專題2-1 實(shí)數(shù)（考題猜想實(shí)數(shù)大小比較的九種題型方法）解析版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題2-1實(shí)數(shù)（考題猜想，實(shí)數(shù)大小比較的九種題型方法）方法1：比較絕對(duì)值法【方法點(diǎn)撥】比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，先比較它們的絕對(duì)值，再根據(jù)絕對(duì)值大的反而小求解即可．【例題1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻拷猓海咀兪?】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻拷猓骸咀兪?】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）比較與的大?。敬鸢浮俊痉治觥勘容^兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，先比較它們的絕對(duì)值，再根據(jù)絕對(duì)值大的反而小求解即可．【詳解】∵，，∵，∴，根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，∴．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)比較大小，熟練掌握負(fù)數(shù)的大小比較方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（21-22八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）比較大小：﹣和﹣．【答案】＞【分析】?jī)蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，先比較它們的絕對(duì)值，絕對(duì)值大的反而?。驹斀狻拷猓骸撸?，，，而，∴＞．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，掌握兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小是解題關(guān)鍵．方法2：開(kāi)方法【方法點(diǎn)撥】對(duì)于一些簡(jiǎn)單的含根號(hào)的數(shù)字，有時(shí)可以直接把數(shù)化入到根號(hào)里面，然后比較根號(hào)內(nèi)數(shù)字的大小即可?！纠}2】（22-23七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）比較大小：(1)與7；(2)與1．【答案】(1)(2)【分析】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋约纯傻玫脚c7的大小關(guān)系；（2）與1兩種同時(shí)擴(kuò)大2倍，即與2，然后都加上1，即與3，因?yàn)?，且，所以即可得到與1的大小關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，，且，∴；（2）解：∵，且，∴，，即，那么，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是比較實(shí)數(shù)的大小等知識(shí)內(nèi)容，學(xué)會(huì)靈活對(duì)式子的整理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23八年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小．(1)和；(2)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，，得出，即可得出答案；（2）根據(jù)，，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，即；（2）解：∵，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的定義．【變式2】（22-23八年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)和和；(2)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根與立方根的定義可得，，進(jìn)而即可求解；（2）先估算的大小，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1），，，，．（2），，．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?）和；

（2）和．【答案】（1）；（2）【分析】通過(guò)比較被開(kāi)方數(shù)來(lái)比較二次根式的大?。驹斀狻浚?）∵∴，即（2）∵∵∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式比較大小的知識(shí)，熟練求解二次根式的被開(kāi)方數(shù)是解題的關(guān)鍵．方法3：平方法【方法點(diǎn)撥】平方法的基本是思路是先將要比較的兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)a>0，b>0時(shí)，可由得到a>b來(lái)比較大小，這種方法常用于比較無(wú)理數(shù)的大小。【例題3】（22-23八年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）比較大?。ㄒ芯唧w過(guò)程）：和；【答案】(1)【分析】?jī)蛇呁椒郊纯杀容^大??；【詳解】解：，，，；【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握“平方法”或“作差法”及“作商法”等常見(jiàn)的比較大小的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23八年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）比較大?。号c；【答案】；【分析】比較與的平方的大小即可；【詳解】解：，，；【點(diǎn)睛】此題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，熟練掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)下·湖北荊州·階段練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。粋€(gè)有理數(shù)與一個(gè)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)比較，常通過(guò)比較它們的平方（或立方）的大小來(lái)比較或都化成帶根號(hào)的數(shù)比較被開(kāi)方數(shù)的大?。?）比較兩個(gè)數(shù)平方的大小即可求解；（2）比較兩個(gè)數(shù)平方的大小即可求解．【詳解】（1）∵，，，∴；（2）∵，，，∴．方法4：立方法【例題4】（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）比較與2.3的大?。敬鸢浮俊驹斀狻恳?yàn)椋?，?0＜12.167，所以．【變式1】（20-21七年級(jí)下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。海?）與2.5；（2）與．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出，再比較即可；（2）先求出，再比較即可．【詳解】解：（1），9＜15.625，，，（2），，，．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，能靈活運(yùn)用立方根的定義進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（21-22八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）比較下列數(shù)的大小錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】A、B、D利用冪的乘方進(jìn)行變形然后比較大小，C選項(xiàng)復(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小判定即可；【詳解】解A.∵27＞25∴＜，故A正確B.∵121＜125∴＜，故B錯(cuò)誤C.∵＜∴，故C正確D.∵7＜8∴，故D正確故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，利用冪的乘方對(duì)不等號(hào)兩邊進(jìn)行變形比較大小是解題的關(guān)鍵．【變式3】（23-24八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）【答案】【分析】先利用同時(shí)立方法得到：，，再利用同時(shí)平方法得到：，，根據(jù)和的大小關(guān)系即可確定和的大小關(guān)系．【詳解】解：，；，；∵，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)比大小，掌握常見(jiàn)的實(shí)數(shù)比大小的方法是解決本題的關(guān)鍵．方法5：取近似值法【方法點(diǎn)撥】估算法的基本是思路是設(shè)a,b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先估算出a,b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較?！纠}5】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）比較與的大小．【答案】【分析】先求出無(wú)理數(shù)的近似值，再比較兩個(gè)數(shù)的大?。驹斀狻拷猓骸撸啵帧?，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查無(wú)理數(shù)的估算及大小比較，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題關(guān)鍵．【變式1】（21-22八年級(jí)上·福建三明·期中）下列數(shù)的大小比較中，不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，，再結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷A，B，再利用近似值可判斷C，D，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，故A不符合題意；∵，∴，∴，故B符合題意；∵，∴，故C不符合題意；而正確，故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理數(shù)的大小比較，掌握無(wú)理數(shù)的大小比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（22-23七年級(jí)下·湖北恩施·期中）下列說(shuō)法正確的有（

