專題5-3 方程組及不等式（組）的應(yīng)用（考題猜想四種應(yīng)用問(wèn)題）原卷版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題5-3方程組及不等式（組）的應(yīng)用（考題猜想，四種應(yīng)用問(wèn)題）應(yīng)用1：列方程組解古算術(shù)問(wèn)題【例題1】（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）“方程”二字最早見(jiàn)于我國(guó)《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程，則表示的方程是；請(qǐng)將這兩個(gè)方程聯(lián)立成方程組，并求出這個(gè)方程組的解．【變式1】．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）古老的“雞兔同籠問(wèn)題”：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問(wèn)雞、兔各幾何？”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載的數(shù)學(xué)名題．它曾在好幾個(gè)世紀(jì)里引起過(guò)人們的興趣，這個(gè)問(wèn)題也一定會(huì)使在座的各位同學(xué)感興趣．怎樣來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題呢？【變式2】．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學(xué)”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則，中卷舉例說(shuō)明籌算分?jǐn)?shù)法和開(kāi)平方法，都是了解中國(guó)古代籌算的重要資料．下卷收集了一些算術(shù)難題，“雞兔同籠”問(wèn)題是其中之一．原題如下：令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問(wèn)雉、兔各幾何？【變式3】．（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，“方程術(shù)”是《九章算術(shù)》的重要內(nèi)容，《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問(wèn)：牛、羊各直金幾何？”意思如下：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩．問(wèn)：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”請(qǐng)用二元一次方程組解決這個(gè)問(wèn)題．【變式4】．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代一部較為普及的算書，許多問(wèn)題淺顯有趣．其中下卷“雉兔同籠”流傳尤為廣泛．“雉兔同籠”題為：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？上述“雉兔同籠”問(wèn)題中，雞和兔各有多少只？【變式5】．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期末）我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩問(wèn)牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子，問(wèn)每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)某商人準(zhǔn)備用兩銀子買牛和羊要求既有羊又有牛，且銀兩須全部用完，且羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，請(qǐng)問(wèn)商人有幾種購(gòu)買方法？列出所有的可能．應(yīng)用2：列方程組與不等式解工程問(wèn)題【例題2】（2023春?襄汾縣期末）政府計(jì)劃為某村修建一條長(zhǎng)為1000米的公路，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工．已知若甲工程隊(duì)獨(dú)立施工5天后，乙工程隊(duì)再加入，兩工程隊(duì)聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程．甲工程隊(duì)工作2天比乙工程隊(duì)工作3天少施工20米．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天各施工多少米？（2）現(xiàn)計(jì)劃由兩工程隊(duì)聯(lián)合施工完成該工程，兩工程隊(duì)聯(lián)合施工4天后，因甲隊(duì)有事，剩下的部分由乙工程隊(duì)獨(dú)立完成，若要在12天內(nèi)完成該項(xiàng)工程，則乙工程隊(duì)每天至少應(yīng)再多施工多少米？【變式1】．（2023春?梁平區(qū)期末）某玩具廠接到一筆1500盒積木的訂單，需要在15天內(nèi)完成，已知該種積木每盒里都有4個(gè)正方體積木和4個(gè)半圓形積木．玩具廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個(gè)正方體積木或6個(gè)半圓形積木，但每人一天只能加工一種積木，玩具廠每天加工的正方體積木和半圓形積木數(shù)量正好全部配套（一樣多）．（1）玩具廠每天能生產(chǎn)多少盒積木？（2）為了能在規(guī)定期限內(nèi)完成訂單，玩具廠決定從其他車間調(diào)來(lái)名工人幫忙，新調(diào)來(lái)的工人由于工作不熟練，只會(huì)加工正方體積木，且每人每天只能加工6個(gè)，為了確保每天加工的兩種積木數(shù)量正好全部配套，重新對(duì)100名熟練工進(jìn)行分工．若要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成訂單，求的最小值．【變式2】．（2022春?丹江口市期末）“十淅高速”項(xiàng)目工程建設(shè)已近尾聲，其中某施工路段總長(zhǎng)90公里，若由甲、乙兩工程隊(duì)合做6個(gè)月可以完成，若甲工程做4個(gè)月，乙工程隊(duì)做9個(gè)月也可以完成．（1）甲、乙兩隊(duì)每月的施工路段各是多少公里？（2）已知甲隊(duì)每月施工費(fèi)用為12萬(wàn)元，乙隊(duì)每月施工費(fèi)用為9萬(wàn)元，按要求該工程總費(fèi)用不超過(guò)130萬(wàn)元，工程必須在10個(gè)月內(nèi)竣工．為了確保經(jīng)費(fèi)和工期，采取甲隊(duì)做個(gè)月，乙隊(duì)做個(gè)月、均為整數(shù)）分工合作的方式施工，請(qǐng)你設(shè)計(jì)施工費(fèi)用最低的施工方案．