想模型一、“鉛筆”模型1.從豬蹄模型可以看出，點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來，如下圖：那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。模型結(jié)論：∠B+∠E+∠D=360°2.模型證明如圖，若AB//CD，求證：∠B+∠E+∠D=360°證明一：如圖，過點(diǎn)E作FG//AB∵

AB//FG，AB//CD∴

FG//CD∵

AB//FG∴∠BEF+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵FG//CD∴

∠D+∠DEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴

∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°證明二：如圖，連接BD，∵AB//CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴

∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴

∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°證明該模型結(jié)論的還有其他方法，這里就沒有全部寫出來，可以自行證明。從前面學(xué)過的豬蹄模型和這里的鉛筆頭模型我們都能看出，最簡單的方法就是過點(diǎn)E作平行線，利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論。3.豬蹄模型和鉛筆頭模型關(guān)系（1）將豬蹄模型轉(zhuǎn)化為鉛筆頭模型ABEDC為豬蹄模型，F(xiàn)BEDG為鉛筆頭模型由豬蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED∵∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED∴

∠FBE+∠GDE+∠BED=360°（2）將鉛筆頭模型轉(zhuǎn)化為豬蹄模型ABEDC為鉛筆頭模型，F(xiàn)BEDG為豬蹄模型由鉛筆頭模型得，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∵

∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°∴

∠FBE+∠GDE=∠BED【例題8】（2023春?炎陵縣期末）如圖所示，，，，試求的度數(shù)．【分析】過點(diǎn)作，從而利用平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后再利用平行線的性質(zhì)可得，最后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)作，，，，，，的度數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023春?禪城區(qū)期中）如圖，已知直線，與、分別交于點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)在直線上且不與點(diǎn)、重合．點(diǎn)在上，且位于點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在上，已知，，．（1）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，①點(diǎn)在圖1的位置時(shí)，若，，求的度數(shù)．②點(diǎn)在圖2的位置時(shí)，試說明，，之間的關(guān)系．（2）當(dāng)在右側(cè)，且時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間可能的關(guān)系．【分析】（1）在圖1和圖2中分別過點(diǎn)作輔助線，利用平行線的性質(zhì)解題即可．（2）根據(jù)題意，點(diǎn)的位置有三種，上方、和之間、以及下方，注意分類討論．【解答】解：（1）①如圖，過點(diǎn)作，可得，，，，．②如圖，過點(diǎn)作，可得，，，，．（2）情況1（如備用圖，過點(diǎn)作，得，即．，，，即．，．情況2（如備用圖，過點(diǎn)作，得，即．，，，即．，．情況3（如備用圖，過點(diǎn)作，得，即．，，，即．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，利用分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023春?武漢期末）已知，，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過作射線、分別交直線、于點(diǎn)、．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，若和的角平分線交于點(diǎn)，求和的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)，且，時(shí)，射線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)射線與的一邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)已知條件證明，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，，通過等量代換即可；（2）先根據(jù)已知條件證明，，，然后利用四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行代換即可；（3）分三種情況進(jìn)行解答，①，②，③，求出旋轉(zhuǎn)的角度就能算出答案．【解答】解：（1）如圖所示：過點(diǎn)作，，，，，，，；（2）如圖所示：平分，平分，，，，，，，，，，，；（3）如圖所示：分三種情況：①如圖1所示：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，，，，，，，，，，，，平分，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的速度每秒，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的速度為每秒，秒；②如圖2所示：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，，，，，，，，，，平分，，，秒；③如圖3所示：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，，，①已證，平分，，秒；當(dāng)射線與的一邊互相平行時(shí)，的值為10或26或34秒．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確的識(shí)別圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì)．【變式3】．（2023春?巴南區(qū)月考）已知直線，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)在直線和之間．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，點(diǎn)在直線上，且，求證：；（3）如圖3，平分，平分，且．若，直接寫出的度數(shù)．【分析】（1）過點(diǎn)作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得即可得證．（2）由得出，結(jié)合即可得證．（3）由平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，如圖：，，，，．（2）證明：．，，，，，．（3）解：．，，，，平分，平分，，，又，，，，．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．模型二：豬蹄模型基本特征：一組平行線，中間有一個(gè)點(diǎn)，分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”。如圖，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．思路1：過拐點(diǎn)作平行線過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延長BE交CD于點(diǎn)F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小結(jié)證明的方法還有很多，同學(xué)們可以多多嘗試。重點(diǎn)在于構(gòu)造平行線的三線八角，就可以得到經(jīng)典結(jié)論：豬蹄模型頂點(diǎn)在同一側(cè)的角之和等于頂點(diǎn)在另一側(cè)的角之和。豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）結(jié)論：∠B+∠D=∠E步驟總結(jié)步驟一：過豬蹄（拐點(diǎn)）作平行線步驟二：借助平行線的性質(zhì)找相等或互補(bǔ)的角步驟三：推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系【例題9】．（2023春?確山縣期中）【問題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，，為，之間一點(diǎn)，連接，，得到．試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：【類比探究】如圖②，，線段與線段相交于點(diǎn)，，，平分交直線于點(diǎn)，則．【分析】（1）過點(diǎn)作，利用豬腳模型進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得，從而可得，然后利用角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1），理由：過點(diǎn)作，，，，，；（2）由（1）可得：，，，，，平分，，故答案為：58．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握豬腳模型是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023春?云陽縣期末）如圖，已知直線，點(diǎn)在和之間，連接，，若，，則．【分析】過點(diǎn)作直線，則，由平行線的性質(zhì)可得，，易得，則，代入計(jì)算即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作直線，，，，，，，．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．【變式2】．（2023春?贛縣區(qū)期末）【問題背景】：同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】：（1）如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接、，得到與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【類比遷移】：（2）請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，直線，若，，，求的度數(shù)；【靈活應(yīng)用】：（3）如圖3，直線，若，，則度．【分析】（1）過點(diǎn)作，利用豬腳模型即可解答；（2）過點(diǎn)作，利用豬腳模型可得：，，從而可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）先利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而利用對(duì)頂角相等可得，然后利用豬腳模型可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1），理由：過點(diǎn)作，，，，，，；（2）過點(diǎn)作，由（1）可得：，，，由（1）可得：，，，，，的度數(shù)為；（3）如圖：，，，，，由（1）可得：，，故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2022秋?射洪市期末）【問題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，為，之間一點(diǎn)，連接，，得到．試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）【類比探究】請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，已知，，點(diǎn)在上，，請(qǐng)你說明；（把下面的解答補(bǔ)充完整）解：因?yàn)樗砸驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗约此杂桑?）知（3）【拓展延伸】如圖3，平分，平分，．若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)為．【分析】（1）過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)和判定可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)、平角的定義及等角的補(bǔ)角相等填空即可；（3）先利用（1）的結(jié)論用表示出，再利用平行線的性質(zhì)用表示出，最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出．【解答】解：（1）．理由：過點(diǎn)作．，．，．，．（2）解：因?yàn)?，所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．因?yàn)椋ㄆ浇堑亩x），又因?yàn)?，所以（等角的補(bǔ)角相等），即．所以．由（1）知，．故答案為：，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平角的定義；，；等角的補(bǔ)角相等；（3）平分，平分，，．，由（1）知，即．，，即．．，，即．．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．三、鋸齒模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【例題10】．（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，，是直線、間的一條折線．若，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】過作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，，由角的和差得到，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖2，過作，，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023春?定州市期中）如圖，，，則、、的關(guān)系為A． B． C． D．【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．【解答】解：延長交于，延長交于．直角中，；中，，，，，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造了三角形以及由平行線構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角．【變式2】．（2022春?銅仁市期末）2022北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第一次走進(jìn)滑雪場的你，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，如果人的小腿與地面的夾角，你能求出身體與水平線的夾角的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)你用兩種不同的方法求出的度數(shù)．【分析】方法一：延長交直線于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答；方法二：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，利用平行線中的鋸齒模型，即可解答．【解答】解：方法一：延長交直線于點(diǎn)，，，，；方法二：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，．的度數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2022春?鐵東區(qū)校級(jí)月考）感知與填空：如圖①，直線．來證：．（1）閱讀下面的解答過程，請(qǐng)?zhí)钌线m當(dāng)?shù)睦碛桑C明：過點(diǎn)作直線（已知），（2）應(yīng)用與拓展：如圖②，直線．若，，，求的度數(shù)．（3