專題5-3 方程組及不等式（組）的應用（考題猜想四種應用問題）原卷版-2023-2024學年7下數(shù)學期末考點大串講（人教版）

專題5-3方程組及不等式（組）的應用（考題猜想，四種應用問題）應用1：列方程組解古算術(shù)問題【例題1】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應的常數(shù)項，即可表示方程，則表示的方程是；請將這兩個方程聯(lián)立成方程組，并求出這個方程組的解．【變式1】．（2024七年級下·江蘇·專題練習）古老的“雞兔同籠問題”：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞、兔各幾何？”這是我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中記載的數(shù)學名題．它曾在好幾個世紀里引起過人們的興趣，這個問題也一定會使在座的各位同學感興趣．怎樣來解答這個問題呢？【變式2】．（2024七年級下·江蘇·專題練習）《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則，中卷舉例說明籌算分數(shù)法和開平方法，都是了解中國古代籌算的重要資料．下卷收集了一些算術(shù)難題，“雞兔同籠”問題是其中之一．原題如下：令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雉、兔各幾何？【變式3】．（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，“方程術(shù)”是《九章算術(shù)》的重要內(nèi)容，《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問：牛、羊各直金幾何？”意思如下：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩．問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”請用二元一次方程組解決這個問題．【變式4】．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習）《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．其中下卷“雉兔同籠”流傳尤為廣泛．“雉兔同籠”題為：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？上述“雉兔同籠”問題中，雞和兔各有多少只？【變式5】．（22-23七年級下·江蘇南通·期末）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著九章算術(shù)記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)某商人準備用兩銀子買牛和羊要求既有羊又有牛，且銀兩須全部用完，且羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能．應用2：列方程組與不等式解工程問題【例題2】（2023春?襄汾縣期末）政府計劃為某村修建一條長為1000米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．已知若甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程．甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米．（1）求甲、乙兩工程隊每天各施工多少米？（2）現(xiàn)計劃由兩工程隊聯(lián)合施工完成該工程，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，因甲隊有事，剩下的部分由乙工程隊獨立完成，若要在12天內(nèi)完成該項工程，則乙工程隊每天至少應再多施工多少米？【變式1】．（2023春?梁平區(qū)期末）某玩具廠接到一筆1500盒積木的訂單，需要在15天內(nèi)完成，已知該種積木每盒里都有4個正方體積木和4個半圓形積木．玩具廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個正方體積木或6個半圓形積木，但每人一天只能加工一種積木，玩具廠每天加工的正方體積木和半圓形積木數(shù)量正好全部配套（一樣多）．（1）玩具廠每天能生產(chǎn)多少盒積木？（2）為了能在規(guī)定期限內(nèi)完成訂單，玩具廠決定從其他車間調(diào)來名工人幫忙，新調(diào)來的工人由于工作不熟練，只會加工正方體積木，且每人每天只能加工6個，為了確保每天加工的兩種積木數(shù)量正好全部配套，重新對100名熟練工進行分工．若要在規(guī)定時間內(nèi)完成訂單，求的最小值．【變式2】．（2022春?丹江口市期末）“十淅高速”項目工程建設(shè)已近尾聲，其中某施工路段總長90公里，若由甲、乙兩工程隊合做6個月可以完成，若甲工程做4個月，乙工程隊做9個月也可以完成．（1）甲、乙兩隊每月的施工路段各是多少公里？（2）已知甲隊每月施工費用為12萬元，乙隊每月施工費用為9萬元，按要求該工程總費用不超過130萬元，工程必須在10個月內(nèi)竣工．為了確保經(jīng)費和工期，采取甲隊做個月，乙隊做個月、均為整數(shù)）分工合作的方式施工，請你設(shè)計施工費用最低的施工方案．【變式3】（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙兩個工程隊施工，工程小組綜合比較兩工程隊發(fā)現(xiàn)，甲工程隊施工2天的費用比乙工程隊施工3天的費用少0.3萬元，甲、乙兩工程隊合作施工一天的費用為2.6萬元．單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，乙工程隊要比規(guī)定日期多用5天，初步計算，若單獨請甲工程隊需付30萬元．(1)請計算甲、乙工程隊每天所需的施工費用各是多少萬元?(2)為降低工程施工費用，甲、乙兩工程隊先合作施工若干天，再由乙工程隊全部完成，求甲、乙兩工程隊合作施工多少天時，在不耽誤工期的情況下，施工費用最低．應用3：列方程組與不等式解購物問題【例題3】（2024七年級下·全國·專題練習）我們度過了寒冬，迎來了充滿希望的春天，同學們將走出教室進行適當?shù)捏w育鍛煉，7.1班想集體購買跳繩和毽子、第一次買20條跳繩和30個毽子共花了590元，第二次又買了10條跳繩和10個毽子共花了260元．