【變式3】（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)施工，工程小組綜合比較兩工程隊(duì)發(fā)現(xiàn)，甲工程隊(duì)施工2天的費(fèi)用比乙工程隊(duì)施工3天的費(fèi)用少0.3萬(wàn)元，甲、乙兩工程隊(duì)合作施工一天的費(fèi)用為2.6萬(wàn)元．單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)剛好如期完成，乙工程隊(duì)要比規(guī)定日期多用5天，初步計(jì)算，若單獨(dú)請(qǐng)甲工程隊(duì)需付30萬(wàn)元．(1)請(qǐng)計(jì)算甲、乙工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)用各是多少萬(wàn)元?(2)為降低工程施工費(fèi)用，甲、乙兩工程隊(duì)先合作施工若干天，再由乙工程隊(duì)全部完成，求甲、乙兩工程隊(duì)合作施工多少天時(shí)，在不耽誤工期的情況下，施工費(fèi)用最低．應(yīng)用3：列方程組與不等式解購(gòu)物問(wèn)題【例題3】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）我們度過(guò)了寒冬，迎來(lái)了充滿希望的春天，同學(xué)們將走出教室進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉，7.1班想集體購(gòu)買跳繩和毽子、第一次買20條跳繩和30個(gè)毽子共花了590元，第二次又買了10條跳繩和10個(gè)毽子共花了260元．請(qǐng)回答下面的兩個(gè)問(wèn)題：(1)求跳繩和毽子的單價(jià)是多少元？(2)若7.9班也打算購(gòu)買同樣的跳繩和毽子共50個(gè)，且總花費(fèi)不超過(guò)600元，問(wèn)7.9班的跳繩最多買多少條？【變式1】．（22-23七年級(jí)下·重慶黔江·期中）某體育用品店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲，乙品牌乒乓球兩種，若購(gòu)進(jìn)甲種乒乓球10個(gè)，乙種乒乓球5個(gè)，需要100元，若購(gòu)進(jìn)甲種乒乓球5個(gè)，乙種乒乓球3個(gè)，需要55元．(1)求購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種乒乓球每個(gè)各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了1000元購(gòu)進(jìn)這兩種乒乓球，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種乒乓球的數(shù)量不少于乙種乒乓球數(shù)量的6倍，且乙種乒乓球數(shù)量不少于23個(gè)，那么該文具店共有哪幾種進(jìn)貨方案？【變式2】．（21-22七年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）某中學(xué)為打造書香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購(gòu)進(jìn)的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購(gòu)買甲種書柜3個(gè)、乙種書柜2個(gè)，共需資金1020元；若購(gòu)買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元．(1)甲、乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？(2)若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共20個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金4320元，求最多能買多少個(gè)甲種書柜．【變式3】．（21-22七年級(jí)下·山西忻州·階段練習(xí)）為保護(hù)環(huán)境，我市公交公司計(jì)劃購(gòu)買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購(gòu)買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬(wàn)元；若購(gòu)買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬(wàn)元．(1)求購(gòu)買A型和B型公交車每輛各需多少萬(wàn)元？(2)預(yù)計(jì)在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬(wàn)人次和100萬(wàn)人次．若該公司購(gòu)買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過(guò)1200萬(wàn)元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬(wàn)人次，則該公司有哪幾種購(gòu)車方案？【變式4】．（22-23七年級(jí)下·四川涼山·期末）某體育用品店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌跳繩，若購(gòu)買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購(gòu)買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購(gòu)進(jìn)這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購(gòu)買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤(rùn)3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤(rùn)4元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式5】．（21-22七年級(jí)下·新疆阿克蘇·期末）為獎(jiǎng)勵(lì)在“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”中表現(xiàn)優(yōu)異的班級(jí)，學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商場(chǎng)一次性購(gòu)買若干個(gè)籃球和足球，已知購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共需340元，購(gòu)買5籃球和5個(gè)足球共需700元．(1)求籃球和足球的單價(jià)各是多少元？