）個(gè)①的平方根是

②負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根③大小比較：

④是5的平方根A．1 B．2 C．3 D．4．【答案】B【分析】利用平方根、立方根的定義與性質(zhì)，實(shí)數(shù)大小的比較逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，則其的平方根是，故說(shuō)法不正確；B、任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根為正，零的立方根為零，負(fù)數(shù)的立方根為負(fù)，故說(shuō)法不正確；C、，則，故說(shuō)法正確；D、是5的平方根，說(shuō)法正確；故正確的說(shuō)法有兩個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、立方根的概念與性質(zhì)，實(shí)數(shù)大小的比較，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵．【變式3】（21-22七年級(jí)上·北京平谷·期末）下列實(shí)數(shù)比較大小正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)比較大小的法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行比較即可．【詳解】解：A、1>-4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、-1000<-0.001，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，即正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。椒?：放縮法【方法點(diǎn)撥】即把要比較的兩個(gè)數(shù)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而達(dá)到比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小的目的。【例題6】（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻恳?yàn)椋?，所以．【變?】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）比較下列各組數(shù)的大小：(1)和7；(2)和；(3)4，和．【答案】(1)(2)(3)【詳解】解：（1）．（2）．（3）．．【變式2】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）比較與的大小．【答案】【分析】先估算和的大小，然后進(jìn)行比較，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小可以采用放縮法．【變式3】（2021八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）比較和1的大小．【答案】＜1【分析】先找出的取值范圍進(jìn)而得到的取值范圍即可比較出大?。驹斀狻拷猓骸撸迹迹?/p>

即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的比較能力，得出的取值范圍是解題關(guān)鍵．方法7：作差法【方法點(diǎn)撥】差值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)a-b>0時(shí)，得a>b。當(dāng)a-b<0時(shí)，得到a<b。當(dāng)a-b=0，得到a=b。【例題7】（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）比較和的大?。敬鸢浮浚痉治觥坷米鞑罘盁o(wú)理數(shù)的估算，即可比較出大?。驹斀狻拷猓?，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較方法-作差法，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）比較和的大小（作差法）【答案】【分析】利用作差法及無(wú)理數(shù)的估算，即可比較出大小．【詳解】解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較方法-作差法，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）比較和的大小．【答案】【分析】根據(jù)作差法進(jìn)行比較實(shí)數(shù)的大小即可．【詳解】解：∵，而，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握作差法進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）解下列問(wèn)題：(1)解方程：；(2)比較與的大小【答案】(1)或7(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的定義即可進(jìn)行解答；（2）用做差法即可進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：∵，∴或，解得：或7．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)平方根的定義解方程，比較實(shí)數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，以及無(wú)理數(shù)的估算方法．方法8：作商法【方法點(diǎn)撥】商值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出a與b得商。當(dāng)“<1時(shí)，a<b;當(dāng)“>1時(shí)，a>b;當(dāng)”=1時(shí)，a=b。來(lái)比較a與b的大小。【例題8】（2022八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）比較與的大?。ㄗ魃谭ǎ敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，又∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．【變式1】（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）作商比較法的理論依據(jù)是，，若，則；若，則；若，則．請(qǐng)用作商法比較與的大小．【答案】【分析】用除以，結(jié)果與1比較大小即可．【詳解】解：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查作商法比較二次根式的大小，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)及乘除運(yùn)算法則．【變式2】（21-22八年級(jí)上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）比較下列二次根式的大小：（1）與；（2）與．【答案】（1）；（2）【詳解】解析：（1）作差法比較大??；（2）作商法比較大?。鸢福航猓海?）∵，∴；（2），∴．題型解法：（1）作差法：如果兩個(gè)二次根式出現(xiàn)某些被開(kāi)平方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，常采用作差法．若，則；若，則；若，則；（2）作商法：a，b都是正數(shù)，若，則；若，則；若，則．【變式3】比較與的大小.【答案】【分析】根據(jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【詳解】因?yàn)椋?，，所?【點(diǎn)睛】此題考查分母有理化，實(shí)數(shù)大小比較，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.方法9：特殊值法【方法點(diǎn)撥】比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，有時(shí)取特殊值會(huì)更簡(jiǎn)單?！纠}9】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，將x，，，按從小到大的順序排列為．【答案】【分析】利用特殊值法求解，然后比較大小即可．【詳解】解：取，則，，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查實(shí)數(shù)的大小比較及立方根、平方的計(jì)算，采用特殊值法求解是解題關(guān)鍵．【變式1】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）若，則，，，按從小到大的順序排列為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)大小比較方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的取值范圍，設(shè)，分別求出，，的值，比較大小即可求解．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，故，，，∵，，，∴；即．故答案為：．【變式2】（2023上·四川達(dá)州·七年級(jí)校考期末）已知－1＜a＜0，則a，，－a，a2大小關(guān)系是（用“＜”號(hào)連接）．【答案】【分析】在a的取值范圍，用取特殊值進(jìn)行計(jì)算再比較即可解決問(wèn)題．【詳解】解：令a=-0.3，則，-a=0.3，a2=0.09，∵0.3＞0.09＞-0.3＞-，∴＜