請回答下面的兩個問題：(1)求跳繩和毽子的單價是多少元？(2)若7.9班也打算購買同樣的跳繩和毽子共50個，且總花費不超過600元，問7.9班的跳繩最多買多少條？【變式1】．（22-23七年級下·重慶黔江·期中）某體育用品店準備購進甲，乙品牌乒乓球兩種，若購進甲種乒乓球10個，乙種乒乓球5個，需要100元，若購進甲種乒乓球5個，乙種乒乓球3個，需要55元．(1)求購進甲，乙兩種乒乓球每個各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了1000元購進這兩種乒乓球，考慮顧客需求，要求購進甲種乒乓球的數(shù)量不少于乙種乒乓球數(shù)量的6倍，且乙種乒乓球數(shù)量不少于23個，那么該文具店共有哪幾種進貨方案？【變式2】．（21-22七年級下·安徽蚌埠·階段練習）某中學為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜3個、乙種書柜2個，共需資金1020元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元．(1)甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？(2)若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學校至多能夠提供資金4320元，求最多能買多少個甲種書柜．【變式3】．（21-22七年級下·山西忻州·階段練習）為保護環(huán)境，我市公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？(2)預計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？【變式4】．（22-23七年級下·四川涼山·期末）某體育用品店準備購進甲、乙兩種品牌跳繩，若購買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購進甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購進這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購進甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【變式5】．（21-22七年級下·新疆阿克蘇·期末）為獎勵在“數(shù)學知識競賽”中表現(xiàn)優(yōu)異的班級，學校準備從體育用品商場一次性購買若干個籃球和足球，已知購買2個籃球和3個足球共需340元，購買5籃球和5個足球共需700元．(1)求籃球和足球的單價各是多少元？(2)根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共20個，但要求購買籃球和足球的總費用不超過1440元，學校最多可以購買多少個籃球？【變式6】．（21-22七年級下·遼寧盤錦·期末）某校在商場購買了兩種品牌的足球，已知購買4個A品牌的足球和6個B品牌的足球共需620元；購買6個A品牌的足球和8個B品牌的足球共需860元．(1)求兩種品牌的足球的單價；(2)該校決定再次購買兩種品牌的足球共50個，恰逢該商場對足球的售價進行調(diào)整，A品牌足球的售價比第一次購買時提高了，若此次購買兩種足球的總費用不超過3100元，那么這所學校最多可購買多少個B品牌的足球？應用4：列方程組與不等式（組）解方案問題【例題4】（22-23七年級下·四川涼山·期末）某體育用品店準備購進甲、乙兩種品牌跳繩，若購買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購進甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購進這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購進甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【變式1】．（22-23七年級下·遼寧大連·期末）西崗區(qū)某中學為落實教育部辦公廳關(guān)于進一步加強中小學生體質(zhì)管理的通知文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門選修課程，為此需要購進一批籃球和足球已知購買個籃球和個足球需要元；購買個籃球和個足球需要元．(1)根據(jù)以上信息解答若需要購買個籃球和個足球需要多少錢；(2)學校計劃采購籃球、足球共個，并要求籃球不少于個，且總費用不超過元，則有哪幾種購買方案？【變式2】．（22-23七年級下·廣西河池·期末）為了實現(xiàn)縣域教育均衡發(fā)展，某縣計劃對，兩類學校分批進行改進，根據(jù)預算，改造一所類學校和兩所類學校共需資金萬元，改造兩所類學校和一所類學校共需資金萬元．(1)改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是多少萬元？(2)該縣計劃今年對、兩類學校共所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔．若今年國家財政撥付的改造資金不超過萬元，地方財政投入的改造資金不少于萬元，其中地方財政投入到、兩類學校的改造資金分別為每所萬元和萬元，請你通過計算求出改造方案？【變式3】．（22-23七年級下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運送醫(yī)藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準備將一批醫(yī)藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？【變式4】．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）“全民閱讀”深入人心，讀書好，好讀書，讀好書，讓人終身受益．為滿足同學們的讀書需求，學校圖書館準備到新華書店采購文學名著和動漫書兩類圖書，經(jīng)了解，本文學名著和本動漫書共需元，本文學名著與本動漫書的費用一樣（注：所采購的文學名著價格都一樣，所采購的動漫書價格都一樣）．(1)求每本文學名著和動漫書各多少元？(2)若學校要求購買文學名著比動漫書多本，動漫書和文學名著總數(shù)不低于本，總費用不超過元，請問有幾種購書方案？(3)在（）的條件下，若學校實際購買時，文學名著單價上調(diào)元本，動漫書單價下調(diào)了元本，此時購買這兩種書籍所需最少費用為元，則的值為_____．【變式5