(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需一次性購(gòu)買足球和籃球共20個(gè)，但要求購(gòu)買籃球和足球的總費(fèi)用不超過(guò)1440元，學(xué)校最多可以購(gòu)買多少個(gè)籃球？【變式6】．（21-22七年級(jí)下·遼寧盤錦·期末）某校在商場(chǎng)購(gòu)買了兩種品牌的足球，已知購(gòu)買4個(gè)A品牌的足球和6個(gè)B品牌的足球共需620元；購(gòu)買6個(gè)A品牌的足球和8個(gè)B品牌的足球共需860元．(1)求兩種品牌的足球的單價(jià)；(2)該校決定再次購(gòu)買兩種品牌的足球共50個(gè)，恰逢該商場(chǎng)對(duì)足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球的售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了，若此次購(gòu)買兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)3100元，那么這所學(xué)校最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌的足球？應(yīng)用4：列方程組與不等式（組）解方案問(wèn)題【例題4】（22-23七年級(jí)下·四川涼山·期末）某體育用品店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌跳繩，若購(gòu)買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購(gòu)買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購(gòu)進(jìn)這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購(gòu)買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤(rùn)3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤(rùn)4元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式1】．（22-23七年級(jí)下·遼寧大連·期末）西崗區(qū)某中學(xué)為落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)管理的通知文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門選修課程，為此需要購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球已知購(gòu)買個(gè)籃球和個(gè)足球需要元；購(gòu)買個(gè)籃球和個(gè)足球需要元．(1)根據(jù)以上信息解答若需要購(gòu)買個(gè)籃球和個(gè)足球需要多少錢；(2)學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)籃球、足球共個(gè)，并要求籃球不少于個(gè)，且總費(fèi)用不超過(guò)元，則有哪幾種購(gòu)買方案？【變式2】．（22-23七年級(jí)下·廣西河池·期末）為了實(shí)現(xiàn)縣域教育均衡發(fā)展，某縣計(jì)劃對(duì)，兩類學(xué)校分批進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)預(yù)算，改造一所類學(xué)校和兩所類學(xué)校共需資金萬(wàn)元，改造兩所類學(xué)校和一所類學(xué)校共需資金萬(wàn)元．(1)改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是多少萬(wàn)元？(2)該縣計(jì)劃今年對(duì)、兩類學(xué)校共所進(jìn)行改造，改造資金由國(guó)家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)．若今年國(guó)家財(cái)政撥付的改造資金不超過(guò)萬(wàn)元，地方財(cái)政投入的改造資金不少于萬(wàn)元，其中地方財(cái)政投入到、兩類學(xué)校的改造資金分別為每所萬(wàn)元和萬(wàn)元，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出改造方案？【變式3】．（22-23七年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運(yùn)送醫(yī)藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運(yùn)送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運(yùn)送噸根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)通過(guò)列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運(yùn)多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準(zhǔn)備將一批醫(yī)藥物資一次性運(yùn)輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號(hào)車輛共輛，其中型車輛每輛要付費(fèi)元，型車輛每輛要付費(fèi)元，若付費(fèi)總金額不超過(guò)元，且物資不少于噸，請(qǐng)問(wèn)怎么安排車輛總費(fèi)用最少？【變式4】．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）“全民閱讀”深入人心，讀書好，好讀書，讀好書，讓人終身受益．為滿足同學(xué)們的讀書需求，學(xué)校圖書館準(zhǔn)備到新華書店采購(gòu)文學(xué)名著和動(dòng)漫書兩類圖書，經(jīng)了解，本文學(xué)名著和本動(dòng)漫書共需元，本文學(xué)名著與本動(dòng)漫書的費(fèi)用一樣（注：所采購(gòu)的文學(xué)名著價(jià)格都一樣，所采購(gòu)的動(dòng)漫書價(jià)格都一樣）．(1)求每本文學(xué)名著和動(dòng)漫書各多少元？(2)若學(xué)校要求購(gòu)買文學(xué)名著比動(dòng)漫書多本，動(dòng)漫書和文學(xué)名著總數(shù)不低于本，總費(fèi)用不超過(guò)元，請(qǐng)問(wèn)有幾種購(gòu)書方案？(3)在（）的條件下，若學(xué)校實(shí)際購(gòu)買時(shí)，文學(xué)名著單價(jià)上調(diào)元本，動(dòng)漫書單價(jià)下調(diào)了元本，此時(shí)購(gòu)買這兩種書籍所需最少費(fèi)用為元，則的值為_(kāi)____．【變式5